19.4综合与实践-多边形镶嵌

19.4综合与实践多边形的镶嵌制作人：王伟19.4综合与实践制作人：王伟学习目标1、通过用一种正多边形进行镶嵌的实验（课件展示），探究平面镶嵌的条件2、探究能用哪两种不同的正多边形可以进行组合镶嵌3、探究用三角形与四边形能否进行平面镶嵌重点难点：正多边形镶嵌的条件（或原理）学习目标1、通过用一种正多边形进行镶嵌的实验（课件展示），探好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有.感知生活好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有.感知生活美哉！生活美哉！生活这是你家的地板吗？这是你家的地板吗？在你身边看到过吗？在你身边看到过吗？你知道怎么做的吗？你知道怎么做的吗？学习新知镶嵌学习新知镶嵌

定义：这种用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌。（简单理解成：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这叫做平面镶嵌。镶嵌也叫密铺。）注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠什么是镶嵌？定义：这种用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域？探究（一）平面镶嵌条件仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域？探(一）正三角形的平面镶嵌60°60°60°60°60°60°6个正三角形可以镶嵌观察同一个顶点处有几个内角恰好拼成一个周角？6个初步感知：同一顶点处的几个内角之和360度(一）正三角形的平面镶嵌60°60°60°60°60°60°（二）正方形的平面镶嵌90°4个正方形可以镶嵌观察同一个顶点处有几个内角恰好拼成一个周角？4个（二）正方形的平面镶嵌90°4个正方形可以镶嵌观察同一个顶点（三）正六边形的平面镶嵌120°120°120°3个正六边形可以镶嵌3个观察同一个顶点处有几个内角恰好拼成一个周角？（三）正六边形的平面镶嵌120°120°120°3个正123∠1+∠2+∠3=（四）用边长相同的正五边形能否镶嵌？观察同一个顶点处有几个内角恰好拼成一个周角？不能拼成周角1080108010803240正五边形不能镶嵌123∠1+∠2+∠3=（四）用边长相同的正五边形能否镶嵌？思考：为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？思考：为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形结论（平面镶嵌条件）要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有内角之和等于360°。思考还有其它正多边形能镶嵌吗？结论（平面镶嵌条件）要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区

还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？

。k·(n-2)×180n=360。(n-2)(k-2)=4k=6n=3k=4n=4k=3n=6

设在一个顶点周围有k个正n边形的角，则有∵k为正整数，n为大于等于3的正整数∴解为即6个正三角形、4个正方形、3个正六边形…K个角

还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？。k·(n-2)×18用一种正多边形可以镶嵌的条件每个内角都能整除360o

。

用一种正多边形可以镶嵌的条件每个内角都能整除360o。用两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域?探究（二）平面镶嵌条件用两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域?探究（二）平面（一）正三角形与正方形2m+3n=12m=3n=2

m·60°+n·90°=360°设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正方形的角，则有∵m,n为正整数∴解为…m个正三角形角，n个正方形角（一）正三角形与正方形2m+3n=12m=33个正三角形+2个正方形3个正三角形+2个正方形（二）正三角形与正六边形m+2n=6

m·60°+n·120°=360°设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正六边形的角，则有∵m,n为正整数m=4n=1m=2n=2∴解为…m个正三角形角，n个正六边形角（二）正三角形与正六边形m+2n=62个正三角形+2个正六边形2个正三角形+2个正六边形4个正三角形+1个正六边形4个正三角形+1个正六边形1个正方形+2个正八边形（三）正方形与正八边形1个正方形+2个正八边形（三）正方形与正八边形2个正五边形+1个正十边形（四）正五边形与正十边形2个正五边形+1个正十边形（四）正五边形与正十边形（五）正三角形与正十二边形1个正三角形+2个正十二边形（五）正三角形与正十二边形1个正三角形+2个正十二边形我的收获当拼接点处的所有角之和是360º时，就能拼成一个平面图形。思考：能否用三种正多边形，如用正三角形，正方形，正六边形（边长相同）能铺满地面？我的收获当拼接点处的所有角之和是360º时，就能拼成一个平面1个正三角形+2个正方形+1个正六边形1个正三角形+2个正方形+1个正六边形探究（三）仅用同一种形状、大小完全相同的多边形能进行平面镶嵌吗？探究（三）仅用同一种形状、大小完全相同的231231231231231231231231231231（一）同一种任意三角形的镶嵌结论：形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。231231231231231231231231231231

通过探究我发现：1.任意形状、大小相同的三角形都____镶嵌,2.在每个拼接点处有___个角，而这___个角的和恰好是这个三角形的内角和的___倍，也就是它们的和为____.可以六六两360o通过探究我发现：1.任意形状、大小相同的三角形都____241324132413241324132413241324132413241324132413（二）同一种任意四角形的镶嵌结论：形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形。在每一个拼接点，四边形的每一个内角用了一次，它们的和等于3600，即等于四边形的内角和。241324132413241324132413241324通过探究我发现：1.任意形状大小相同的四边形___镶嵌.2.在每个拼接点处有___个角，而这___个角的和恰好是这个四边形的四个内角之___,也就是它们的和为____.可以四四和360º通过探究我发现：1.任意形状大小相同的四边形___镶嵌.可以想一想上面我们讨论的一般三角形和四边形都可以平面镶嵌，因为三角形的内角和是180°，四边形内角和是360°它们的内角和是整数倍都是360°，那么其它的一般多边形能进行镶嵌吗？想一想上面我们讨论的一般三角形和四边形都可以平面镶嵌，因为三例如：在五边形中，内角和540°，已经超过360°，即每一个内角拼接在一起时有重叠部分，不符合平面镶嵌的含义。当边数越大时，内角和也越大，更不符合要求，因此边数大于4的一般多边形不可以平面镶嵌。示例说明例如：在五边形中，内角和540°，已经超过360°，即每一个结论1、要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有角之和等于360°。2、任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌3、任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌4、用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、正方形、正六边形5、用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形、正五边形与正十边形、正三角形与正十二边形等。6、用三种正多边形，如用正三角形，正方形，正六边形（边长相同）也可镶嵌。结论1、要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼谢谢您的热情参与谢谢您的热情参与

19.4综合与实践多边形的镶嵌制作人：王伟19.4综合与实践制作人：王伟学习目标1、通过用一种正多边形进行镶嵌的实验（课件展示），探究平面镶嵌的条件2、探究能用哪两种不同的正多边形可以进行组合镶嵌3、探究用三角形与四边形能否进行平面镶嵌重点难点：正多边形镶嵌的条件（或原理）学习目标1、通过用一种正多边形进行镶嵌的实验（课件展示），探好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有.感知生活好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有.感知生活美哉！生活美哉！生活这是你家的地板吗？这是你家的地板吗？在你身边看到过吗？在你身边看到过吗？你知道怎么做的吗？你知道怎么做的吗？学习新知镶嵌学习新知镶嵌

定义：这种用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌。（简单理解成：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这叫做平面镶嵌。镶嵌也叫密铺。）注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠什么是镶嵌？定义：这种用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域？探究（一）平面镶嵌条件仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域？探(一）正三角形的平面镶嵌60°60°60°60°60°60°6个正三角形可以镶嵌观察同一个顶点处有几个内角恰好拼成一个周角？6个初步感知：同一顶点处的几个内角之和360度(一）正三角形的平面镶嵌60°60°60°60°60°60°（二）正方形的平面镶嵌90°4个正方形可以镶嵌观察同一个顶点处有几个内角恰好拼成一个周角？4个（二）正方形的平面镶嵌90°4个正方形可以镶嵌观察同一个顶点（三）正六边形的平面镶嵌120°120°120°3个正六边形可以镶嵌3个观察同一个顶点处有几个内角恰好拼成一个周角？（三）正六边形的平面镶嵌120°120°120°3个正123∠1+∠2+∠3=（四）用边长相同的正五边形能否镶嵌？观察同一个顶点处有几个内角恰好拼成一个周角？不能拼成周角1080108010803240正五边形不能镶嵌123∠1+∠2+∠3=（四）用边长相同的正五边形能否镶嵌？思考：为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？思考：为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形结论（平面镶嵌条件）要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有内角之和等于360°。思考还有其它正多边形能镶嵌吗？结论（平面镶嵌条件）要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区

还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？

。k·(n-2)×180n=360。(n-2)(k-2)=4k=6n=3k=4n=4k=3n=6

设在一个顶点周围有k个正n边形的角，则有∵k为正整数，n为大于等于3的正整数∴解为即6个正三角形、4个正方形、3个正六边形…K个角

还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？。k·(n-2)×18用一种正多边形可以镶嵌的条件每个内角都能整除360o

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用一种正多边形可以镶嵌的条件每个内角都能整除360o。用两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域?探究（二）平面镶嵌条件用两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域?探究（二）平面（一）正三角形与正方形2m+3n=12m=3n=2

m·60°+n·90°=360°设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正方形的角，则有∵m,n为正整数∴解为…m个正三角形角，n个正方形角（一）正三角形与正方形2m+3n=12m=33个正三角形+2个正方形3个正三角形+2个正方形（二）正三角形与正六边形m+2n=6

m·60°+n·120°=360°设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正六边形的角，则有∵m,n为正整数m=4n=1m=2n=2∴解为…m个正三角形角，n个正六边形角（二）正三角形与正六边形m+2n=62个正三角形+2个正六边形2个正三角形+2个正六边形4个正三角形+1个正六边形4个正三角形+1个正六边形1个正方形+2个正八边形（三）正方形与正八边形1个正方形+2个正八边形（三）正方形与正八边形2个正五边形+1个正十边形（四）正五边形与正十边形2个正五边形+1个正十边形（四）正五边形与正十边形（五）正三角形与正十二边形1个正三角形+2个正十二边形（五）正三角形与正十二边形1个正三角形+2个正十二边形我的收获当拼接点处的所有角之和是360º时，就能拼成一个平面图形。思考：能否用三种正多边形，如用正三角形，正方形，正六边形（边长相同）能铺满地面？我的收获当拼接点处的所有角之和是360º时，就能拼成一个平面1个正三角形+2个正方形+1个正六边形1个正三角形+2个正方形+1个正六边形探究（三）仅用同一种形状、大小完全相同的多边形能进行平面镶嵌吗？探究（三）仅用同一种形状、大小完全相同的231231231231231231231231231231（一）同一种任意三角形的镶嵌结论：形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。231231231231231231231231231231

通过探究我发现：1.任意形状、大小相同的三角形都____镶嵌,2.在每个拼接点处有___个角，而这___个角的和恰好是这个三角形的内角和的___倍，也就是它们的和为____.可以六六两360o通过探究我发现：1.任意形状、大小相同的三角形都____241324132413241324132413241324132413241324132413（二）同一种任意四角形的镶嵌结论：形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形。在每一个拼接点，四边形的每一个内角用了一次，它们的和等于3600，即等于四边形的内角和。2413241324