(新高考数学)高考一轮复习核心考点讲与练考点09《 解三角形》解析版

考点09解三角形（核心考点讲与练）一、正弦定理和余弦定理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解二、解三角形的实际应用1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2).3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC中，若a2＋b2<c2，由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，可知角C为钝角，则△ABC为钝角三角形.4.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.正弦定理一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））在△ABC中，SKIPIF1<0，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由正弦定理即可求解.【详解】解：由题意，根据正弦定理有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要使三角形有两组解，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以a的值可以为SKIPIF1<0．故选：C．2．（2022·河南·模拟预测（理））已知在锐角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点M在边AC上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】运用正弦定理边化角对等式变换求出SKIPIF1<0的值，再由角平分线的性质利用面积相等求解即可.【详解】依题意，由正弦定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故选：D．二、多选题3．（2022·广东茂名·二模）如图，在四面体ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面ABC，SKIPIF1<0，若四面体ABCD的外接球的表面积为SKIPIF1<0，则四面体ABCD的体积不可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】CD【分析】根据已知条件将三棱锥补为直三棱柱，找出球心，求出△ABC的外接圆半径，从而求出棱长，分析△ABC面积的变化，从而得到三棱锥体积的范围.【详解】如图：根据已知条件可将三棱锥补为直三棱柱，则三棱锥的外接球即为该三棱柱的外接球.设直三棱柱的上下底面三角形的外接圆圆心分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，外接球球心为O，则O为SKIPIF1<0中点，根据已知条件可知SKIPIF1<0＝AD＝AC.设外接球半径为R，设上下底面三角形外接圆半径为SKIPIF1<0＝r.由SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，OB＝R＝SKIPIF1<0，在△ABC中，由正弦定理知：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由勾股定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AC＝AD＝2SKIPIF1<0.△ABC及其外接圆的如图：I为AC中点，则CI＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当B为SKIPIF1<0延长线圆的交点时，易知tan∠IBC＝SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，和已知∠ABC的大小符合，∵∠ABC是优弧SKIPIF1<0所对的角，∴当点B在优弧SKIPIF1<0上移动时，∠ABC始终为60°，∴△ABC面积最大为：SKIPIF1<0，∴三棱锥D－ABC的体积最大为：SKIPIF1<0.故答案为：CD.【点睛】本题关键是利用正弦定理求出△ABC的外接圆半径，从而分析出△ABC面积的变化范围.4．（2022··一模）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为锐角SKIPIF1<0三个内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0【答案】BD【分析】利用正弦定理角化边结合余弦定理求出SKIPIF1<0，再利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式转化为C的函数，结合锐角三角形求出C的范围求范围即可【详解】由正弦定理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故B对，A错；又SKIPIF1<0又锐角SKIPIF1<0中SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：BD三、填空题5．（2022·陕西咸阳·二模（理））SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】以正弦定理即可求得SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0则由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<06．（2022·河南·二模（文））在钝角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，AC=6，BC=5，则AB=___________.【答案】3【分析】根据大边对大角，判定SKIPIF1<0为锐角，利用正弦定理求得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0（两个可能的值），然后利用两角和的正弦公式求得SKIPIF1<0，进而利用正弦定理得到SKIPIF1<0，注意检验钝角三角形的条件.【详解】设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，角SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0也为锐角，SKIPIF1<0为锐角三角形，不合题意；当SKIPIF1<0时，角SKIPIF1<0为钝角，符合题意，此时SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：3四、解答题7．（2022·福建三明·模拟预测）SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0的形状，并说明理由；(2)若SKIPIF1<0为锐角三角形，其外接圆半径为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的取值范围．【答案】(1)直角三角形，理由见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理以及余弦定理可求得SKIPIF1<0的值，结合角SKIPIF1<0的取值范围可求得角SKIPIF1<0的值，再利用三角形的内角和定理以及已知条件可求得角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，即可判断出SKIPIF1<0的形状；（2）利用正弦定理可得出SKIPIF1<0，利用三角恒等变换可得出SKIPIF1<0，求出角SKIPIF1<0的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得SKIPIF1<0的取值范围.(1)解：因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0为直角三角形.(2)解：由正弦定理可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为锐角三角形，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.三角形面积公式一、填空题1．（2022·重庆·二模）点M在△ABC内部，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________．【答案】SKIPIF1<0##3:4【分析】分别延长SKIPIF1<0至SKIPIF1<0至SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.根据已知条件可得点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，根据重心性质可知SKIPIF1<0，再根据三角形面积公式SKIPIF1<0、SKIPIF1<0及边长倍数关系可得各需求的三角形面积之间的比例关系.【详解】如图，分别延长SKIPIF1<0至SKIPIF1<0至SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，延长EM交DF于G，则MG＝SKIPIF1<0EG，过M作MH⊥DF于H，过E作EI⊥DF与I，则MH＝SKIPIF1<0EI，故SKIPIF1<0，同理可证SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.故答案为：3:4.2．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）英国数学家莫利提出：将三角形各内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交于一点，则这样的三个交点构成一个正三角形（如下图所示）.若△SKIPIF1<0为等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，则△SKIPIF1<0的面积是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，根据题设角的关系、三角形全等及相似可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，结合已知可得SKIPIF1<0，即可求x值，应用三角形面积公式求△SKIPIF1<0的面积.【详解】若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由题设知：△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又△SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故△SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0二、解答题3．（2022·福建·模拟预测）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0为等腰三角形；(2)设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，若___________，求SKIPIF1<0的值.在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）由余弦定理化简即可得出；（2）选①，由SKIPIF1<0化简可求出SKIPIF1<0，即可求解；选②，由已知可得SKIPIF1<0，由余弦定理求得SKIPIF1<0，即可得出面积；选③，由已知求出SKIPIF1<0即可求出面积.(1)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理可知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为等腰三角形；(2)选①，由（1）可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；选②，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；选③，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.4．（2022·湖南·雅礼中学二模）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用两角和差公式化简已知等式得到SKIPIF1<0，利用正余弦定理边角互化可用SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0；利用三角形面积公式可用SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0，根据同角三角函数平方关系可整理得到关于SKIPIF1<0的一元二次方程，根据方程有解可求得SKIPIF1<0的范围，进而得到最小值.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.5．（2022·重庆八中模拟预测）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是边BC上一点，且SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0的面积的2倍.(1)证明：AD平分SKIPIF1<0﹔(2)若SKIPIF1<0，求BC.【答案】(1)证明见解析.(2)3【分析】（1）先由面积关系得到SKIPIF1<0.延长CA到E,使SKIPIF1<0，联结BE.证明出SKIPIF1<0，进而证明出SKIPIF1<0.即为AD平分SKIPIF1<0﹔（2）可设SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0.利用余弦定理列方程解得m=1.即求出SKIPIF1<0.(1)由题意：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0的面积的2倍，所以SKIPIF1<0.延长CA到E,使SKIPIF1<0,联结BE.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.即AD平分SKIPIF1<0﹔(2)由（1）可知，SKIPIF1<0.所以可设SKIPIF1<0由余弦定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解得:m=1.所以SKIPIF1<0.6．（2022·江苏·南京市第一中学三模）在SKIPIF1<0中，D为SKIPIF1<0上靠近点C的三等分点，且SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用正弦定理可得SKIPIF1<0，再在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中分别用余弦定理，再根据SKIPIF1<0，利用诱导公式即可得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据同角三角函数的基本关系求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，最后根据面积公式计算可得；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0及三角函数的性质计算可得；(1)解：因为SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上靠近点SKIPIF1<0的三等分点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由余弦定理SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①，在SKIPIF1<0中由余弦定理SKIPIF1<0即SKIPIF1<0②，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<07．（2022·辽宁锦州·一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M在边AC上，BM平分SKIPIF1<0，△ABM的面积是△BCM面积的2倍.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求△ABC的面积.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）首先表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面积，再结合正弦定理求SKIPIF1<0的值；（2）首先根据余弦定理求SKIPIF1<0，再求SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0的面积.(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0.(2)由（1）知SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.8．（2022·河北·模拟预测）如图，在△ABC中，已知D是边BC上一点．且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)求△ABC的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）在SKIPIF1<0中，利用余弦定理求出SKIPIF1<0，再根据同角三角函数的基本关系求出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由余弦定理求出SKIPIF1<0，最后由正弦定理计算可得；（2）直接由三角形面积公式计算可得；(1)解：在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0由正弦定理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(2)解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0余弦定理一、单选题1．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的上顶点SKIPIF1<0，左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0，并延长交椭圆于另一点P，若SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据题意及椭圆的定义，可求得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的长，根据三角函数定义，求得SKIPIF1<0根据余弦定理，可求得SKIPIF1<0，根据两角的关系，列出方程，代入离心率公式，即可得答案.【详解】由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故选：C2．（2022·湖南益阳·一模）如图，已知等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0（

）A．为定值10 B．为定值6C．最大值为18 D．与P的位置有关【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的加法的几何意义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可.【详解】设SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力.二、多选题3．（2022·江苏苏州·模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列命题为真命题的有（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为锐角三角形C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为直角三角形D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为直角三角形【答案】ACD【分析】利用正弦定理判断选项A，利用数量积的性质判断选项B和C，利用数量积的性质和余弦定理判断选项D．【详解】解：A：若SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A正确；B：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为钝角，SKIPIF1<0为钝角三角形，故B错误；C：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直角三角形，故C正确；D：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直角三角形，故D正确．故选：ACD．4．（2022·湖北·一模）我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥.在直角三棱锥S−ABC中，侧棱SA､SB､SC两两垂直，设SA=a，SB=b，SC=c，点S在底面ABC的射影为点D，三条侧棱SA､SB､SC与底面所成的角分别为SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，下列结论正确的有（

）A．D为△ABC的外心 B．△ABC为锐角三角形C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】对于A，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，可证得SKIPIF1<0，同理可证得SKIPIF1<0，从而可判断，对于B，由勾股定理结合余弦定理判断，对于C，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，然后结合已知条件判断，对于D，利用由等面积法求解判断【详解】连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SA､SB､SC两两垂直，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可证得SKIPIF1<0，故D应为SKIPIF1<0的垂心，故选项A不正确；由勾股定理可得，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为锐角，同理可得SKIPIF1<0都为锐角，所以SKIPIF1<0为锐角三角形，故选项B正确；设SKIPIF1<0，则由题意得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0都为锐角，所以SKIPIF1<0，选项C正确；由选项A可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由等面积法可得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选项D正确.故选：BCD三、填空题5．（2022·江苏无锡·模拟预测）(1)若数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，则该数列中的最小项的值为__________．(2)若SKIPIF1<0的展开式中含有常数项，则n的最小值等于__________．(3)如图所示的数阵中，用SKIPIF1<0表示第m行的第n个数，则以此规律SKIPIF1<0为__________．(4)SKIPIF1<0的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有下列结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为钝角三角形．其中正确的是__________SKIPIF1<0填写所有正确结论的编号SKIPIF1<0【答案】

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0

2

SKIPIF1<0

①②④【分析】(1)令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求导判断单调性，根据f(x)单调性即可求SKIPIF1<0单调性和最小项的值；(2)求SKIPIF1<0的通项，令其通项x的次数为0或－3，求出对应的n的最小值，比较即可得出n的最小值；(3)规律：①设第n行第1个分数的分母为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于上一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和﹒根据这两个规律即可求出SKIPIF1<0；(4)①根据SKIPIF1<0即可求出t的范围；②结合余弦定理和SKIPIF1<0即可求出m的范围；③求出b、c，根据三角形面积公式即可求面积；④利用余弦定理判断cosC的正负即可判断三角形为钝角三角形.【详解】(1)令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0单调递增，∴数列SKIPIF1<0在1≤n≤12时递减，在n≥13时递增，∵n＝12离SKIPIF1<0更近，故当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，由题意，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则r＝4时，n取最小值5；令SKIPIF1<0得n＝SKIPIF1<0，则r＝2时，n取最小值2.综上，n的最小值为2.(3)由题可知，设第n行第1个分数的分母为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，故第6、7行第一个分数分母分别为28、36.观察数阵，不难发现，从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于上一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和，据此可求出第6行第二个分数分母为21＋37＝58，第7行第2个分数分母为28＋58＝86，第8行第2个分数分母为36＋86＝122，如图所示.故SKIPIF1<0为：SKIPIF1<0.(4)对于①，根据题意，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故可设SKIPIF1<0.则有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，变形可得SKIPIF1<0，故①正确；对于②，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故②正确；对于③，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，则a边上的高为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故③错误；对于④，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C为钝角，SKIPIF1<0为钝角三角形，故④正确.故正确的有：①②④.故答案为：SKIPIF1<0；2；SKIPIF1<0；①②④.6．（2022·广东茂名·二模）正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为SKIPIF1<0，D为棱AC的中点，则异面直线SD与AB所成角的余弦值为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】取BC的中点E，连接SE，DE，则SKIPIF1<0（或其补角）为异面直线SD与AB所成的角，利用余弦定理计算即可得出结果.【详解】取BC的中点E，连接SE，DE，则SKIPIF1<0（或其补角）为异面直线SD与AB所成的角，由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<07．（2022·江西·模拟预测（理））在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0若对任意SKIPIF1<0,不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最大值为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0点睛：在解答三角形中关于边长的最值问题时，往往需要对其进行转化，转化为关于角的求值问题．利用正弦定理或者余弦定理进行转化，然后借助辅助角来求最值，本题具有一定的难度．四、解答题8．（2022·湖南岳阳·二模）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足SKIPIF1<0(1)求角B；(2)在①SKIPIF1<0的外接圆的面积为SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0的周长为12，③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个，求SKIPIF1<0的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由已知，根据给的SKIPIF1<0，先使用正弦定理进行边角转化全部转化成角的关系，然后再利用SKIPIF1<0,把SKIPIF1<0换掉，展开和差公式合并同类项，然后根据角B的取值范围，即可完成求解；（2）由已知，根据第（1）问计算出的角B，若选①，现根据给的外接圆的面积计算出外接圆半径R，然后根据角B利用正弦定理计算出边长b，然后使用余弦定理结合基本不等式求解ac的最值，即可完成面积最值得求解；若选②，利用SKIPIF1<0，表示出三边关系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac与a+c的关系，从而求解出面积的最值；若选③，可根据边长b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面积最值得求解.(1)∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0(2)若选①，设SKIPIF1<0的外接圆半径为R，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由余弦定理，得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.即SKIPIF1<0的面积的最大值为SKIPIF1<0若选②∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由余弦定理SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立∴SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立若选③，由余弦定理，得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的面积的最大值为SKIPIF1<09．（2022·重庆市育才中学模拟预测）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点O是AC的中点，点P在线段MC上，(1)证明：SKIPIF1<0平面ABC；(2)若SKIPIF1<0，直线AP与平面ABC所成的角为SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值的大小【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）连接BO，由给定条件证明SKIPIF1<0，再由线面垂直的判断推理作答.（2）在平面ABC内过O作SKIPIF1<0，再以O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.(1)连接BO，如图，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0平面ABC.(2)由（1）可得，平面SKIPIF1<0平面ABC，AP在平面ABC内射影为AC，即SKIPIF1<0为直线AP与平面ABC所成的角，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，则点P为线段MC的中点，在SKIPIF1<0中，过O作SKIPIF1<0交BC于D，则OD，OC，OM两两垂直，以点O为原点，射线OD，OC，OM分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，不妨令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面PAB的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又平面ABC的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而二面角SKIPIF1<0的平面角为锐角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0.10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）△SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）根据三角形面积公式及三角形内角性质可得SKIPIF1<0，再由正弦定理的边角关系即可证结论.（2）由（1）及题设可得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0，应用余弦定理及正弦定理边角关系求SKIPIF1<0，即可求SKIPIF1<0，注意根据B的范围判断符号，最后利用SKIPIF1<0及和角余弦公式求值即可.(1)由题设，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)由（1）及题设，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1