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文档简介

第三节一、格林公式

三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用

二、格林公式简单应用四、小结引言牛——莱公式：特点：格林公式特点：在平面闭区域D上的二重积分可通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达.两者共性（实质）：把内部问题转化为边界问题来处理.区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多(复)连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左【定理1】

设区域D

是由分段光滑正向曲线L

围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式【应用格林公式时应注意】1.积分曲线L必须是封闭曲线，取D的正向边界.2.（三条缺一不可）3.D可为单连通域，也可为复连通域；当D为复连通域时，L包括D的所有正向边界.推论:正向闭曲线L

所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积二、格林公式简单应用【例1】设L是分段光滑的闭曲线,证明【证】

令则利用格林公式,得1.简化曲线积分xyoLAB其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).【解】

为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围圆周区域为D,

则【例3】计算原式其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.【解】

令,则利用格林公式,有有多种取法,则选最简单的2.

简化二重积分【例4】

计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.【解】令设L所围区域为D,由格林公式知【例5】计算由于P,Q在(0,0)点无定义，不满足格林公式条件记L和

lˉ

所围的区域为,

在D内作圆周取逆时针方向，对区域应用格林公式得为了使用格林公式3.

计算平面面积【解】三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件GyxoBA【定理2】

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx

+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;【说明】【例7】【解】是某个函数的全微分,并求出这个函数.【解Ⅰ】则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。［利用曲线积分与路径无关］设【注】所取起点不同，所求函数的最后结果中的常数可能不同.【例8】验证【解Ⅱ】［不定积分法］(求原函数的方法)由于故由(1)式得求导得结合(2)式得在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.

【证】

令则由定理2

可知存在原函数【例9】验证或还可用不定积分法【解】【例10】如图与路径无关四、小结1.格林公式2.等价条件在

D

内与路径无关.在

D

内有对D

内任意闭曲线L

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