工程计算7矩阵特征值与特征向量课件

7求矩阵特征值与特征向量7.1幂法与反幂法7.2Jacobi方法7.3QR方法7求矩阵特征值与特征向量7.1幂法与反幂法2022/10/2027.1幂法与反幂法在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。矩阵的最小特征值在工程中有重要意义。n阶方阵A的n个特征值就是其特征方程的非零解。

的n个根，A属于特征值的特征向量x是线性方程组2022/10/1527.1幂法与反幂法在实际问题中，矩2022/10/2037.1幂法与反幂法例1设矩阵幂法的基本思想是：先任取非零初始向量x0，然后作迭代序列

xk+1=Axkk=1，2，…两个特征值为

取初始向量x0=(1，0)T，计算向量序列

xk+1=Axkk=1，2，…2022/10/1537.1幂法与反幂法例1设矩阵2022/10/2047.1幂法与反幂法kx1(k)x2(k)01231151302414kx1(k)x2(k)45674112136510934012236410942022/10/1547.1幂法与反幂法kx1(k)x22022/10/2057.1幂法与反幂法设矩阵A的几个特征值按模的大小排列如下其相应特征向量为

任取初始向量

2022/10/1557.1幂法与反幂法设矩阵A的几个特2022/10/2067.1幂法与反幂法分三种情况讨论

1.1为实根，且|1|>|2|当a1≠0，k充分大时，有2.1=2为实根，且|2|

>|3|

，当a1，

a2≠0，k充分大时，有2022/10/1567.1幂法与反幂法分三种情况讨论2022/10/2077.1幂法与反幂法2022/10/1577.1幂法与反幂法2022/10/2087.1幂法与反幂法3k充分大时，有2022/10/1587.1幂法与反幂法3k充分大时，有2022/10/2097.1幂法与反幂法令用最小二乘法解,求出p、q，然后再解一元二次方程

得到的两个根便是1,2的近似值。再由

2022/10/1597.1幂法与反幂法令用最小二乘法解2022/10/20107.1幂法与反幂法综上所述，可得

2022/10/15107.1幂法与反幂法综上所述，可得2022/10/20117.1幂法与反幂法可根据迭代向量各分量的变化情况来判定属于哪种情况

若迭代向各分量单调变化，且有关系式

xk+1=cxk属于第1种情况若迭代向量分量变化不单调，但有关系式xk+2=cxk则属于第2种情况若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式

则属于第3种情况

2022/10/15117.1幂法与反幂法可根据迭代向量2022/10/20127.1幂法与反幂法时，按模最大特征值为正，故计算时s取

时，s取

2022/10/15127.1幂法与反幂法2022/10/20137.1幂法与反幂法两端同乘以A，得

2022/10/15137.1幂法与反幂法两端同乘以A，2022/10/20147.1幂法与反幂法因为

前两式两端分别取范数后，代入上式得当时，当k充分大时，mk就是按模最大的特征值|1|的近似值

2022/10/15147.1幂法与反幂法因为前两式两2022/10/20157.1幂法与反幂法另一方面，有

2022/10/15157.1幂法与反幂法另一方面，有2022/10/20167.1幂法与反幂法

说明归一化向量序列{yk}收敛于按模最大的特征值所对应的特征向量。因此，当k充分大时，{yk}就是特征向量{u1}的近似值2022/10/15167.1幂法与反幂法说明归一化向2022/10/20177.1幂法与反幂法

能否按此方法求出次大特征值和特征向量限制：设|1|>|2|>|3|≥…,在求出1，{u1}条件下2022/10/15177.1幂法与反幂法2022/10/20187.2

Jacobi方法其中，D

是对角矩阵，其主对角线元素λj(j=1，2，…，n)是矩阵

A

的特征值，而正交矩阵U的第j列就是A的属于λj的特征向量(j=1，2，…，n)。

Jacobi方法是用于计算实对称矩阵的全部特征值及对应特征向量的一种变换方法。Jacobi方法的基本思想是，通过一组平面旋转变换（正交相似变换）将对称矩阵A化为对角矩阵，进而求出其全部特征值。由代数学知识，对于一个实对称矩阵A=(aij)nn，一定存在正交矩阵U

UTAU=D

求实对称矩阵A的特征值问题等于寻找正交矩阵U，使UTAU=D为对角阵2022/10/15187.2Jacobi方法2022/10/20197.2

Jacobi方法有实对称矩阵A=(aij)n×n，它的一对非主对角线元素apq=aqp(p≠q)不为零。取nn的正交矩阵

2022/10/15197.2Jacobi方法2022/10/20207.2

Jacobi方法

Upq是n维空间中的二维坐标旋转变换矩阵。设x∈Rn，则Upqx相当于将坐标轴oxp和oxq在xp、xq所在平面旋转了一个角度，其他坐标轴保持不变，故称Upq为平面旋转矩阵。用Upq对A

作正交相似变换，得到

A1=UTpqAUpq=(a(1)ij)nna(1)pp=appcos2+aqqsin2+2apqcossina(1)qq=appsin2+aqqcos2+2apqcossina(1)pi=a(1)ip=apicos+aqisin

a(1)qi=a(1)iq=apisin+aqicos

a(1)ij=a(1)ji

=aija(1)pq=a(1)qp=0.5(aqq

app)sin2

+2apqcos2(i，j≠p，q)2022/10/15207.2Jacobi方法2022/10/20217.2

Jacobi方法

可见，与矩阵A相比，矩阵A1的第p行、第p列和第q行、第q列的元素发生了变化，其余元素不变。当取满足关系式可以得到a(1)pq=a(1)qp=0，也就是说，用平面旋转变换矩阵Upq对A进行正交相似变换，可以将A

的两个非主对角线元素apq和aqp化为零

2022/10/15217.2Jacobi方法2022/10/20227.2

Jacobi方法

求实对称矩阵A的特征值和特征向量是一个迭代过程，其迭代步骤如下

(1)在A的非主对角线元素中，找出按模最大的元素apq

(2)计算并由此求出sin、cos

以及相应的平面旋转矩阵Upq

(3)计算矩阵A1的元素a(1)ij

(4)若

则停止计算，所求特征值为i≈a(1)ii，i=1，2，…，n

否则，令A=A1，重复执行上述各步骤.

2022/10/15227.2Jacobi方法2022/10/20237.2

Jacobi方法当条件满足时，A1几乎是一个对角矩阵。因此，可取A1的主对角线元素作为A的特征值的近似值，即i≈a(1)ii，i=1，2，…，n

记第k次迭代所得的平面旋转矩阵为Upkqk，设经过N次迭代，上述条件得到满足，那么，经过N

次迭代所得的矩阵AN为

记则U是正交矩阵，并且有AN=UTAU

U

的第j列就是A的属于特征值i≈a(1)ii的近似特征向量，并且所有的特征向量都是单位正交的。2022/10/15237.2Jacobi方法当条件2022/10/20247.2

Jacobi方法在旋转变换中可以逐步形成U，而不必保存每一次的变换矩阵Upkqk。记

R0=I

令Rk=Rk1Upkqk，k=1，2，…，N

则U=RN.计算矩阵Rk的元素r(k)ij的公式为

2022/10/15247.2Jacobi方法在旋转2022/10/20257.2

Jacobi方法用Jacobi方法计算nn矩阵A的特征值和特征向量,计算量主要是乘法的次数，约为8n次.关于Jacobi方法的收敛性，有以下的定理.

定理8.1设A=(aij)nn是实对称矩阵，由Jacobi方法的第k次迭代得到的矩阵记为Ak=(a(k)ij)nn，又记则有

2022/10/15257.2Jacobi方法用J2022/10/20267.2

Jacobi方法

证令注意到可得

2022/10/15267.2Jacobi方法2022/10/20277.2

Jacobi方法实对称矩阵经过正交相似变换后，其元素的平方和不变，即

故有

又因

k+1+

k+1=k+

k

故得2022/10/15277.2Jacobi方法实对称2022/10/20287.2

Jacobi方法

从而有其中，0是矩阵A的非主对角线元素平方之和。由于所以有2022/10/15287.2Jacobi方法2022/10/20297.2

Jacobi方法

为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间,对经典的Jacobi方法可作进一步改进.

1.循环Jacobi方法：按(1,2)，(1,3)，…，(1,n)，(2,3)，(2,4)，…，(2,n)，…，(n-1,n)的顺序,对每个(i,j)的非零元素aij作Jacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至S(A)<为止.

2.过关Jacobi方法:取单调下降收敛于零的正数序列k,先以1为关卡值,依照1中顺序,将绝对值超过1的非对角元素零化,待所有非对角元素绝对值均不超过1时,再换下一个关卡值2,直到关卡值小于给定的精度.2022/10/15297.2Jacobi方法2022/10/20307.2

Jacobi方法的全部特征值.

解记A0=A，取i=1，j=2，aij(0)=a12(0)=2，于是有例用Jacobi方法计算对称矩阵2022/10/15307.2Jacobi方法的全部2022/10/20317.2

Jacobi方法从而有2022/10/15317.2Jacobi方法从而有2022/10/20327.2

Jacobi方法所以

再取i=2，j=3，aij(1)=a23(1)=2.020190，类似地可得2022/10/15327.2Jacobi方法所以2022/10/20337.2

Jacobi方法以下依次有2022/10/15337.2Jacobi方法以下依2022/10/20347.2

Jacobi方法从而A的特征值可取为

12.125825，28.388761，34.485401特征向量为R1TR2T…RkT2022/10/15347.2Jacobi方法从而A2022/10/20357.3QR方法

QR方法是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法之一，在实际应用中，经常把一般的矩阵经过正交相似变换化成上Hessenberg矩阵，再应用QR方法求其特征值和特征向量.

6.3.1基本QR方法设A是nn非奇异实矩阵。令A1=A，对

A1作QR分解，得

A1=Q1R1令A2=R1Q1又对A2作QR分解，得A3=R2Q22022/10/15357.3QR方法2022/10/20367.3QR方法反复进行这种运算，就得到一个矩阵序列{Ak}，由于

Rk=QTkAk

因而Ak+1与Ak(k=1，2，…)相似。所有Ak都与A

相似，它们都有共同的特征值。

在一定的条件下，序列{Ak}收敛于上三角（或分块上三角）矩阵，其主对角线元素(或子块)有确定的极限。如果收敛于上三角矩阵，则这个上三角矩阵的主对角线元素就是矩阵A的特征值；如果收敛于分块上三角矩阵，则主对角线上各个子块的特征值就是矩阵A的特征值

故有Ak+1=QTkAk

Qk，k=1，2，…2022/10/15367.3QR方法反复进行这种运算2022/10/20377.3QR方法定理8.2设A

为nn实矩阵，它的特征值λj(j=1，2，…，n)满足|λ1|>|λ2|>…>|λn|>0，则由基本QR方法产生的矩阵序列{Ak}收敛于一个上三角矩阵(其主对角线以上的元素可以不收敛)。若A是对称矩阵，则序列{Ak}收敛于一个对角矩阵.定理8.3对于任何nn

实矩阵A，由基本QR方法产生的矩阵序列{Ak}收敛于分块上三角矩阵（其主对角线子块以上的元素可以不收敛），并且每个主对角线子块有等模的特征值.2022/10/15377.3QR方法定理8.22022/10/20387.3QR方法

要实现一步QR方法的迭代，就需要做一次QR分解，再做一次矩阵相乘，当A是一般矩阵时，计算量是很大的。为了减少计算量，在实际计算时，总是先将原矩阵A经过相似变换，化为上Hessenberg矩阵A1=(a(1)ij)nn，其中，当i>j+1时，a(1)ij=0。然后对A1使用QR方法。容易看出，从上Hessenberg矩阵A1出发，经过迭代所得的Ak(k=2，3，…)全都是上Hessenberg矩阵。事实上，设Ak是上Hessenberg矩阵，则由于Rk1是上Hessenberg矩阵，故Qk=AkRk1

是上Hessenberg矩阵，因而Ak+1=RkQk也是上Hessenberg矩阵。2022/10/15387.3QR方法要2022/10/20397.3QR方法

6.3.3带原点平移的QR已经证明，基本QR方法的收敛速度一般是线性收敛的.为了加速收敛，引进带原点平移的QR方法.设A是nn非奇异实矩阵，令A1=A，并取一适当的数u1，对矩阵(A1u1I)作QR分解

A1u1I=Q1R1然后令A2=R1Q1+u1I又取一适当的数u2，对矩阵(A2

u2I)作QR分解

A2u2I=Q2R2反复进行这种运算，得到迭代公式2022/10/15397.3QR方法62022/10/20407.3QR方法

称为带原点平移的QR方法，称uk为第k