2022版备战老高考一轮复习文科数学课后限时集训54 双曲线 作业

双曲线建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·北京高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的离心率是eq\r(5)，则a＝()A.eq\r(6)B．4C．2D.eq\f(1,2)D[由双曲线方程可得c2＝a2＋1，则e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2)＝5，解得a2＝eq\f(1,4).又a＞0，所以a＝eq\f(1,2)，故选D.]2．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)xA[因为双曲线的离心率为eq\r(3)，所以eq\f(c,a)＝eq\r(3)，即c＝eq\r(3)a.又c2＝a2＋b2，所以(eq\r(3)a)2＝a2＋b2，化简得2a2＝b2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2).因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，所以y＝±eq\r(2)x.故选A]3．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝()A．1 B．13C．17 D．1或13B[由题意知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得eq\f(4,a)＝eq\f(4,3)，解得a＝3，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝5.又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13.故选B.]4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(2)，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.eq\r(2) B．2C.eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)D[法一：由离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，得c＝eq\r(2)a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).故选D.法二：离心率e＝eq\r(2)的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).故选D.]5．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1D[不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，eq\r(3))，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，故选D.]二、填空题6．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(3,5)x，则a＝.5[∵双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,a)x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(3,5)x，∴a＝5.]7．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是．y＝±eq\r(2)x[由双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)经过点(3,4)，得9－eq\f(16,b2)＝1，解得b＝±eq\r(2)，又b＞0，所以b＝eq\r(2)，易知双曲线的焦点在x轴上，故双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.]8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为eq\f(\r(3),2)c，则其离心率的值为．2[双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d＝eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.∴b＝eq\f(\r(3),2)c，∴a＝eq\r(c2－b2)＝eq\f(1,2)c，∴e＝eq\f(c,a)＝2.]三、解答题9．已知椭圆D：eq\f(x2,50)＋eq\f(y2,25)＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9.双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．[解]椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3，∴eq\f(|5a|,\r(b2＋a2))＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点P(4，－eq\r(10))．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：eq\o(MF1,\s\up14(→))·eq\o(MF2,\s\up14(→))＝0.[解](1)∵e＝eq\r(2)，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x2－y2＝6，即eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)证明：法一：由(1)可知，a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3).∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴eq\o(MF1,\s\up14(→))·eq\o(MF2,\s\up14(→))＝0.法二：由(1)可知，a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)，eq\o(MF1,\s\up14(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up14(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)，∴eq\o(MF1,\s\up14(→))·eq\o(MF2,\s\up14(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF1,\s\up14(→))·eq\o(MF2,\s\up14(→))＝0.1．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin40° B．2cos40°C.eq\f(1,sin50°) D.eq\f(1,cos50°)D[由题意可得－eq\f(b,a)＝tan130°，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋tan2130°)＝eq\r(1＋\f(sin2130°,cos2130°))＝eq\f(1,|cos130°|)＝eq\f(1,cos50°).故选D.]2．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为()A.eq\f(3\r(2),4)B.eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)A[不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝eq\r(6).又tan∠POF＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以等腰三角形POF的高h＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以S△PFO＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),4).]3．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝.2[由OA，OC所在直线为渐近线，且OA⊥OC，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x2－y2＝a2.OB是正方形的对角线，且点B是双曲线的焦点，则c＝2eq\r(2)，根据c2＝2a2可得a＝2.]4．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2eq\r(13)，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．[解](1)由题知c＝eq\r(13)，设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.故椭圆方程为eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,36)＝1，双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.(2)不妨设F1，F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P是第一象限的交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2eq\r(13)，所以cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(102＋42－2\r(13)2,2×10×4)＝eq\f(4,5).1．如图，双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M，N两点，若|NF1|＝2|MF1|，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(\r(3),3)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)xB[∵|NF1|＝2|MF1|，∴M为NF1的中点，又OM⊥F1N，∴∠F1OM＝∠NOM，又∠F1OM＝∠F2ON，∴∠F2ON＝60°，∴双曲线C的渐近线的斜率k＝±tan60°＝±eq\r(3)，即双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.故选B.]2．双曲线C的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线C过点(2eq\r(2)，1)．(1)求双曲线C的方程；(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1，A2，P为C上任意一点，直线PA1，PA2分别与直线l：x＝1交于M，N，求|MN|的最小值．[解](1)由渐近线方程可设双曲线C的方程为x2－4y2＝k(k≠0)，把(2eq\r(2)，1)代入可得k＝4，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.(2)由题易知，P在右支上时|MN|取最小值．由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，根据双曲