广东省惠州市麻陂中学高二数学理上学期期末试题含解析

广东省惠州市麻陂中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若点A（m，1）在椭圆+=1的内部，则m的取值范围是（）A．﹣＜m＜ B．m＜﹣或m＞ C．﹣2＜m＜2 D．﹣1＜m＜1参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件列出不等式，求解即可．【解答】解：点A（m，1）在椭圆+=1的内部，可得，解得：﹣＜m＜．故选：A．2.下列有四种说法①若复数满足方程，则；②线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点，，…，中的一个点；③若,则；④用数学归纳法证明时，从到的证明，左边需增添的一个因式是．其中正确的是（

）．A．①②

B．③

C．③④

D．④参考答案：C略3.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数：①；

②

③

④，其中是一阶整点函数的是(

)A.①②③④

B.①③④

C.①④

D.④

参考答案：C略4.过椭圆+=1（0<b<a）中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2(c,0)，则△ABF2的最大面积是

（

）

A．ab

B．ac

C．bc

D．b2参考答案：C5.下列各点不在曲线上的是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ． Ｄ．参考答案：D6.双曲线的实轴长为（） A．2 B．2 C．4 D．4参考答案：C【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】双曲线中，a=2，即可求出实轴长． 【解答】解：双曲线中，a=2，实轴长为2a=4． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 7.函数的图象大致是(

)参考答案：A8.已知点A（﹣2，0），B（1，0），C（0，1），直线y=kx将△ABC分割为两部分，则当这两个部分的面积之积取得最大值时k的值为（）A． B． C． D．﹣参考答案：A【考点】直线的一般式方程；三角形的面积公式．【分析】由题意作图，结合基本不等式可得当S1=S2时取等号，由面积公式可得AD的长度，而由方程组可表示点D的坐标，由距离公式可的方程，解之即可．【解答】解：由题意作出图象（如图），设两部分面积分别为S1，S2由题意可得S1+S2=S△ABC==，故由基本不等式可得：S1S2≤=，当且仅当S1=S2时取等号，而当当S1=S2时，显然直线职能与AC相交，设交点为D，已知直线AC的方程为：y=，则由解得，即点D（，），而由S1=S2可得，2S△AOD=S△ABC，即=，解得AD===，即，化简得（8k）2=（6k﹣3）2，解得k=或k=（舍去）故选A9.已知等差数列的公差，前项和满足：，那么数列中最大的值是（

）A. B. C. D.参考答案：B10.某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为（

）A.

B.

C.

D．1参考答案：C用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用两角差的正切公式求得tan（α+）的值．【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（β﹣）=，∴tan（α+）===，12.某体育学校决定修建一条三角形多功能比赛通道(如图),AB段是跑道,BC段是自行车道,CA段是游泳道,试根据图中数据计算自行车道和游泳道的长度.(单位:km)参考答案：解:由图可知:∠A=75,∠B=60°,AB=8∵A+B+C=180°

C=45°∴BC=(4+4)km.

同理AC=,

∴AC=413.设x∈Z，集合A是奇数集，集B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B；则命题p的否定是

．参考答案：?p：?x∈A，2x?B【考点】命题的否定．【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：?x∈A，2x∈B的否定是：?p：?x∈A，2x?B；故答案为：?p：?x∈A，2x?B；【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．14.用反证法证明命题“如果，那么”时，应假设__________.参考答案：【分析】由反证法的定义得应假设：【详解】由反证法的定义得应假设：故答案为：【点睛】本题主要考查反证法的证明过程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.阅读下面的程序框图．若使输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为．参考答案：5考点： 程序框图．

专题： 常规题型．分析： 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出s的要求，求出n的最大值，据判断框中n与i的关系求出i的最大值．解答： 解：经过第一次循环得到s=2，n=1，经过第二次循环得到s=5，n=2，经过第三次循环得到s=10，n=3，经过第四次循环得到s=19，n=4，经过第五次循环得到s=36，n=5，经过第六次循环得到s=69，n=6，∵输出的结果不大于37∴n的最大值为4∴i的最大值为5故答案为：5点评： 本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．16.已知直线：ax+by=1（其中a，b是实数）与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为．参考答案：（3﹣2）π【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=|OB|根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出|AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，即可得出结论．【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1所以|OA|=|OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=则圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离为，所以2a2+b2=2，即a2+=1．因此，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，由椭圆的性质，可知最小值为﹣1．所以圆M的面积最小值为π（﹣1）2=（3﹣2）π．故答案为：（3﹣2）π．17.已知椭圆的焦距为，则a=

；当a＜0时，椭圆C上存在一点P，有|PF1|=2|PF2|（F1，F2为椭圆焦点），则△F1PF2的面积为

．参考答案：9或﹣7，．【考点】椭圆的简单性质．【分析】当焦点在x轴上时，解得a=9；当焦点在y轴上时，解得a=﹣7，由此能求出a的值；当a＜0时，椭圆方程为=1，求出|PF2|=2，∴|PF1|=4，|F1F2|=2c=4，由此能求出△F1PF2的面积．【解答】解：∵椭圆的焦距为，∴当焦点在x轴上时，8+a﹣9=（2）2，解得a=9；当焦点在y轴上时，9﹣（8+a）=（2）2，解得a=﹣7，综上，a的值为9或﹣7．当a＜0时，椭圆方程为=1，椭圆C上存在一点P，有|PF1|=2|PF2|（F1，F2为椭圆焦点），由椭圆定义得：|PF1|+|PF2|=3|PF2|=6，解得|PF2|=2，∴|PF1|=4，∵|F1F2|=2c=4，∴p=（2+4+4）=3+2，∴△F1PF2的面积S==．故答案为：9或﹣7，．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB=，（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求二面角P﹣AC﹣B的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点O，连结PO，CO，依题意，可证PO⊥平面ABC，从而可证得平面PAB⊥平面ABCD；（2）以O为原点，OC，OB，OP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可求得C、A、B、P各点的坐标，从而可得：=（，1，0），=（0，1，1），设平面PAC的法向量为=（x，y，z），可求得此坐标=（，﹣1，1），而平面BAC的一个法向量为=（0，0，1），设二面角P﹣AC﹣B大小为θ，由cosθ=|cos＜，＞|=可求得答案．【解答】解：（1）证明：取AB中点O，连结PO，CO，由PA=PB=，AB=2，知△PAB为等腰直角三角形，∴PO=1，PO⊥AB，由AB=BC=2，∠ABC=60°，知△ABC为等边三角形，∴CO=，由PC=2得PO2+CO2=PC2，∴PO⊥CO，又AB∩CO=O，∴PO⊥平面ABC，又PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD；（2）如图所示，以O为原点，OC，OB，OP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1），A（0，﹣1，0）得：=（，1，0），=（0，1，1），设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，则x=，z=1，即=（，﹣1，1），平面BAC的一个法向量为=（0，0，1），设二面角P﹣AC﹣B大小为θ，易知其为锐角，所以cosθ=|cos＜，＞|===．19.（本小题满分12分）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l与椭圆相交于P，Q两点，O为原点，且⊥。试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。参考答案：解：(1)设椭圆方程为

(a>b>0)，因为e＝，所以…………1据题意在椭圆上，则，于是，解得b＝1，………………2因为a＝c，a2－c2＝b2＝1，则c＝1，a＝…………4故椭圆的方程为……………………5(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0……………………6所以x1＋x2＝－，x1x2＝………………7于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2·＋km·－＋m2＝……………8因为⊥，所以x1x2＋y1y2＝＋＝＝0，即3m2－2k2－2＝0，所以m2＝……………9设原点O到直线l的距离为d，则d＝＝＝……10当直线l的斜率不存在时，因为⊥，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP，OQ的方程分别为y＝x，y＝－x可得P，Q或者P，Q.此时，原点O到直线l的距离仍为………11综上分析，点O到直线l的距离为定值…………1220.已知某公司的品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，需要另外投入1.9万元，设R(x)（单位：万元）为销售收入，根据市场调查，知R(x)＝，其中x是年产量（单位：千件）.

（1）写出年利润W关于年产量x的函数解析式；（2）当年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？参考答案：解：（1）W＝.（2）当0<x<10时，＝8.1－0.1x2，令＝0，解得：x＝9或x＝－9（舍去），比较W（0），W（9），W（10）得W（9）最大；当x>10时，函数是减函数，∴当年产量为9千件时，该公司所获年利润最大，最大利润为38.6万元.

略21.(本小题满分12分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．参考答案：（1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：f4=1-(0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.03分直方图如右所示……………．4分（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015+0.03+0.025+0