材料力学基本第十一章-材料力学中的能量方法课件

第十一章材料力学中的能量方法§11.1基本概念§11.2互等定理§11.3虚位移原理、内力虚功§11.4莫尔方法§11.5莫尔积分应用直杆时的图乘法§11.6卡式定理§11.7结论与讨论第十一章材料力学中的能量方法§11.1基本概念11.1.1作用在弹性杆件上的力所做的常力功和变力功11.1基本概念◆外力功：在外力作用下，固体的变形将引起外力的作用点沿其作用方向产生位移，便引起外力做功

。◆变形能或应变能：弹性固体因变形将具有作功的本领

，即能量

。◆能量法：根据能量守恒原理，外力功w应等于弹性体的应变能

Vε。11.1.1作用在弹性杆件上的力所做的常力功和变力功11本章主要研究能量法的以下问题：1.外力功与杆件应变能的计算；2.能量法的卡式定理

；3.能量法的单位载荷法与莫尔积分；4.能量法的力法求解超静定结构。本章主要研究能量法的以下问题：1.外力功与杆件应变能的计算一、外力功的计算

线弹性结构上的外力功的计算。b)在线弹性范围内，F′与Δ′成正比a)一、外力功的计算线弹性结构上的外力功的计算。b)在线弹性1、F为一个集中力

，

Δ就是沿F作用方向的线位移

1、轴向拉压杆

◆需要指出：F与Δ均为广义量2、F为一个集中力偶，Δ就是角位移

3、F为一对等值、反向的集中力或集中力偶

，Δ就是相对线位移或相对角位移

11.1.2、杆件的弹性应变能轴向变形

轴力在d△l上作的功

整根杆的应变能

当FN/EA为常量时

1、F为一个集中力，Δ就是沿F作用方向的线位移1、轴2、圆轴扭转扭转圆轴的应变能

当T/GIp为常量时

3、对称弯曲梁对称弯曲梁的应变能

◆由于刚架同样也是主要承受弯曲变形的结构，所以，上式亦适用于刚架。

4、组合变形杆2、圆轴扭转扭转圆轴的应变能当T/GIp为常量时3、对例11-1悬臂梁如图所示，试计算其应变能以及B截面的转角。已知梁的抗弯刚度为常量。

解：（1）梁的应变能

梁任一横截面上的弯矩

（2）截面的转角

梁上外力的功为

MexBAl即得梁的应变能

由

于是

旋向与外力偶矩的旋向一致，为顺时针。

例11-1悬臂梁如图所示，试计算其应变能以及B截面的转角。例11-2试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为EI，杆的拉压刚度为EA。解（1）CB杆的轴力

（2）由截面法，得梁的弯矩方程为

得梁的应变能

即得CB杆的应变能

所以，整个结构的应变能

ClABxqa例11-2试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为EI例11-3在下图所示三角支架中，若两杆的拉压刚度均为EA，试计算结点的竖直位移ΔBV。

解（1）计算外力功

（2）计算应变能由截面法，得AB、CB两杆的轴力分别为

三角支架上外力的功为

三角支架的应变能

21l45°FACB（3）计算ΔBV

由

得

例11-3在下图所示三角支架中，若两杆的拉压刚度均为EA，§11.2互等定理

11.2.1、功互等定理

在载荷F1和F2共同作用下，1、2点处的位移先加F1，再加F2

先加F2，再加F1

§11.2互等定理11.2.1、功互等定理应变能与加载次序无关

F1在F2单独作用下引起的1点的位移△12上所作的功，等于F2在F1单独作用下引起的2点处的位移△21上所作的功，这就是功互等定理。

应变能与加载次序无关F1在F2单独作用下引起的1点的11.2.2、位移互等定理当F1=F2

时，有△12=△21

当F1、F2数值相等时，F2在1点引起的沿F1方向的位移△12，等于F1在2点引起的沿F2方向的位移△21，此为位移互等定理。11.2.2、位移互等定理当F1=F2时，有△12例所示外伸梁，抗弯刚度EI为常量。已知在跨度中点C处作用集中力F时，截面B的转角为，试求在截面D作用力偶MD时，跨度中点C的挠度。解图a为第一载荷系统，图b为第二载荷系统

由功互等定理

于是有

例所示外伸梁，抗弯刚度EI为常量。已知在跨度中点C处作用集11.3.1

虚位移原理（1）刚体虚位移——满足约束条件的假想的任意微小位移。

虚位移原理——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零（平衡的必要和充分条件）。11.3虚位移原理、内力虚功11.3.1虚位移原理（1）刚体虚位移——满足约束条（2）可变形固体

满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移。

——外力作用下，物体产生变形的同时产生内力虚位移——

虚位移原理——外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零（平衡的充要条件），即We（外力虚功）＋Wi（内力虚功）＝0

（8－15）（2）可变形固体1.梁的虚位移原理

图a所示的位移为由荷载产生的实际位移，简称实位移。荷载对于其相应位移上所作的功为实功。图b所示的位移为梁的虚位移，它是满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移，与梁上的荷载及其内力完全无关。(a)x

实际位移实际挠曲线lxdxy(b)x

虚位移虚设挠曲线lxdxy1.梁的虚位移原理图a所示的位移为由荷

梁上广义力的作用点沿其作用方向的虚位移分别为外力对于虚位移所作的总虚功为(a)(a)外力虚功(b)x

虚位移虚设挠曲线lxdxy(b)内力虚功

取梁的dx微段进行分析。图c为微段的原始位置，其上面各力均由荷载产生，它们为梁的内力，也是微段的外力。11.3.2各种受力形式下的内力虚功梁上广义力由于梁的虚位移，使微段位移至图d

所示位置。微段的虚位移可分为两部分：一为刚性体位移。

暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引起的微段的虚位移，微段由abcd位置移至。（图d的实线）(d)(b)x

虚位移虚设挠曲线lxdxy由于梁的虚位移，使微段位移至图d所示位置。微段的虚位移可分二为变形虚位移。

由于微段本身的虚变形而引起的位移，使微段由移到（图d的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图(e)和图(f)所示。(d)(b)x

虚位移虚设挠曲线lxdxy二为变形虚位移。(b)

M、对于刚体虚位移要做虚功，但由刚体虚位移原理可知，所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。M、对于变形虚位移（图e,f），所做的虚功为(b)M、对于刚体虚位移要做虚功，(b)式为微段的外力虚功dWe

，设微段的内力虚功为dWi。由变形固体的虚位移原理(3-15)，即

(c)梁的内力虚功为

(d)将(a),(d)式代入（3－15）式，得梁的虚位移原理表达式为得即(8-16)(b)式为微段的外力虚功dWe，设微段的内力虚功为dWi。

组合变形时，杆横截面上的内力一般有弯矩M，剪力Q，轴力N及扭矩Mn。与轴力相应的虚变形位移为沿轴力方向的线位移dd，与扭矩相应的虚变形位移为扭转角

dj。仿照梁的虚位移原理，可得组合变形时的虚位移原理表达式为(8-17)2.组合变形的虚位移原理

由于以上分析中没有涉及材料的物理性质，所以(3-17)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M,FS,FN,T是由荷载产生的内力，为广义虚位移，dq,

dl,dd,

为微段的变形虚位移。组合变形时，杆横截面上的内力一般有弯矩M，剪单位力法(1)因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条件，且为微小位移，满足可变形固体的虚位移条件。因此，可以把由荷载引起的实际位移D，作为虚位移。由荷载引起的微段的变形位移dq,dl,dd,dj作为变形虚位移。即以实际位移作为虚位移。(2)

若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载。由单位力引起的内力记为。单位力法(1)因为由荷载引起的位移，满足约束条件和（3）单位力所做的外力虚功为We=1·D单位力法的虚位移原理表达式为(3-18)该式同样适用于弹性体和非弹性体问题。杆件的内力虚功为（3）单位力所做的外力虚功为We=1·D单位力法的虚位(3-19)于是(3-18)成为(3-20)式中为由单位力引起的内力，为荷载引起的内力。为大于1的系数，见例3－20。(4)

线弹性体由荷载引起的微段变形位移公式为(3-19)于是(3-18)成为(3-20)式中线弹性结构，各种基本变形情况下微段的变形为

11.4、莫尔方法则

上式为计算线弹性杆件或杆系结构位移的一般公式，又称为莫尔积分。

为实际载荷作用于结构时x截面上的轴力、扭矩和弯矩。

为单位载荷单独作用于同一结构时x截面上的轴力、扭矩和弯矩。

线弹性结构，各种基本变形情况下微段的变形为11.4、莫尔方1.平面弯曲变形

各种基本变形的莫尔积分式2.轴向拉压变形

3.扭转变形

1.平面弯曲变形各种基本变形的莫尔积分式2.轴向拉压变例图11-15a所示刚架，若两杆抗弯及抗拉(压)刚度分别为EI和EA，且为常数。试求A点的水平位移。

解在A点加一水平单位力

各段的弯矩方程和轴力方程

BC段

AB段

代入莫尔积分式

例图11-15a所示刚架，若两杆抗弯及抗拉(压)刚度分别当时，上式变为

第一项是由于弯曲变形引起的A点的位移，第二项是由于轴向变形引起的A点的位移。

可见由于轴向变形引起的位移大约是弯曲变形引起位移的0.3%。

若两杆均为直径为d的圆截面杆，且设a=4d，则I/A=d2/16，A点的水平位移为当时，上式变为第一项是由于弯11.5莫尔积分应用于直杆时的图乘法

在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：

对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分目录11.5莫尔积分应用于直杆时的图乘法直杆的M

(x)图必定是直线或折线。目录直杆的M(x)图必定是直线或折线。目录材料力学基本第十一章-材料力学中的能量方法课件

顶点二次抛物线的ω

顶点目录顶点二次抛物线的ω顶点目录二、常见图形的面积和形心位置

二、常见图形的面积和形心位置LFF解（1）求自由端的挠度例题试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。目录LFF解（1）求自由端的挠度例题试用图乘法求所示悬臂梁自由端Fm=1(2)求自由端的转角例题13-12目录Fm=1(2)求自由端的转角例题13-12目录

图示梁的材料为非线性弹性体，Fi为广义力，Di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。11.6.1卡氏定理及其证明（8－10）

设各力和相应位移的瞬时值分别为fi,di，各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为11.6卡氏定理为位移状态函数。图示梁的材料为非线性弹性体，Fi为广义力，D

假设与第i个荷载Fi相应的位移Di有一微小位移增量dDi，而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和应变能的增量分别为（dDi不是由Fi产生的，FidDi为常力做的功

）

（a）(b)式中，为应变能对位移的变化率。假设与第i个荷载Fi相应的位移Di有一微（8－11）式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故（8－11）适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把U写成给定位移的函数形式。（8－11）得令（8－11）式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对（11.6.2

卡氏定理的内力分量形式

线弹性结构

应变能第i个外力增加一微量dFi

，结构应变能为1.先施加F1，F2，…，Fn，后加dFi11.6.2卡氏定理的内力分量形式线弹性结构应变应变能(1)在施加dFi时,其作用点沿dFi方向的位移为d△i，结构中的应变能为dFid△i/2。

2.先施加dFi，后加F1，F2，…，Fn§9.4卡氏第二定理(2)再施加F1，F2，…，Fn时的应变能Vε。

(3)同时,在Fi的方向(即dFi的方向)上又发生了位移△i，“等候”在此的常力dFi又完成了功dFi△i。

应变能(1)在施加dFi时,其作用点沿dFi方向的位移为d略去二阶微量，得

根据弹性结构的应变能与加力次序无关的性质

§9.4卡氏第二定理线弹性结构的应变能对某一载荷Fi的偏导数，等于在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏第二定理。

略去二阶微量，得根据弹性结构的应变能与加力次序无关的性质

交换上式中的积分与微分次序,即先对Fi求微分，再对x积分，得

例：对于横力弯曲,由卡氏第二定理，得

交换上式中的积分与微分次序,即先对Fi求微分，再对例图9-9a所示悬臂梁的抗弯刚度EI为常数。试用卡氏第二定理计算自由端B截面的挠度和转角。

解(1)求截面B的挠度

梁内任意横截面x处的弯矩及其对载荷F的偏导数为例图9-9a所示悬臂梁的抗弯刚度EI为常数。试用卡氏第二(2)求截面B的转角在截面B处“虚拟”地施加一个力偶Me