4.4探索三角形相似的条件

探索三角形相似的条件探索三角形相似的条件1相似三角形的相关概念三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形,叫做相似三角形(similartrianglec).相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.相似比等于1的两个三角形全等.注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键.相似三角形的相关概念三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三2判定三角形相似的方法判定两个三角形相似的方法:两角对应相等的两个三角形相似.三边对应成比例的两个三角形相似.类比三角形全等的判定方法:边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS);斜边直角边(HL).你还能得出判定三角形相似的其它方法吗?判定三角形相似的方法判定两个三角形相似的方法:3相似与全等类比—新化旧三角形全等的判定方法：边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS);斜边直角边(HL).由角边角(ASA);角角边(AAS);可知,有两个角对应相等的两个三角形相似;由边边边(SSS)可知:有三边对应成比例的两个三角形相似;由边角边(SAS)可猜想:两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;由斜边直角边(HL)可猜想:斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.我们已经把前两个猜想变为现实,剩余的还有问题吗.相似与全等类比—新化旧三角形全等的判定方法：由边角边(SAS4亲历知识的发生和发展问题三:如果△ABC与△A′B′C′有一个角相等,且两边对应成比例,那么它们一定相似吗?(1)如果这个角是这两边的夹角,那么它们一定相似吗?我们一起来动手:画△ABC与△A′B′C′使∠A=∠A′,设法比较∠B与∠B′的大小,∠C与∠C′的大小.△ABC与△A′B′C′相似吗?说说你的理由.改变k值的大小(如1∶3),再试一试.通过上面的活动,你猜出了什么结论?亲历知识的发生和发展问题三:设法比较∠B与∠B′的大小,∠5判定三角形相似的方法之三两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.如图,在△ABC与△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)CBAA′B′C′这又是一个用来判定两个三角形相似的方法,但使用频率不是很高,务必引起重视.且∠A=∠A′,判定三角形相似的方法之三两边对应成比例且夹角相等的两个三角形6敢问“路”在何方下面两个三角形是否相似?为什么?解:在△ABC和△AEF中.∴△ABC∽△AEF.(两边对应成边成比例且夹角相等的两个三角形相似.)ABCE11F33且∠A是公共角敢问“路”在何方下面两个三角形是否相似?为什么?∴△A7两角对应相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似.两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.图中的△ABC∽△A′B′C′,你还能用其它方法来说明其正确性吗?且∠A=∠A′=450,∴△ABC∽△A′B′C′(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)CBAA′B′C′解法2:如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得:两角对应相等的两个三角形相似;图中的△ABC∽△A′B′C′8我思,我进步例如图矩形ABCD是由三个正方形ABEG,GEFH,HFCD组成的.图中的△AEF∽△CEA,你还能用其它方法说明其正确性吗?解法2:△AEF∽△CEA.理由是:设小正方形的边长是1,由勾股定理得∴△AEF∽△CEA.(两边对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似.)且∠AEF=∠CEA(公共角),ABCDEFGH我思,我进步例如图矩形ABCD是由三个正方形ABEG,G9亲历知识的发生和发展问题四:在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,如果有一直角边和斜边对应成比例,那么它们一定相似吗?我们一起来动手:画△ABC与△A′B′C′,使设法比较∠B与∠B′的大小,∠A与∠A′的大小.Rt△ABC与Rt△A′B′C′相似吗?说说你的理由.改变k值的大小(如1∶3),再试一试.通过上面的活动,你猜出了什么结论?亲历知识的发生和发展问题四:设法比较∠B与∠B′的大小,∠10判定直角三角形相似的方法斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.如图,在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′,(斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.)CBAA′B′C′这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必引起重视.判定直角三角形相似的方法斜边直角边对应成比例的两个直角三角形11亲历知识的发生和发展我们重新来看问题三:如果△ABC与△DEF有一个角相等,且两边对应成比例,那么它们一定相似吗?(2).如果这个角是这两边中一条边的对角,那么它们一定相似吗?小明和小颖分别画出了下面的△ABC与△DEF:ABC5003.2cm4cm2cmDFE5001.6cm通过上面的活动,你猜出了什么结论?两边对应成比例,且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似亲历知识的发生和发展我们重新来看问题三:ABC5003.2c12提升能力的奥秘判定下列三角形是否相似,若不相似需要增加什么条件才能相似?两个全等三角形;两个等腰三角形;两个等边三角形;两个直角三角形;含300角的直角三角形;如图,P是AB上一点,补充下列条件:(1)∠ACP=∠B;(2)∠APC=∠ACB;其中一定能使△ACP∽△ABC的是(

)(A)(1)(2)(3)(4)(B)(1)(2)(3)(C)(3)(D)(1)(2)(4)ABCPD提升能力的奥秘判定下列三角形是否相似,若不相似需要增加什么条13联想的功能猜一猜:相似三角形对应中线的比与相似比的关系.如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是:(相似三角形对应边成比例).ABCMDEFN又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线.∴△AMB∽△DNE.(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).且∠=∠E.联想的功能猜一猜:如图∵△ABC∽△DEF.相似三角形对14黄金分割黄金分割15目标导航：

1、了解黄金分割的定义及黄金矩形的意义，会找线段的黄金分割点，会计算黄金比。

2、由黄金分割进一步巩固对线段的比、成比例线段，以及相似三角形的理解，感悟数学与生活的联系，会用黄金分割来解决一些问题。目标导航：1、了解黄金分割的定义及黄金矩形的意义，会16创设情境、引入问题

创设情境、引入问题

171、在图中，分别量出线段AC、BC、AB的长度.2、分别计算与的值(精确到0.1cm).3、与相等吗？小组合作:量一量，算一算自读探知、合作探究1、在图中，分别量出线段AC、BC、AB的长度.2、18黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.≈0.618.线段AB上就一个黄金分割点吗？议一议：一条线段上有两个黄金分割点D黄金分割的定义：≈0.618.线段AB上就一个黄金分割点吗？19判断正误：①如果点C是线段AB的黄金分割点，那么（）特别提示：一条线段有2个黄金分割点，点C靠近A端AC就是较短边。②如果，那么点C是线段AB的黄金分割点。（）

特别提示：必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是否是一条线段的黄金分割点。×√×特别提示：黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比，黄金比没有单位。

③如果点C在线段AB上，且，那么点C在线段AB的黄金分割点。（）针对性训练1判断正误：（）特别提示：一条线段有2个黄金分割点，20计算电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20米，主持人应走到离A点至少（

）米处；如果她向B点再走（

）米，也处在比较得体的位置。（结果精确到0.1米）

7.64.8针对性训练2计算电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然21已知线段按照如下方法作图:1.经过点作使2.连接在上截取

3.在上截取如何找出一条线段的黄金分割点？师生互动，合作探究已知线段按照如下方法作图:1.经过点作222．计算想一想4.点C是线段AB的黄金分割点吗?点C是线段AB的黄金分割点1.若AB=2,则BD=？AD=？DE=？AE=？AC=？

3.若AB=2a呢？上述结论是否仍然成立？想一想点C是线段AB的黄金分割点1.若AB=2,则BD=？A23应用拓展阅读96页“想一想”巴台农神庙.分组讨论，让学生充分交流，然后得出结果：ACBD应用拓展阅读96页“想一想”巴台农神庙24巩固训练课本98页练习1、任意作一条线段采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.你能说说这种作法的道理吗？巩固训练课本98页练习25课堂小结这节课你有哪些收获？1、黄金分割、黄金矩形定义2、作线段黄金分割点3、感受黄金分割的美4、黄金分割的应用课堂小结这节课你有哪些收获？1、黄金分割、黄金矩形定义2、作26探索三角形相似的条件探索三角形相似的条件27相似三角形的相关概念三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形,叫做相似三角形(similartrianglec).相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.相似比等于1的两个三角形全等.注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键.相似三角形的相关概念三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三28判定三角形相似的方法判定两个三角形相似的方法:两角对应相等的两个三角形相似.三边对应成比例的两个三角形相似.类比三角形全等的判定方法:边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS);斜边直角边(HL).你还能得出判定三角形相似的其它方法吗?判定三角形相似的方法判定两个三角形相似的方法:29相似与全等类比—新化旧三角形全等的判定方法：边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS);斜边直角边(HL).由角边角(ASA);角角边(AAS);可知,有两个角对应相等的两个三角形相似;由边边边(SSS)可知:有三边对应成比例的两个三角形相似;由边角边(SAS)可猜想:两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;由斜边直角边(HL)可猜想:斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.我们已经把前两个猜想变为现实,剩余的还有问题吗.相似与全等类比—新化旧三角形全等的判定方法：由边角边(SAS30亲历知识的发生和发展问题三:如果△ABC与△A′B′C′有一个角相等,且两边对应成比例,那么它们一定相似吗?(1)如果这个角是这两边的夹角,那么它们一定相似吗?我们一起来动手:画△ABC与△A′B′C′使∠A=∠A′,设法比较∠B与∠B′的大小,∠C与∠C′的大小.△ABC与△A′B′C′相似吗?说说你的理由.改变k值的大小(如1∶3),再试一试.通过上面的活动,你猜出了什么结论?亲历知识的发生和发展问题三:设法比较∠B与∠B′的大小,∠31判定三角形相似的方法之三两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.如图,在△ABC与△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)CBAA′B′C′这又是一个用来判定两个三角形相似的方法,但使用频率不是很高,务必引起重视.且∠A=∠A′,判定三角形相似的方法之三两边对应成比例且夹角相等的两个三角形32敢问“路”在何方下面两个三角形是否相似?为什么?解:在△ABC和△AEF中.∴△ABC∽△AEF.(两边对应成边成比例且夹角相等的两个三角形相似.)ABCE11F33且∠A是公共角敢问“路”在何方下面两个三角形是否相似?为什么?∴△A33两角对应相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似.两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.图中的△ABC∽△A′B′C′,你还能用其它方法来说明其正确性吗?且∠A=∠A′=450,∴△ABC∽△A′B′C′(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)CBAA′B′C′解法2:如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得:两角对应相等的两个三角形相似;图中的△ABC∽△A′B′C′34我思,我进步例如图矩形ABCD是由三个正方形ABEG,GEFH,HFCD组成的.图中的△AEF∽△CEA,你还能用其它方法说明其正确性吗?解法2:△AEF∽△CEA.理由是:设小正方形的边长是1,由勾股定理得∴△AEF∽△CEA.(两边对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似.)且∠AEF=∠CEA(公共角),ABCDEFGH我思,我进步例如图矩形ABCD是由三个正方形ABEG,G35亲历知识的发生和发展问题四:在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,如果有一直角边和斜边对应成比例,那么它们一定相似吗?我们一起来动手:画△ABC与△A′B′C′,使设法比较∠B与∠B′的大小,∠A与∠A′的大小.Rt△ABC与Rt△A′B′C′相似吗?说说你的理由.改变k值的大小(如1∶3),再试一试.通过上面的活动,你猜出了什么结论?亲历知识的发生和发展问题四:设法比较∠B与∠B′的大小,∠36判定直角三角形相似的方法斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.如图,在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′,(斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.)CBAA′B′C′这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必引起重视.判定直角三角形相似的方法斜边直角边对应成比例的两个直角三角形37亲历知识的发生和发展我们重新来看问题三:如果△ABC与△DEF有一个角相等,且两边对应成比例,那么它们一定相似吗?(2).如果这个角是这两边中一条边的对角,那么它们一定相似吗?小明和小颖分别画出了下面的△ABC与△DEF:ABC5003.2cm4cm2cmDFE5001.6cm通过上面的活动,你猜出了什么结论?两边对应成比例,且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似亲历知识的发生和发展我们重新来看问题三:ABC5003.2c38提升能力的奥秘判定下列三角形是否相似,若不相似需要增加什么条件才能相似?两个全等三角形;两个等腰三角形;两个等边三角形;两个直角三角形;含300角的直角三角形;如图,P是AB上一点,补充下列条件:(1)∠ACP=∠B;(2)∠APC=∠ACB;其中一定能使△ACP∽△ABC的是(

)(A)(1)(2)(3)(4)(B)(1)(2)(3)(C)(3)(D)(1)(2)(4)ABCPD提升能力的奥秘判定下列三角形是否相似,若不相似需要增加什么条39联想的功能猜一猜:相似三角形对应中线的比与相似比的关系.如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是:(相似三角形对应边成比例).ABCMDEFN又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线.∴△AMB∽△DNE.(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).且∠=∠E.联想的功能猜一猜:如图∵△ABC∽△DEF.相似三角形对40黄金分割黄金分割41目标导航：

1、了解黄金分割的定义及黄金矩形的意义，会找线段的黄金分割点，会计算黄金比。

2、由黄金分割进一步巩固对线段的比、成比例线段，以及相似三角形的理解，感悟数学与生活的联系，会用黄金分割来解决一些问题。目标导航：1、了解黄金分割的定义及黄金矩形的意义，会42创设情境、引入问题

创设情境、引入问题

431、在图中，分别量出线段AC、BC、AB的长度.2、分别计算与的值(精确到0.1cm).3、与相等吗？小组合作:量一量，算一算自读探知、合作探究1、在图中，分别量出线段AC、BC、AB的长度.2、44黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.≈0.618.线段AB上就一个黄金分割点吗？议一议：一条线段上有两个黄金分割点D黄金分割的定义：≈0.618.线段AB上就一个黄金分割点吗？45判断正误：①如果点C是线段AB的黄金分割点，那么（）特别提示：一条线段有2个黄金分割点，点C靠近A端AC就是较短边。②如果，那么点C是线段AB的黄金分割点。（）

特别提示：必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是否是一条线段的黄金分割点。×√×特别提示：黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段