振动理论041-单自由度系统受迫振动

带speed

bump2014/10/172橡胶带2014/10/1732014/10/174图示电磁式振动台，励磁线圈通直流电形成恒定磁场；振动线圈通交流电时，导杆和台面在磁场中振动激振力由正弦交流电引起的电磁力提供，是简谐力无阻尼受迫振动受迫振动（强迫振动）：系统由外界持续激振引起振动；从外界不断获得能量补偿阻尼所消耗的能量，维持系统的等幅振动响应：外界激振引起的系统振动状态（位移形式，速度形式，加速度形式）外界激振：持续的激振力（包括系统的不平衡离心惯性力）；持续的支承作用单

度系统振动微分方程不考虑阻尼的作用是这个方程的解，代入上式，有或重写为所以记(静变形)定义振幅放大因子2014/10/178全微分方程的一般解是齐次方程的通解和全方程的特殊解之和振动受迫振动瞬态振动 稳态振动简谐力作用下，受迫振动是简谐振动，频率与激振作用的频率相同受迫振动的振幅与相位差与初始条件无关；初始条件只影响瞬态振动1ABC负振幅？543210-1-2:频率低，静变形:频率极高，振幅小:

受迫频率＝固有频率：-3-4力

在正确时间正确的方向上推动质量如果在施加外来激励的时候，外来激励的圆频率与系统的固有频率相同（而不是在求解后分析二者相同的情况），此时如何求解？实际上相当于求解如下方程：即该微分方程的解为：nnp0t

cos

t2y

c1

cos

nt

c2

sin

nt

123456-4-6-2642第三项的时间曲线（前20周期）包括前两项振动影响的前20周期曲线123456-6-2-4642在1-2个周期内，也能引起较大的振动无阻尼受迫振动的通解在零初始条件下假定

和

比较接近，例如,则在

很小的情况下，括号中的第二项可以忽略，因此这是拍的方程，利用这一特性，拍的原理可以用于校正乐器，测量声的频率等等。当激振频率和固有频率相等，即

，有即为振幅随时间发散的振动方程。当然，在 情况下的振幅发展到无穷大是需要一定时间的无阻尼受迫振动－振幅取决于频率的情形失衡产简支梁上发生的转动离心力水平分量竖直分量只考虑在竖直方向上的振动在水平方向上有较强约束具有振幅

的弹簧顶部运动0

ABC图中、、点的坐标有清晰的物理解释

点：弹簧顶部运动频率很低，质量跟随运动，质量与弹簧之间的相对伸长为零；

点：弹簧顶部的运动很快，质量不能跟随而保持 ，相对运动就等于弹簧顶部的运动；

点： ，弹簧的伸长为无穷大。这一结论显然与事实不符，这是因为没有考虑阻尼的作用2014/10/1718振动微分方程为全微分方程的一般解是齐次方程的通解和非齐次方程的特解之和特解粘性阻尼受迫振动阻尼振动通解粘性阻尼受迫振动可以假设

或代入运动方程，注意到分别对应的系数和为零，得到和和

的一组二元一次联立方程，从而得到简谐激振力作用下的系统位移响应粘性阻尼受迫振动为了给出清晰的物理意义，下面用另式推导：外力惯性力

阻尼力

弹力假设位移表示成竖直分量水平分量x0外力超前位移根据两个方向上的分量平衡方程，可以解出

和注意到

,引入阻尼比和频率比

和用阻尼比和频率比表示的无量纲表达式进一步，利用静位移，,定义放大因子相应的，相位

表示为放大因子放大因子随频率比的变化12300123c/ccc/ccc/ccc/ccc/cc=0=0.1=0.2=0.5=1250045全部曲线位于零阻尼曲线下方曲线的最大值位于比

稍低频率处无阻尼固有频率有阻尼固有频率最大振幅固有频率相位随频率比的变化123003060无阻尼时，低于频率时力和位移同相，高于

频率时，力和位移反相阻尼不为零时，力和位移存在相位差没有阻尼时，外力用于克服惯性力(

)或者弹力(

＝

)振动很慢，阻尼力和惯性力都可忽略,，频率增大，阻尼力和惯性力都增大，但后者增加速度快，相位差不能为零惯性力增大到与弹簧力平衡，

必须为

，发生高于 频率后，惯性力大于弹簧力频率很高时，惯性力远