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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,,分别为,的中点,为上的任一点,实数,满足,设、、、的面积分别为、、、,记(),则取到最大值时,的值为()A.-1 B.1 C. D.2.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意图,图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如下表:黄赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年3.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为,若定义,则函数,在区间内的图象是()A. B.C. D.4.已知数列为等差数列,且,则的值为()A. B. C. D.5.已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位),则实数a=()A.-1 B.1 C.0 D.26.函数在的图象大致为()A. B.C. D.7.已知,,,则()A. B.C. D.8.已知双曲线与双曲线没有公共点,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.9.高三珠海一模中,经抽样分析,全市理科数学成绩X近似服从正态分布,且.从中随机抽取参加此次考试的学生500名,估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为()A.40 B.60 C.80 D.10010.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.其中甲必须去社区,乙不去社区,则不同的安排方法种数为()A.8 B.7 C.6 D.511.是恒成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.如图,在三棱锥中,平面,,现从该三棱锥的个表面中任选个,则选取的个表面互相垂直的概率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设为数列的前项和,若,则____14.已知,则_____.15.正四面体的各个点在平面同侧,各点到平面的距离分别为1,2,3,4,则正四面体的棱长为__________.16.已知,则______,______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列的前项和为,且满足,各项均为正数的等比数列满足(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和18.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,设,证明:,,使.19.(12分)如图,在斜三棱柱中,已知为正三角形,D,E分别是,的中点,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求证:平面.20.(12分)在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数,).以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(l)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程:(2)若直线与曲线C相交于A,B两点,且.求直线的方程.21.(12分)如图,在中,已知,,,为线段的中点,是由绕直线旋转而成,记二面角的大小为.(1)当平面平面时,求的值;(2)当时,求二面角的余弦值.22.(10分)每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”,以交通业为例,当天气太冷时,不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位:℃)与网上预约出租车订单数(单位:份);日平均气温(℃)642网上预约订单数100135150185210(1)经数据分析,一天内平均气温与该出租车公司网约订单数(份)成线性相关关系,试建立关于的回归方程,并预测日平均气温为时,该出租车公司的网约订单数;(2)天气预报未来5天有3天日平均气温不高于,若把这5天的预测数据当成真实的数据,根据表格数据,则从这5天中任意选取2天,求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】
根据三角形中位线的性质,可得到的距离等于△的边上高的一半,从而得到,由此结合基本不等式求最值,得到当取到最大值时,为的中点,再由平行四边形法则得出,根据平面向量基本定理可求得,从而可求得结果.【题目详解】如图所示:因为是△的中位线,所以到的距离等于△的边上高的一半,所以,由此可得,当且仅当时,即为的中点时,等号成立,所以,由平行四边形法则可得,,将以上两式相加可得,所以,又已知,根据平面向量基本定理可得,从而.故选:D【答案点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则,考查了平面向量基本定理的应用,考查了基本不等式求最值,属于中档题.2、D【答案解析】
先理解题意,然后根据题意建立平面几何图形,在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,即可得到正确选项.【题目详解】解:由题意,可设冬至日光与垂直线夹角为,春秋分日光与垂直线夹角为,则即为冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,将图3近似画出如下平面几何图形:则,,.,估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年.故选:.【答案点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力,运用了两角和与差的正切公式,考查了转化思想,数学建模思想,以及数学运算能力,属中档题.3、A【答案解析】
由题知,利用求出,再根据题给定义,化简求出的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断,即可得出答案.【题目详解】根据题意,的图象与直线的相邻交点间的距离为,所以的周期为,则,所以,由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选:A.【答案点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象,以及正弦函数的图象,解题关键是对新定义的理解.4、B【答案解析】
由等差数列的性质和已知可得,即可得到,代入由诱导公式计算可得.【题目详解】解:由等差数列的性质可得,解得,,故选:B.【答案点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用,涉及三角函数求值,属于基础题.5、B【答案解析】
化简得到z=a-1+a+1【题目详解】z=1+ia+i=a-1+a+1i为纯虚数,故a-1=0故选:B.【答案点睛】本题考查了根据复数类型求参数,意在考查学生的计算能力.6、C【答案解析】
先根据函数奇偶性排除B,再根据函数极值排除A;结合特殊值即可排除D,即可得解.【题目详解】函数,则,所以为奇函数,排除B选项;当时,,所以排除A选项;当时,,排除D选项;综上可知,C为正确选项,故选:C.【答案点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像,注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用,属于基础题.7、C【答案解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【题目详解】,所以,即.故选:C.【答案点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.8、C【答案解析】
先求得的渐近线方程,根据没有公共点,判断出渐近线斜率的取值范围,由此求得离心率的取值范围.【题目详解】双曲线的渐近线方程为,由于双曲线与双曲线没有公共点,所以双曲线的渐近线的斜率,所以双曲线的离心率.故选:C【答案点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,考查双曲线离心率的取值范围的求法,属于基础题.9、D【答案解析】
由正态分布的性质,根据题意,得到,求出概率,再由题中数据,即可求出结果.【题目详解】由题意,成绩X近似服从正态分布,则正态分布曲线的对称轴为,根据正态分布曲线的对称性,求得,所以该市某校有500人中,估计该校数学成绩不低于110分的人数为人,故选:.【答案点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.10、B【答案解析】根据题意满足条件的安排为:A(甲,乙)B(丙)C(丁);A(甲,乙)B(丁)C(丙);A(甲,丙)B(丁)C(乙);A(甲,丁)B(丙)C(乙);A(甲)B(丙,丁)C(乙);A(甲)B(丁)C(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7种,选B.11、A【答案解析】
设成立;反之,满足,但,故选A.12、A【答案解析】
根据线面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,这样可确定垂直平面的对数,再求出四个面中任选2个的方法数,从而可计算概率.【题目详解】由已知平面,,可得,从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法,而选取的个表面互相垂直的有种情况,故所求事件的概率为.故选:A.【答案点睛】本题考查古典概型概率,解题关键是求出基本事件的个数.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】
当时,由,解得,当时,,两式相减可得,即,可得数列是等比数列再求通项公式.【题目详解】当时,,即,当时,,两式相减可得,即,即,故数列是以为首项,为公比的等比数列,所以.故答案为:【答案点睛】本题考查数列的前项和与通项公式的关系,还考查运算求解能力以及化归与转化思想,属于基础题.14、【答案解析】
对原方程两边求导,然后令求得表达式的值.【题目详解】对等式两边求导,得,令,则.【答案点睛】本小题主要考查二项式展开式,考查利用导数转化已知条件,考查赋值法,属于中档题.15、【答案解析】
不妨设点A,D,C,B到面的距离分别为1,2,3,4,平面向下平移两个单位,与正四面体相交,过点D,与AB,AC分别相交于点E,F,根据题意F为中点,E为AB的三等分点(靠近点A),设棱长为a,求得,再用余弦定理求得:,从而求得,再根据顶点A到面EDF的距离为,得到,然后利用等体积法求解,【题目详解】不妨设点A,D,C,B到面的距离分别为1,2,3,4,平面向下平移两个单位,与正四面体相交,过点D,与AB,AC分别相交于点E,F,如图所示:由题意得:F为中点,E为AB的三等分点(靠近点A),设棱长为a,,顶点D到面ABC的距离为所以,由余弦定理得:,所以,所以,又顶点A到面EDF的距离为,所以,因为,所以,解得,故答案为:【答案点睛】本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用,还考查了转化化归的思想和空间想象,运算求解的能力,属于难题,16、【答案解析】
利用两角和的正切公式结合可得出的方程,即可求出的值,然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出和的值,进而利用两角差的余弦公式求出的值.【题目详解】,,,.故答案为:;.【答案点睛】本题主要考查三角函数值的计算,考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用,难度不大.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【答案解析】
(1)由化为,利用数列的通项公式和前n项和的关系,得到是首项为,公差为的等差数列求解.(2)由(1)得到,再利用错位相减法求解.【题目详解】(1)可以化为,,,,又时,数列从开始成等差数列,,代入得是首项为,公差为的等差数列,,.(2)由(1)得,,,两式相减得,,.【答案点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18、(1)见解析;(2)证明见解析.【答案解析】
(1),分,,,四种情况讨论即可;(2)问题转化为,利用导数找到与即可证明.【题目详解】(1).①当时,恒成立,当时,;当时,,所以,在上是减函数,在上是增函数.②当时,,.当时,;当时,;当时,,所以,在上是减函数,在上是增函数,在上是减函数.③当时,,则在上是减函数.④当时,,当时,;当时,;当时,,所以,在上是减函数,在上是增函数,在上是减函数.(2)由题意,得.由(1)知,当,时,,.令,,故在上是减函数,有,所以,从而.,,则,令,显然在上是增函数,且,,所以存在使,且在上是减函数,在上是增函数,,所以,所以,命题成立.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题,考查学生逻辑推理能力,是一道较难的题.19、(1)见解析;(2)见解析【答案解析】
(1)根据,分别是,的中点,即可证明,从而可证平面;(2)先根据为正三角形,且D是的中点,证出,再根据平面平面,得到平面,从而得到,结合,即可得证.【题目详解】(1)∵,分别是,的中点∴∵平面,平面∴平面.(2)∵为正三角形,且D是的中点∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【答案点睛】本题考查直线与平面平行的判定,面面垂直的性质等,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,中档题.20、(1)见解析(2)【答案解析】
(1)将消去参数t可得直线的普通方程,利用x=ρcosθ,可将极坐标方程转为直角坐标方程.(2)利用直线被圆截得的弦长公式计算可得答案.【题目详解】(1)由消去参数t得(),由得曲线C的直角坐标方程
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