数学归纳法的变式及应用

关于数学归纳法的变式及应用第1页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四1.引言

数学归纳法是一种完全归纳法。它是一种常用于证明与正整数集有关命题的重要论证方法，在几何证明和代数证明中都有着广泛的应用。第2页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四2.数学归纳法第一类数学归纳法（数学归纳法）第一类数学归纳法的基本形式为：设是一个关于自然数n的命题，如果(1)成立；(2)假设成立，则也成立；那么，对任意自然数n都成立。第3页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四第二类数学归纳法

第二类数学归纳法又称串值归纳法，它的基本形式为：设是一个关于自然数n的命题，如果(1)成立；(2)假设对于所有适合n<k的正整数n成立，则也成立；那么，对任意自然数n都成立。第4页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四例2.3.2证明可以仅用4分和5分邮票来组成等于和超过12分的每种邮资。(1)当n=12,13,14,15时，命题为真。票加上1个4分邮票就可以了。为了组成n+1分邮资，用组成n-3分邮资的邮即可以用4分和5分邮票来组成k（）分邮资。(2)对于任意自然数n15,假定命题为真第5页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四两类数学归纳法是等价的

第一数学归纳法和第二数学归纳法是等价的，即用第一数学归纳法证明的可以用第二数学归纳法证明，反之亦然。第6页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四3.数学归纳法的变式

1跳跃归纳法跳跃归纳法的基本形式为：那么，对任意自然数都成立。数k+l正确；(2)假设对于自然数k正确，就能推出命题对自然(1)成立；设是一个关于自然数n的命题，如果第7页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四反归纳法的基本形式为：

设是一个关于自然数n的命题，如果(1)对无穷多个自然数成立；(2)假设对于自然数k正确，就能推出命题对自然数k-1正确；那么，对任意自然数n都成立。

2反归纳法（倒推归纳法）第8页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四例求证n个正实数的算术平均值大于或等于这n个数的几何平均值，即证明：(1)当n=2时，因此命题对n=2正确。当n=4时，

因此命题对n=4正确。同理可推出命题对都正确（s为任意自然数）。第9页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四(2)设命题对n=k正确，令则由归纳假设命题对n=k正确，所以所以 即 第10页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四

命题对n=k-1也正确，由反归纳法原理知，命题对一切自然数成立。

第一类数学归纳法的关键是：由成立往后推出也成立；而反归纳法的关键恰是：由成立往前推出成立。第11页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四双归纳法的基本形式为：设命题P与两个独立的自然数对m与n有关，若(1)命题P对m=1与n=1是正确的；(2)从命题对自然数对（m,n）正确就能推出该命题对自然数对（m+1,n）正确，和对自然数对（m,n+1）也正确；则命题P对一切自然数对（m,n）都正确。3双归纳法（二元归纳法）第12页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四跷跷板归纳法的基本形式为：有两个命题,如果(1)正确；(2)假设正确，那么也是正确的；(3)假设正确，那么也是正确的；那么，对于任意自然数n,命题都是正确的。4跷跷板归纳法与螺旋式上升归纳法第13页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四例已知数列1，3，7，12，19，27，37，48，61……设为其第n项，为其前n项的和，其中求证：证明：令为；为为(1)，即是正确的。第14页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四(2)假设那么即，假设是正确的，那么也正确。即，假设是正确的，则也正确。(3)假设，那么因此，对任何自然数都是正确的。第15页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四说明：作为“跷跷板归纳法”的推广，还可能要使用若干结论螺旋式上升的证明方法，这种方法的基本形式为：有五个命题，如果(1)是正确的；(2)那么，这五个命题都是正确的。第16页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四数学归纳法和反证法的关系

凡是用数学归纳法证明的命题都可以用反证法来证明，因而数学归纳法在使用上可以用反证法来代替，反之不然。第17页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四

每一种形式的数学归纳法都有两个步骤，第一步是验证步骤，第二步是归纳步骤。这两步相辅相成，缺一不可。下面这个例子就是很好的说明。5.关于数学归纳法的若干说明第18页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四例

二项式曾引起数学家们的极大兴趣，最使数学家们感性趣的是把它分解为具有整系数因子的乘积。

对许许多多特殊n的值，考查的分解式。数学家们发现：在分解式中，x的各次幂的所有系数的绝对值都不超过1。实际上，第19页，共22页，2022年，5月20日，23点27分，星期四第20页，共22页，2022年，5月20日