高一数学教案 必修4后半部分

编写时间＿＿年＿＿月＿＿日执行时间＿＿年＿＿月＿日教案总序号＿＿＿汝城二中高一数学教案第75页（共75页）2.1课题平面向量的实际背景及基本概念教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学思路：一、情景设置：ABCD如图，老鼠由AABCD结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：A(起点A(起点)B（终点）a向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（）课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本88页练习三、小结：描述向量的两个指标：模和方向.平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题五，课后记

2.2课题：向量的加法运算及其几何意义教学目标：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学过程：一、设置情景：复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置情景设置：ABC（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，ABCCAB则两次的位移和：CAB（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，ABC则两次的位移和：ABC（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和：ABC（4）船速为，水速为，则两速度和：ABC二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a+0-=0+aaaaaAABCa+ba+baabbaｂｂａ＋ｂa探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；OABaaabbb（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；OABaaabbb（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加３．例一、已知向量、，求作向量+作法：在平面内取一点，作，则.４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中+的结果与+是否相同？验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：+=+５．向量加法的结合律：(+)+=+(+)证：如图：使，，则(+)+=，+(+)=∴(+)+=+(+)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（P94—95）略练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、注意：|+|≤||+||，当且仅当方向相同时取等号.五、课后作业：P103第２、３题六、课后记2.3课题：向量的减法运算及其几何意义教学目标：1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.教学思路：复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：ABDC例：在四边形中，.ABDC解：提出课题：向量的减法用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作a（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0如果a、b互为相反向量，则a=b，b=a，a+b=0（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作abOabBabOabBabab∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a作法：在平面内取一点O，作=a，=b则=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1表示ab.强调：差向量“箭头”指向被减数OABaB’bbbBa+(b)ab2OABaB’bbbBa+(b)ab显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.探究：如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是ba.aabAABBB’OabaabbOAOBababBAOb２）若a∥b，如何作出ab？例题：例一、（P９７例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.解：在平面上取一点O，作=a，=b，=c，=d，作，，则=ab，=cdAABCbadcDOABABDC例二、平行四边形中，a，b，用a、b表示向量、.解：由平行四边形法则得：=a+b，==ab变式一：当a，b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a|=|b|）变式二：当a，b满足什么条件时，|a+b|=|ab|？（a，b互相垂直）变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）练习：Ｐ98小结：向量减法的定义、作图法|作业：P103第4、５题课后记2.4课题：平面向量基本定理教学目标：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.教学过程：复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=2．运算定律结合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ3.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.二、讲解新课：平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量三、讲解范例：例1已知向量，求作向量2.5+3.例2如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4例4（1）如图，，不共线，=t(tR)用，表示.（2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线.例5已知a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.四、课堂练习：1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于()A.3B.-3C.0D.24.已知a、b不共线，且c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1=5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a=λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).五、小结（略）六、课后作业学海导航七、课后记：2.5课题：平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………eq\o\ac(○,1)我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1）若，，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为、，则即，同理可得（2）若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.==(x2，y2)(x1，y1)=(x2x1，y2y1)（3）若和实数，则.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为、，则，即三、讲解范例：例1已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.例2已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.例3已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2，2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0)例4已知三个力(3，4)，(2，5)，(x，y)的合力++=，求的坐标.解：由题设++=得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)即：∴∴(5，1)四、课后作业1．若M(3，-2)N(-5，-1)且，求P点的坐标2．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则2=.小结、本节课主要讲述了平面向量的坐标的及平面向量的坐标运算；五．课后记：2.6课题：平面向量共线的坐标表示教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，.2．平面向量的坐标运算若，，则，，.若，，则二、讲解新课：∥()的充要条件是x1y2-x2y1=0设=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵∴x2，y2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成∵x1，x2有可能为0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥()三、讲解范例：例1（教材P98）已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.例2（教材P98）已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.例3（教材P99）设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.例4若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，求x解：∵=(-1，x)与=(-x，2)共线∴(-1)×2-x•(-x)=0∴x=±∵与方向相同∴x=例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？四、课堂练习：1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）A.-3B.-1C.1D.33.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.五、小结本节课主要讲述了平面向量的坐标的概念及平面向量的坐标运算；大家要会根据向量的坐标，判断向量是否共线.六、课后作业学海导航七、课后记：2.7课题：平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目标：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.2．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ23．平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作4．平面向量的坐标运算若，，则，，.若，，则5．∥()的充要条件是x1y2-x2y1=06．线段的定比分点及λP1，P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，使=λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：λ>0(内分)(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)7.定比分点坐标公式：若点P１(x1，y1)，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比.8.点P的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点.②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点P为的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，可得=.10．力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180CC2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是ab=bca=c如右图：ab=|a||b|cos=|b||OA|，bc=|b||c|cos=|b||OA|ab=bc但ac(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos2aba3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或4cos=5|ab|≤|a||b|三、讲解范例：例1（教材P104）已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120o，求a·b.例2（教材P105）已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b).例3（教材P105）已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.例4判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.四、课堂练习：1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）A.60°B.30°C.135°D.４５°2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（）A.2B.2C.6D.123.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|=.5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b=.6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______.7.已知|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-39.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.五、小结：本节课讲述了平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；也介绍了如何利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题；，尤其是向量垂直的条件的应用.六、课后作业学海导航2.8课题：平面向量数量积的运算律教学目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos；2aba3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或4cos=；5|ab|≤|a||b|二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：ab=ba证：设a，b夹角为，则ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos∴ab=ba2．数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)证：若>0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，若<0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.3．分配律：(a+b)c=ac+bc在平面内取一点O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b两式相减：2ab=b代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为，则cos=∴=60例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD中，，，=∴||2=而=，∴||2=∴||2+||2=2=例3四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形.评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律C.向量的数量积满足结合律D.a·b是一个实数2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（）A.72B.-72C.36D.-363.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（）A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝.5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|=.6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝.五、小结：

启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.

六、课后作业学海导航七．课后记：2.9课题：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的等价条件，及平面内两点间的距离公式.⑶能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.C2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，C（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos；2abab3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或4cos=；5|ab|≤|a||b|5．平面向量数量积的运算律交换律：ab=ba数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)分配律：(a+b)c=ac+bc二、讲解新课：⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，，试用和的坐标表示.设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以又，，，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即2.平面内两点间的距离公式设，则或.（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)向量垂直的判定设，，则 两向量夹角的余弦（）cos=讲解范例：设a=(5，7)，b=(6，4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.例3已知a=(3，1)，b=(1，2)，求满足xa=9与xb=4的向量x.解：设x=(t，s)，由∴x=(2，3)例4已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝又∵０≤θ≤π，∴θ＝评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5如图，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使B=90，求点B和向量的坐标.解：设B点坐标(x，y)，则=(x，y)，=(x5，y2)∵∴x(x5)+y(y2)=0即：x2+y25x2y=0又∵||=||∴x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10x+4y=29由∴B点坐标或；=或例6在△ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.解：当A=90时，=0，∴2×1+3×k=0∴k=当B=90时，=0，==(12，k3)=(1，k3)∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=当C=90时，=0，∴1+k(k3)=0∴k=课堂练习：1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４a·bA.23B.57C.63D.832.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）A.或B.或C.或D.或4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)=.小结：本节课讲述了平面向量数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示的等价条件及平面内两点间的距离公式.五课后作业学海导航六课后记：2.10课题：平面几何中的向量方法教学目标：理解向量加减法与向量数量积的运算法则;会用向量知识解决几何问题;能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.教学重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则.教学难点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的意义和性质.教学过程：一、复习准备：1.提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的?2.讨论：①若为的重心,则++=0②水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?二、讲授新课：1.教学平面几何的向量：①平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行中，设＝，＝，则（平移），，（长度）．向量，的夹角为②讨论：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量．通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果＂翻译＂成几何关系．2.教学例题：例1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．例2：如图，在中，，，，求证四边形为矩形例３：在中，是的中点，点在边上，且，相交于点，如图，求．课堂练习：已知平行四边形，在对角线上，并且，求证是平行四边形．求证：两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形．在平行四边形中，已知，对角线，求对角线的长．小结：向量加减法与向量数量积的运算法则；向量加减法与向量数量积的意义和性质.课后作业：书P1252.课后记2.11课题：向量举例在物理中的应用教学要求：理解向量线性运算及数量积运算，会用向量知识解决物理问题.教学重点：理解并能灵活应用向量线性运算及数量积的意义和性质.教学难点：理解并能灵活应用向量线性运算及数量积的意义和性质.教学过程：一、复习准备：1.讨论:①两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.②在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.2.提问:类比物理元素之间的关系,你会想到向量运算之间有什么关系?二、讲授新课：1.教学物理中的向量：①物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法,因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则.力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解,运动的叠加也用到了向量的加法.③动量是数乘向量.④力所做的功就是作用力与物体在力的作用下所产生的位移的数量积.⑤用向量研究物理问题的方法:首先把物理问题转化成数学问题,即将物理量之间的关系抽象成数学模型,然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.⑥探究：学生举出几个关于力、速度、加速度、位移的例子.2.教学例题：例1：某人在静水中游泳,速度为如果他径直游向河对岸,水流速度为,那么他实际上沿什么方向前进?速度大小为多少?他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?练习：某人在无风天气行走,速度为,如果他沿正北方向行走,东风的风速为,那么他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?例2：如图,用两根分别长的绳子将100N的物体吊在水平屋顶上,平衡后G点距屋顶的距离恰好为,求A处受力的大小.(分析：解决此类问题要先依题意将物理向量用有向线段来表示,利用向量加法的平行四边形法则,将物理问题转化为数学中向量加法,然后由已知条件进行计算.)练习：用两条成角的等长的绳子挂一个灯具,已知灯具的重量10N,则,每根绳子的拉力大小是多少?.课堂练习：1.静水中船的速度是每分钟40m,水水流的速度是每分钟20m,如果船沿着垂直水流的方向到达对岸,那么船行进的方向与河岸的夹角为_________.2.甲飞机从A城市向北飞行了,然后向东飞行;乙飞机从B城市向东飞行了,然后向北飞行,那么甲、乙两飞机飞行的位移相等吗?为什么?小结：物理中的向量；用向量研究物理问题的方法.课后作业：教材P1253、4题.课后记：2.12课题：复习课一、教学目标1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6.向量的坐标概念和坐标表示法7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8.数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、典型例题例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。例2已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，且||=2，||=1，||=3，用与表示解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中,是单位正交基底向量,则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是=－,=，=-3所以-3=3+|即=3－3例3.下面5个命题：①|·|=||·||②(·)=·③⊥(－)，则·=·④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是（）A①②⑤B③④C①③D②④⑤巩固训练1.下面5个命题中正确的有（）①=·=·；②·=·=；③·（+）=·+·；④·（·）=（·）·；⑤.A..①②⑤B.①③⑤C.②③④D.①③2.下列命题中，正确命题的个数为（A）①若与是非零向量，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且∥则=||③··=||④若与共线，与共线，则与共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有+=+A1B2C3D43.下列5个命题中正确的是①对于实数p,q和向量,若p=q则p=q②对于向量与，若||=||则=③对于两个单位向量与，若|+|=2则=④对于两个单位向量与，若k=，则=4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD为正方形。2.13课题：平面向量测试题A组（1）如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）(A)(B)(C)(D)（2）在四边形中，若，则四边形的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形（3）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（）(A)（12，5）(B)（-2，9）(C)（3，7）(D)（-4，-1）（4）已知正方形的边长为1，，，，则等于()(A)0(B)3(C)(D)（5）已知，，且向量，不共线，若向量与向量互相垂直，则实数的值为．（6）在平行四边形ABCD中，，，O为AC与BD的交点，点M在BD上，，则向量用，表示为；用，表示为．（7）在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h．渡船要垂直地渡过长江，则航向为（8）三个力，，的大小相等，且它们的合力为0，则力与的夹角为．（9）用向量方法证明：三角形的中位线定理（10）已知平面内三点、、三点在一条直线上，，，，且，求实数，的值．B组（11）已知点、、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则()(A)点P在线段AB上(B)点P在线段AB的反向延长线上(C)点P在线段AB的延长线上(D)点P不在直线AB上（12）已知D、E、F分别是三角形ABC的边长的边BC、CA、AB的中点，且，，，则①，②，③，④中正确的等式的个数为()（A）1（B）2（C）3（D）4（13）已知向量，，则向量在方向上的投影为．（14）已知，，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用、表示为．（15）已知向量，，若向量与的夹角为直角，则实数的值为；若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为．（16）已知，，，点为坐标原点，点是直线上一点，求的最小值及取得最小值时的值．（17）如图，点、是线段的三等分点，求证：（1）一般地，如果点，，…是的等分点，请写出一个结论，使（1）为所写结论的一个特例．并证明你写的结论．（18）已知等边三角形的边长为2，⊙的半径为1，为⊙的任意一条直径，（Ⅰ）判断的值是否会随点的变化而变化，请说明理由；（Ⅱ）求的最大值．参考答案或提示：（三）平面向量A组（1）D（2）A（3）C（4）D（5）（6）；（7）北偏西300（8）（9）略（10）或略解或提示：由单位向量的定义即得，故选（D）．由于，∴，即，∴线段与线段平行且相等，∴为平行四边形，选（A）．估算：画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三点．由于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（B）、（D），而符合条件的点第一象限只有一个点，且位于点（5，7）的右侧，则该点的横坐标要大于5，∴排除（A），选（C）．由于∴，∴选（D）．向量与向量互相垂直，则（(,∴,而,,∴．∵，而，∴；∴．如图，渡船速度，水流速度，船实际垂直过江的速度，依题意，，，由于为平行四边形，则，又，∴在直角三角形中，∠=，∴航向为北偏西．过点作向量、、，使之分别与力，，相等，由于，，的合力为，则以、为邻边的平行四边形的对角线与的长度相等，又由于力，，的大小相等，∴，则三角形和三角形均为正三角形，∴，即任意两个力的夹角均为．（10）由于O、A、B三点在一条直线上，则∥，而，∴，又，∴联立方程组解得或．B组（11）B（12）C（13）（14）2（15）或2；（16）（17）答案不唯一，如或（18）（Ⅰ）（Ⅱ）．略解或提示：（11）由于，∴，即，∴，则点P在线段AB的反向延长线上，选（B）．（12）∵，又，∴，即①是错误的；由于，即②是正确的；同理，而，则，∴,即③是正确的；同理，∴；即④是正确的．选（C）．（13）设与的夹角为，则向量在方向上的投影为．（14）由于为中点，为中点，∴，，两式相减得，∴，∴2．也可直接根据中位线定理2．（15）若与的夹角为直角，则，即,∴或2；若向量与的夹角为钝角，则，且与不共线，则，且，解得或．（16）由于点是直线上一点，设点C，∴,,，∴时，的最小值为；而时，，，．（17）解：∵，∴同理，则；一般结论为证明：∵，∴，而∴注：也可以将结论推广为证明类似，从略．（18）（Ⅰ）由于，而，则∵，∴，即的值不会随点的变化而变化；（Ⅱ）由于，∴，∵∴（等号当且仅当与同向时成立），∴的最大值为3．课题：两角差的余弦公式教学要求：经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用教学重点：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式及运用.教学难点：两角差的余弦公式的推导.教学过程：一、复习准备：1.向量的知识：数量积;二、讲授新课：1.新课导入：情景导入：我们在初中时就知道

，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？根据第一章所学的知识可知猜想是错误的！下面一起探讨两角差的余弦公式在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？2.教学：记忆：左端为两角差的余弦，右端为的同名三角函数积的和。例1、利用余弦公式计算的值.点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，要学会灵活运用.变式训练:不查表求的值不查表求的值例2、已知，是第三象限角，求的值.点评：注意角、的象限，也就是符号问题.变式训练:已知，是第三象限角，求的值.例3.例4.已知3.归纳小结：学习两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解推导过程，在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.三、巩固练习：教材第127页第1、2、3、4作业布置：教材第137页第2、3、4、5课后记:课题：两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)教学要求：理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用教学过程：一、复习准备：1.二、讲授新课：1.新课教学：(1)在中讨论当为时呢？再利用两角差的余弦公式得出(2)思考两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差的正弦、正切公式.

,让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推导出两角差的正切公式呢？2.例题教学：例1.已知是第四象限角，求的值.例2.求值：（1）；（2）．解：（1）；（2）例3.例4.已知，，求，．解：，∴，，∴，∴，．又，∴．．3.小结：本节我们复习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.三、巩固练习:教材第131页第1,2,3,4题作业布置：教材第137页第6、7、8、9课后记:课题：两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)课型：习题课教学要求：熟记两角和与差的正弦、余弦和正切公式并会灵活运用,正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式解决问题；教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用教学过程：一、复习准备：二、讲授新课：1.例题教学：例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

（1）；（2）；（3）分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.

例2：在中，若，求的值。解：．例3：求证：．证明：左边右边．例4.已知，求的值。解：，∴例5.已知，求的值。解：得：，∴．【变题】已知，且，求．（答案）例6：已知一元二次方程的两个根为，求的值。解：由和一元二次方程根与系数的关系，得，又，所以，．变式训练:已知，且是方程的两个根，求．2.小结：(1)求三角函数值时，要观察题中给出条件及所求结论的特征，特别是角的特征，寻找恰当的方法（切、割化弦；将式子化为一个角的一个三角函数式等），解决问题；(2)．三、巩固练习:教材第131页第5,7题作业布置：教材第137页A组第10、11、12,B组第2题课后记:课题：两角和与差的正弦、余弦、正切公式(3)教学要求：1.了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，选用恰当的公式解决问题；2.正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明。教学重点:根据具体问题选择恰当的三角公式并进行有益的变形。教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用教学过程：一.复习准备：公式二.新课讲解：例1.已知，求的值．变式训练:已知，，求的值。解：例2.已知是偶函数，求的值．解：∵是偶函数，∴，即，由两角和与差公式展开并化简，得，上式对恒成立的充要条件是所以，．例3.已知：，求证：．证明：因为即∴，即：．例4.求值。解：原式．变式训练:(1).求值：(2)．求证：例5.化简三、巩固练习:教材第132页第6题作业布置：教材第137页第13题课后记:课题：二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)教学要求：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.

教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式

教学难点：二倍角的理解及其灵活运用

教学过程：一、复习准备：教学过程：一、复习准备：1．复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式；；；．2．提出问题：当=这些公式会变成怎么样呢？二、讲授新课：1.新课教学：二倍角公式的推导说明：（1）“倍角”的意义是相对的，如：是的二倍角；（2）观察公式特征：“倍角”与“二次”的关系；（3）利用三角函数关系式，可将余弦的倍角公式变形为：，，，统称为升幂公式。（4）注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：．2.例题教学：例1、已知求的值．例２、已知求的值．解：，由此得解得或例3.求的值变式：化简例4.教材第133页例63.小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.三、巩固练习：课本135页1,2,3,5题作业布置：教材第138页第15,16,17,18,19题课后记:课题：二倍角的正弦、余弦和正切公式(2)课型：习题课教学要求：1.能顺向、逆向、变形运用倍角公式进行求值、化简；2.结合三角函数值域求函数值域问题。教学重点.公式的逆向运用及变式训练。

教学难点：公式的逆向运用及变式训练。

教学过程:（一）复习：1．二倍角公式2．练习：若，求的值。（解答：（二）新课讲解：例1：化简（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）；（2）；（3）；（4）变式训练：1．化简；2．已知为第三象限角，且，求的值。例2：利用三角公式化简：．解：原式．例3：求函数的值域。解：，令，则有，，∴，所以，函数的值域为．例4：已知，且，求的值。（略解）原式（三）、巩固练习：1.在△ABC中，已知,，求的值.2.已知，求的值.3.已知，求的值.4．求小结：1.解题的关键是公式的灵活运用，特别是二倍角余弦公式形式多样，在解题中应予以重视；2.结合三角函数求值域的常用方法。作业布置：学海导航阶段练习七，课本第151页17、18题课后记:课题：简单的三角恒等变换（1）课型：新授课教学目标：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差，和差化积，半角公式为基本训练，学习三角变换的内容，思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理，运算的能力。教学重点与难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法推导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。教学过程：复习准备提问：前面学过的倍角公式是什么？（学生说，老师板书）讨论：与有什么关系？（学生回答）二.讲授新课1.通过讨论知道，是的二倍角，在复习的倍角公式中，让学生以代替，以代替将公式进行改写。（可以请两个学生板演，老师巡查整个教室，最后师生一起检查板演的作业）2.出示教材例1：老师将刚才的结果进行改写，即半角公式。3.讨论：代数式的变换与三角变换有什么不同？结论：代数式变换着眼于式子结构形式的变换；三角变换首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。