(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第56讲《排列与组合》（讲）（解析版）

第56讲排列与组合思维导图知识梳理1．排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2．排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性质Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)题型归纳题型1排列问题【例1-1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．【解】(1)从7人中选5人排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有Aeq\o\al(3,7)种方法，余下4人站后排，有Aeq\o\al(4,4)种方法，共有Aeq\o\al(3,7)Aeq\o\al(4,4)＝5040(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)种排列方法，共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600(种)．法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有Aeq\o\al(2,6)种排法，其他有Aeq\o\al(5,5)种排法，共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再将女生全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有Aeq\o\al(3,5)种方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(种)．【跟踪训练1-1】高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040【解析】选B先排除舞蹈节目以外的5个节目，共Aeq\o\al(5,5)种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有Aeq\o\al(2,6)种，所以共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,6)＝3600(种)．【跟踪训练1-2】用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有()A．250个 B．249个C．48个 D．24个【解析】选C①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有Aeq\o\al(3,4)＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有Aeq\o\al(3,4)＝24(个)．由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.【跟踪训练1-3】将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有()A．1108种 B．1008种C．960种 D．504种【解析】选B将丙、丁两人进行捆绑，看成一人．将6人全排列有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)种排法；将甲排在排头，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)种排法；乙排在排尾，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)种排法．则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝1008(种)．【名师指导】求解排列应用问题的6种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法题型2组合问题【例2-1】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？【解】(1)从余下的34种商品中，选取2种有Ceq\o\al(2,34)＝561(种)取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有Ceq\o\al(3,34)种或者Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(2,34)＝Ceq\o\al(3,34)＝5984(种)取法．所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种．(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100(种)取法．所以恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．(4)选取2种假货有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)种，选取3种假货有Ceq\o\al(3,15)种，共有选取方式Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2100＋455＝2555(种)．所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．(5)法一：(间接法)选取3种商品的总数为Ceq\o\al(3,35)，因此共有选取方式Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6545－455＝6090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．法二：(直接法)共有选取方式Ceq\o\al(3,20)＋Ceq\o\al(2,20)Ceq\o\al(1,15)＋Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝6090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．【跟踪训练2-1】从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是()A．72 B．70C．66 D．64【解析】选D从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(1,6)＝56种选法，三个数相邻共有Ceq\o\al(1,8)＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法．【跟踪训练2-2】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)【解析】从2位女生，4位男生中选3人，共有Ceq\o\al(3,6)种情况，没有女生参加的情况有Ceq\o\al(3,4)种，故共有Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,4)＝20－4＝16(种)．【答案】16【跟踪训练2-3】(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有________种．【解析】若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有Ceq\o\al(1,5)种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有Ceq\o\al(2,4)种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有Ceq\o\al(2,5)种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有Ceq\o\al(2,5)＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案．【答案】40【名师指导】组合问题的2类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．题型3排列与组合问题的综合应用【例3-1】(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．【解析】(1)2位男生不能连续出场的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.(2)根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车．有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝12(种)乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式．【答案】(1)60(2)24【例3-2】某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【解析】添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有Aeq\o\al(7,7)种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有Aeq\o\al(10,10)种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有eq\f(A\o\al(10,10),A\o\al(7,7))＝720(种)．【答案】720【例3-3】(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．(2)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．【解析】(1)先把6个毕业生平均分成3组，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15(种)方法．再将3组毕业生分到3所学校，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90(种)分派方法．(2)先把4名学生分为2,1,1共3组，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案．(3)将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有Ceq\o\al(1,6)种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有Ceq\o\al(2,5)种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有Ceq\o\al(3,3)种取法．根据分步乘法计数原理，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有Aeq\o\al(3,3)＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．【答案】(1)90(2)36(3)360【跟踪训练3-1】(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A．36种 B．24种C．22种 D．20种【解析】选B根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．【跟踪训练3-2】(2019·河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”，“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有()A．150 B．126C．90 D．54【解析】选B根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有Ceq\o\al(1,3)种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有Ceq\o\al(1,3)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)种方法；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)种方法．故满足题意的不同安排方案数共有Ceq\o\al(1,3)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝108＋18＝126.故选B.【跟踪训练3-3】冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那