(新高考数学)高考一轮复习核心考点讲与练考点05《 函数的应用》解析版

考点05函数的应用（核心考点讲与练）1.函数的零点(1)函数零点的概念如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2103.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同4.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)1.识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.2.用图借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.3.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.4.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.5.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下：函数与方程一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个零点，则SKIPIF1<0一定是下列函数的零点的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】首先判断函数是奇函数，由零点定义可知，SKIPIF1<0，再经过变形，结合选项判断SKIPIF1<0是否是函数的零点.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0是奇函数．由已知可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的零点，故A正确，B错误；又由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C错误；由SKIPIF1<0，故D错误.故选：A．2．（2022·河南·模拟预测（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（

）A．（1，3） B．（2，4） C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】x∈SKIPIF1<0，数形结合确定SKIPIF1<0的范围使得SKIPIF1<0图像和SKIPIF1<0恰好有四个交点.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恰有4个零点，等价SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象恰好有4个交点，因为x∈SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，如图所示，则应该满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.3．（2020·江西师大附中一模（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的零点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】转化函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交点，数形结合，即得解.【详解】函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的零点，即为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交点，作出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象，如图所示，可知SKIPIF1<0故选：C4．（2020·河南·郑州中学模拟预测（文））函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的大致图像为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据奇偶性排除A，D，根据SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数值的正负可选出选项.【详解】由题可得SKIPIF1<0是偶函数，排除A,D两个选项，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0仅有一个零点.故选：C【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数值的正负便可得出选项.5．（2022·江西赣州·二模（理））若函数SKIPIF1<0有零点，则a的取值范围是（

）A．[SKIPIF1<0，SKIPIF1<0] B．SKIPIF1<0C．（0，SKIPIF1<0） D．（SKIPIF1<0，+∞）【答案】A【分析】构造函数SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，利用函数单调性可得SKIPIF1<0即得.【详解】由SKIPIF1<0有解，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在[1，+∞）都是增函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是增函数，又SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0有零点.故选：A.6．（2020·河南洛阳·模拟预测（理））已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＞1，且6Sn＝an2+3an+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]【答案】A【分析】根据an与Sn的关系，由6Sn＝an2+3an+2，得6Sn﹣1＝an﹣12+3an﹣1+2，两式相减整理得an﹣an﹣1＝3，由等差数列的定义求得an的通项公式，然后将不等式SKIPIF1<0恒成立，转化为2t2+at﹣4≥0，对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立求解.【详解】由6Sn＝an2+3an+2，当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，当n≥2时，6Sn﹣1＝an﹣12+3an﹣1+2，两式相减得6an＝an2+3an﹣（an﹣12+3an﹣1），整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，由an＞0，所以an+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1＝3，所以数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以an+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，所以SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝3﹣SKIPIF1<0＜3，因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3，对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，即为：2t2+at﹣4≥0，对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，则f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有SKIPIF1<0，解得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）故选：A．【点睛】本题主要考查数列与不等式的，an与Sn的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题．7．（2022·江苏·南京市第一中学三模）非空集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题知SKIPIF1<0，进而构造函数SKIPIF1<0，再根据零点存在性定理得SKIPIF1<0，解不等式即可得答案.【详解】解：由题知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故令函数SKIPIF1<0，所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：A8．（2022·江西南昌·一模（文））已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的根，则下列说法：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，其中正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由题意可得SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，在同一坐标系中画出3个函数的图象，可求得SKIPIF1<0的范围，然后逐个分析判断即可【详解】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的根，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为反函数，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，画出函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象，由图可得SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以①正确，对于②，由图可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以②正确，对于③，因为SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互为反函数，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以③正确，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合的思想，解题的关键是正确画出函数图象，根据图象分析求解SKIPIF1<0的范围，考查数学转化思想，属于较难题9．（2020·湖北黄冈·模拟预测（文））求下列函数的零点，可以采用二分法的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0不是单调函数，SKIPIF1<0，不能用二分法求零点；SKIPIF1<0是单调函数，SKIPIF1<0，能用二分法求零点；SKIPIF1<0不是单调函数，SKIPIF1<0，不能用二分法求零点；SKIPIF1<0不是单调函数，SKIPIF1<0，不能用二分法求零点.故选：B二、多选题10．（2022·辽宁锦州·一模）设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数C．点SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个对称中心 D．方程SKIPIF1<0仅有SKIPIF1<0个实数解【答案】CD【分析】根据SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的奇偶性可推导得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知A错误；推导可得SKIPIF1<0，知C正确；作出SKIPIF1<0图象，结合图象知B错误；将SKIPIF1<0解的个数转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点个数，结合图象可知D正确.【详解】SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称；SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数；对于A，SKIPIF1<0，A错误；对于C，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0成中心对称，C正确；对于BD，由周期性和对称性可得SKIPIF1<0图象如下图所示，由图象可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，B错误；方程SKIPIF1<0的解的个数，等价于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点个数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0结合图象可知：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0个交点，即SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个实数解，D正确.故选：CD.11．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（

）A．－1 B．2 C．3 D．4【答案】ABC【分析】由题意设SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有相同的零点，即讨论SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内没有零点，求出其导函数，分析其单调性，得出其最值情况，从而结合其大致的图形可得出答案.【详解】SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0则在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有相同的零点.故函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内没有零点,即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内没有零点SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立,则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增.所以SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内没有零点.当SKIPIF1<0时,令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减增.在区间SKIPIF1<0上单调递增.所以SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,且SKIPIF1<0所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0要使得SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内没有零点，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0综上所述，满足条件的SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0由选项可知：选项ABC可使得SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内没有零点，即满足题意.故选：ABC三、填空题12．（2022·湖南永州·三模）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调且有一个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由已知SKIPIF1<0，确定SKIPIF1<0范围，再由正弦型三角函数图像的性质得到SKIPIF1<0，进而化简求解.【详解】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调且SKIPIF1<0，可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有一个零点，所以，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<013．（2021·宁夏中卫·三模（理））已知方程SKIPIF1<0的根在区间SKIPIF1<0上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意构造函数SKIPIF1<0，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可．【详解】解：令SKIPIF1<0，其在定义域上单调递增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．四、解答题14．（2022·四川雅安·二模）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若SKIPIF1<0为整数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)2【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的几何意义即可得出答案；（2）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，求导SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，用导数法得到SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0论证，再验证SKIPIF1<0是否成立即可.(1)解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0；(2)因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，又SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，满足题意；当SKIPIF1<0时，因为a为整数，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0都是增函数，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是增函数，又SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0递增，又SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0递增，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，满足题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0都是增函数，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是增函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，又SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0递减，SKIPIF1<0，不满足题意，综上：整数SKIPIF1<0的最小值为2.【点睛】思路点睛：本题第二问基本思路是由SKIPIF1<0确定SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，取得极小值SKIPIF1<0，确定分类标准而得解，特别注意是验证SKIPIF1<0是否成立是本题的关键.五、双空题15．（2022·江苏江苏·一模）已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0.若当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的值域为____________，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的所有零点之和为__________【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##2.5【分析】第一空先求出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式，结合奇函数画出SKIPIF1<0的图像，再由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，进而得到函数在SKIPIF1<0上的图像，即可求得值域；第二空画出将零点转化为SKIPIF1<0的交点，再画出SKIPIF1<0的图像即可求解.【详解】由当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是奇函数，可得函数图像关于原点对称.又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即函数右移两个单位，函数值变为原来的2倍，由此可得函数在SKIPIF1<0上的图像如图所示：结合图像可知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的交点，画出SKIPIF1<0的图像，由图像可知4个交点的横坐标依次为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0均是奇函数，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.16．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）将SKIPIF1<0个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组SKIPIF1<0人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为SKIPIF1<0，且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为______.【答案】

2

SKIPIF1<0【分析】利用二分检测法求解.【详解】若待检测的总人数为8，则第一轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，则共需检测7次，此时感染者人数最多为2人；若待检测的总人数为SKIPIF1<0，且假设其中有不超过2名感染者，若没有感染者，则只需1次检测即可；若只有1个感染者，则只需SKIPIF1<0次检测；若只有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组，此时相当两个待检测均为SKIPIF1<0的组，每组1个感染者，此时每组需要SKIPIF1<0次检测，所以此时两组共需SKIPIF1<0次检测，故有2个感染者，且检测次数最多，共需SKIPIF1<0次检测，所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：2，SKIPIF1<0函数模型及其应用一、单选题1．（2022·广东·一模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则图象如图的函数可能是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】结合函数图像的奇偶性和单调性即可判断.【详解】由图可知，该函数为奇函数，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为非奇非偶函数，故A、B不符；当x＞0时，SKIPIF1<0单调递增，与图像不符，故C不符；SKIPIF1<0为奇函数，当x→＋时，∵y＝SKIPIF1<0的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故SKIPIF1<0＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.故选：D.2．（2022·贵州·模拟预测（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为SKIPIF1<0，一年四季均可繁殖，繁殖间隔SKIPIF1<0为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）来描述该物种累计繁殖数量SKIPIF1<0与入侵时间SKIPIF1<0（单位：天）之间的对应关系，且SKIPIF1<0，在物种入侵初期，基于现有数据得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加SKIPIF1<0倍所需要的时间为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0天 B．SKIPIF1<0天 C．SKIPIF1<0天 D．SKIPIF1<0天【答案】C【分析】根据已知数据可求得SKIPIF1<0，设初始时间为SKIPIF1<0，累计繁殖数量增加SKIPIF1<0倍后的时间为SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0，结合对数运算法则可求得结果.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.设初始时间为SKIPIF1<0，初始累计繁殖数量为SKIPIF1<0，累计繁殖数量增加SKIPIF1<0倍后的时间为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（天）.故选：C.3．（2022·广西·模拟预测（理））异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率SKIPIF1<0与其体重SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】初始状态设为SKIPIF1<0，变化后为SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系代入后可求解．【详解】设初始状态为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：D．4．（2022·河南新乡·三模（理））中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：SKIPIF1<0.它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SKIPIF1<0叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1000的基础上，将带宽W增大到原来的2倍，信号功率S增大到原来的10倍，噪声功率N减小到原来的SKIPIF1<0，则信息传递速度C大约增加了（

）（参考数据：SKIPIF1<0）A．87% B．123% C．156% D．213%【答案】D【分析】先求得提升前的信息传递速度，然后求得提升后的信息传播速度，由此求得正确答案.【详解】提升前的信息传递速度SKIPIF1<0，提升后的信息传递速度SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以信息传递速度C大约增加了SKIPIF1<0.故选：D5．（2022·天津市第七中学模拟预测）一种药在病人血液中的量不少于SKIPIF1<0才有效，而低于SKIPIF1<0病人就有危险．现给某病人注射了这种药SKIPIF1<0，如果药在血液中以每小时SKIPIF1<0的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（

）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结果精确到SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0小时 B．SKIPIF1<0小时 C．SKIPIF1<0小时 D．SKIPIF1<0小时【答案】A【分析】根据已知关系式可得不等式SKIPIF1<0，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.【详解】设应在病人注射这种药SKIPIF1<0小时后再向病人的血液补充这种药，则SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即应在用药SKIPIF1<0小时后再向病人的血液补充这种药.故选：A.二、多选题6．（2022·湖北·一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（

）A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列【答案】ACD【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：当SKIPIF1<0时，由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即地震里氏震级约为七级，故A正确；对于B：八级地震即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的SKIPIF1<0倍，故B错误；对于C：六级地震即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；对于D：由题意得SKIPIF1<0（n=1，2，···，9，10），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即数列{an}是等比数列，故D正确；故选：ACD7．（2021·福建厦门·一模）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（

）A．SKIPIF1<0B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物SKIPIF1<0小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为SKIPIF1<0时【答案】AD【分析】利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决．【详解】由函数图象可知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确，药物刚好起效的时间，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，药物刚好失效的时间SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故药物有效时长为SKIPIF1<0小时，药物的有效时间不到6个小时，故SKIPIF1<0错误，SKIPIF1<0正确；注射该药物SKIPIF1<0小时后每毫升血液含药量为SKIPIF1<0微克，故SKIPIF1<0错误，故选：SKIPIF1<0．8．（2021·江苏南京·二模）某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式SKIPIF1<0，则下列说法正确的有（

）A．SKIPIF1<0在[0，2]上的平均变化率为SKIPIF1<0m/hB．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hC．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低D．18时潮水起落的速度为SKIPIF1<0m/h【答案】BD【解析】利用导数的概念及几何意义、求导法则，逐个判断选项即可【详解】由题意，对于选项A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在[0，2]上的平均变化率为SKIPIF1<0m/h，故A选项错误；对于选项B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为一个周期，而SKIPIF1<0h，故B选项正确；对于选项C，当t＝6时，SKIPIF1<0，所以潮水的高度会达到一天中最低为错误说法，即C选项错误；对于选项D，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则选项D正确；综上，答案选BD.故选：BD【点睛】关键点睛：解题关键在于利用导数的概念及几何意义、求导法则，求出题中函数的单调性、周期和最值，进而判断选项，属于基础题9．（2020·福建莆田·模拟预测）某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过SKIPIF1<0的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：年份x2016201720182019包装垃圾y（万吨）46913.5（1）有下列函数模型：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），以上函数模型（

）A．选择模型①，函数模型解析式SKIPIF1<0，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）与年份x的函数关系B．选择模型②，函数模型解析式SKIPIF1<0，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）与年份x的函数关系C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨【答案】AD【解析】分别选函数模型:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入数据计算得到近似值，比较即可，根据选择的函数模型，令SKIPIF1<0计算得出结论.【详解】若选SKIPIF1<0，计算可得对应数据近似为SKIPIF1<0，若选SKIPIF1<0，计算可得对应数据近似值都大于2012，显然A正确，B错误；按照选择函数模型SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：根据给出的函数模型，利用所给数据比较拟合程度即可选出适合的函数模型，根据所选函数模型，解不等式即可求出结论，考查运算能力，属于中档题.三、填空题10．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于SKIPIF1<0，已知一驾驶员某次饮酒后体内每SKIPIF1<0血液中的酒精含量SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）与时间SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）的关系是：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________SKIPIF1<0才可驾车.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数有最大值SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，饮酒后体内每SKIPIF1<0血液中的酒精含量小于SKIPIF1<0，当当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递减，令SKIPIF1<0，因此饮酒后SKIPIF1<0小时体内每SKIPIF1<0血液中的酒精含量等于SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0四、解答题11．（2022·四川·泸县五中模拟预测（理））为响应绿色出行，前段时间贵阳市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；超出部分按0.20元/分钟计费，已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红路灯等因素，每次路上开车花费的时间SKIPIF1<0（分钟）是一个随机变量.现统计了100次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间SKIPIF1<0（分钟）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0频数4364020将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车的时间，范围为SKIPIF1<0分钟.(1)写出张先生一次租车费用SKIPIF1<0（元）与用车时间SKIPIF1<0（分钟）的函数关系式；(2)若公司每月给900元的车补，请估计张先生每月（按24天计算）的车补是否足够上下租用新能源分时租赁汽车？并说明理由；（同一时段，用该区间的中点值作代表）(3)若张先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设SKIPIF1<0表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求SKIPIF1<0的分布列和期望.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用，理由见解析；(3)分布列见解析，期望为SKIPIF1<0.【分析】（1）分类讨论得到一次租车费用SKIPIF1<0（元）与用车时间SKIPIF1<0（分钟）的函数关系式；（2）求出一个月上下班租车的费用即得解；（3）由题得SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，再求出对应的概率即得解.(1)解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.(2)解：张先生租用一次新能源分时汽车上下班，平均用车时间为SKIPIF1<0每次上下班租车的费用约为SKIPIF1<0一个月上下班租车的费用约为SKIPIF1<0，估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用.(3)解：张先生租赁分时汽车为“路段畅通”的概率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0