高中数学《函数的单调性》课件

1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性第五章一元函数的导数及其应用1.函数的单调性与其导数的正负的关系定义在区间(a,b)内的函数y=f(x):特别地,如果函数f(x)在区间(a,b)上恒有③

f'(x)=0

,那么函数y=f(x)在这个区间

内是常数函数.f'(x)的正负f(x)的单调性f'(x)>0单调①

递增

f'(x)<0单调②

递减

|函数的单调性与导数的关系第五章一元函数的导数及其应用南方绕弯2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值④

较大

,那么函数在这个

范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在

这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”.第五章一元函数的导数及其应用1.函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减.

(

✕)提示:由f(x)=

,可知f'(x)=-

<0,但f(x)在定义域上不是单调函数,故错误.2.函数f(x)在区间(a,b)上都有f'(x)<0,则函数f(x)在这个区间上单调递减.

(√)提示:由函数的单调性与其导数的正负的关系知,结论正确.3.若函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f'(x)>0.

(

✕)提示:函数f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2>0不恒成立,故错误.4.函数在某一点处的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”.

(

✕)提示:切线的“陡峭”程度与|f'(x)|的大小有关,故错误.5.函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.

(√)提示:函数在某个区间上变化的快慢和函数导数的绝对值大小一致.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”。第五章一元函数的导数及其应用南方绕弯1|导函数与原函数图象的关系1.利用导函数的正负研究原函数图象的变化时,要遵循“符号为正,图象上升;符

号为负,图象下降”的原则.导函数图象在x轴的上方或下方,确定导函数的正或

负.解决问题时,一定要分清是原函数图象还是导函数图象.2.“导函数的正负看(原函数)增减;绝对值大小定快慢”.一般地,如果一个函数在

某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的

图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就比较“平缓”.第五章一元函数的导数及其应用(1)f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是下

列选项中的(C)

第五章一元函数的导数及其应用(2)已知y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则所给四个选项中,

y=f(x)的图象大致是

(C)

第五章一元函数的导数及其应用思路点拨找出f'(x)的零点

判断f'(x)图象在x轴上方或下方

确定f(x)的单调区间

利用排除法得解.解析(1)当x∈(-∞,0)时,导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上原函数的图象

呈上升趋势,可排除B、D.当x∈(0,2)时,导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上

原函数的图象呈下降趋势,可排除A.故选C.(2)当0<x<1时,xf'(x)<0,∴f'(x)<0,∴f(x)在(0,1)上为减函数,∴A、B错误;当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,∴y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,∴D错误.故选C.第五章一元函数的导数及其应用名师点睛

将题目改为由y=f(x)的图象判断f'(x)的图象,思维方式正好相反,由原

函数图象的单调性确定导函数的正负,进而得到导函数的图象在x轴的上方还是

下方,最后选择适当的图象,解题时防止图象看错导致解题错误.第五章一元函数的导数及其应用南方绕弯2|利用导数研究函数的单调性1.利用导数求函数f(x)单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集与定义域的交集上为增函数;(4)解不等式f'(x)<0,函数在解集与定义域的交集上为减函数.2.含参函数的单调性问题含参函数的单调性问题主要以两种形式呈现,一是判断含参函数的单调性,二是

求含参函数的单调区间.这两种形式实质上是一致的,只不过是换了一种说法.解

决此类问题时,通常归结为求含参不等式的解集问题,而对含有参数的不等式要

针对具体情况进行分类讨论,但始终要注意定义域及分类讨论的标准.第五章一元函数的导数及其应用已知函数f(x)=

ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;(2)求f(x)的单调区间.思路点拨(1)求f'(x)

f'(1)=f'(3)

解方程求出a.(2)变形f'(x)

分类讨论

确定f'(x)的符号

结合定义域求出单调区间.第五章一元函数的导数及其应用解析(1)由题意知f'(x)=ax-(2a+1)+

(x>0).由f'(1)=f'(3),得a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+

,解得a=

.(2)由(1)知f'(x)=

(x>0).①当a≤0时,∵x>0,∴ax-1<0,∴在区间(0,2)上,f'(x)>0;在区间(2,+∞)上,f'(x)<0.故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).②当0<a<

时,

>2,在区间(0,2)和

上,f'(x)>0;在区间

上,f'(x)<0.故f(x)的单调递增区间是(0,2)和

,单调递减区间是

.③当a=

时,f'(x)=

≥0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间.第五章一元函数的导数及其应用南方绕弯④当a>

时,0<

<2,在区间

和(2,+∞)上,f'(x)>0;在区间

上,f'(x)<0.故f(x)的单调递增区间是

和(2,+∞),单调递减区间是

.综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞);当0<a<

时,f(x)的单调递增区间是(0,2)和

,单调递减区间是

;当a=

时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间;当a>

时,f(x)的单调递增区间是

和(2,+∞),单调递减区间是

.易错警示

导函数的定义域可能比原函数的定义域大,利用导数解决函数单调区间问题要注

意原函数的定义域,用原函数的定义域与导函数不等式的解集求交集得到单调区

间.解题时注意不要忘记求函数的定义域.第五章一元函数的导数及其应用南方绕弯3|已知函数的单调性求参数的取值范围1.可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)上恒

成立,且f'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于0.2.已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的取值范围的方法:(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应

单调区间的子集;(2)利用不等式恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在

(a,b)内恒成立,注意验证等号是否取到.第五章一元函数的导数及其应用南方绕弯已知关于x的函数f(x)=x3-ax+b.(1)若函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1,+∞),求实数a的值.思路点拨(1)求f'(x)

由f'(x)≥0分离参数a

确定实数a的取值范围.(2)思路一:f'(1)=0

确定实数a的值.思路二:对参数a进行分类讨论

得到实数a的值.第五章一元函数的导数及其应用南方绕弯解析(1)由题意得,f'(x)=3x2-a.若函数f(x)=x3-ax+b在(1,+∞)上是增函数,则f'(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在x∈(1,+∞)上恒成立,则a≤(3x2)min.因为x>1,所以3x2>3.所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].(2)解法一:由题意可知,f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,且f'(1)=3-a=0,解得a=3,经验证,

a=3满足条件,所以a=3.解法二:令f'(x)≥0,得x2≥

.若a≤0,则x2≥

恒成立,即f'(x)≥0恒成立,此时,f(x)=x3-ax+b在R上是增函数,与题意不符.第五章一元函数的导数及其应用若a>0,由f'(x)≥0,得x≥