吉林省长春市普通高中高三质量监测（二）理科数学试题及答案

核准通过，归档资料。未经允许，请勿外传！长春市普通高中2015届高三质量监测（二）数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02、复数SKIPIF1<0的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、已知随机变量SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04、已知SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调函数，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）在SKIPIF1<0上是增函数，则SKIPIF1<0成立是SKIPIF1<0成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5、若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足约束条件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07、已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<08、下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<09、已知函数SKIPIF1<0，若将其图象向右平移SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）个单位后所得的图象关于原点对称，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<010、设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<011、若SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右焦点，过SKIPIF1<0作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<012、设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等差数列，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、SKIPIF1<0的展开式中常数项为．14、已知SKIPIF1<0且曲线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所围成的封闭区域的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．15、正四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0，过棱SKIPIF1<0作该球的截面，则截面面积的最小值为．16、已知函数SKIPIF1<0为偶函数且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恰好有4个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0求角SKIPIF1<0的值；SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．18、（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；SKIPIF1<0该电子商务平台将年龄在SKIPIF1<0之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和SKIPIF1<0的分布列与数学期望．19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的动点，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；SKIPIF1<0是否存在实数SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0？若存在，试求出实数SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．20、（本小题满分12分）在SKIPIF1<0中，顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的重心和内心，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0求顶点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0的直线交曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上一点，设直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，并加以证明．21、（本小题满分12分）设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是实数，曲线SKIPIF1<0恒与SKIPIF1<0轴相切于坐标原点．SKIPIF1<0求常数SKIPIF1<0的值；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的割线SKIPIF1<0与切线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为切点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分线与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的大小．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系SKIPIF1<0中，曲线SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数），以原点SKIPIF1<0为极点，以SKIPIF1<0轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线SKIPIF1<0的极坐标方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0求曲线SKIPIF1<0的普通方程与曲线SKIPIF1<0的直角坐标方程；SKIPIF1<0试判断曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，求不等式SKIPIF1<0的解集；SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．长春市普通高中2015届高三质量监测（二）数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)简答与提示：【命题意图】本题主要考查集合交集与补集的运算，属于基础题.【试题解析】D 由题意可知SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选D.【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】A SKIPIF1<0，所以其共轭复数为SKIPIF1<0.故选A.【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对统计学原理有全面的认识. 【试题解析】CSKIPIF1<0.故选C.【命题意图】本题借助不等式来考查命题逻辑，属于基础题.【试题解析】C由SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立时SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要条件.故选C.【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力.【试题解析】D 由题意可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得最小值，在SKIPIF1<0 处取得最大值，即SKIPIF1<0.故选D.【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.【试题解析】D该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为SKIPIF1<0.故选D.【命题意图】本题考查向量模的运算.【试题解析】BSKIPIF1<0.故选B.【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题.【试题解析】B 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.故选B.【命题意图】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题.【试题解析】C 由题意SKIPIF1<0，将其图像向右平移SKIPIF1<0SKIPIF1<0个单位后解析式为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选C.【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，属于中档题.【试题解析】A由直线与圆相切可知SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选A.【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于难题.【试题解析】C由题可知，过I、III象限的渐近线的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此△SKIPIF1<0的面积可以表示为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选C.【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题，属于难题.【试题解析】A设SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公比，1为首项的等比数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选A.二、13.SKIPIF1<014.SKIPIF1<015.SKIPIF1<016.SKIPIF1<0简答与提示：【命题意图】本题主要考查二项式定理的有关知识，属于基础题.【试题解析】由题意可知常数项为SKIPIF1<0.【命题意图】本题考查定积分的几何意义及微积分基本定理，属于基础题.【试题解析】由题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定难度.【试题解析】由题意，面积最小的截面是以SKIPIF1<0为直径，可求得SKIPIF1<0，进而截面面积的最小值为SKIPIF1<0.【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题.【试题解析】由题意可知SKIPIF1<0是周期为4的偶函数，对称轴为直线SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0恰有4个零点，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求.【试题解析】解：(1)SKIPIF1<0(3分)SKIPIF1<0 (6分)(2)因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为锐角，可求得SKIPIF1<0. (9分)所以在△SKIPIF1<0中，由正弦定理得，SKIPIF1<0. (12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法.本题主要考查数据处理能力. 【试题解析】(1)由图可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0. (4分)(2) 利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人. (6分)从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的所有可能取值为：150，200，250，300. SKIPIF1<0， SKIPIF1<0，SKIPIF1<0， SKIPIF1<0， SKIPIF1<0150200250300SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 (10分)且SKIPIF1<0. (12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1)取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0. (6分)(2)存在符合条件的SKIPIF1<0.以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0方向为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0方向为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0方向为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0平面，其法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0或SKIPIF1<0. (12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识.本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1)已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为内切圆半径，化简得：SKIPIF1<0，顶点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点，长轴长为4的椭圆（去掉长轴端点），其中SKIPIF1<0进而其方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0. (5分)(2)SKIPIF1<0，以下进行证明：当直线SKIPIF1<0斜率存在时，设直线SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0. (8分)由题意：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0当直线SKIPIF1<0斜率不存在时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0综上可得SKIPIF1<0. (12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况.本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)对SKIPIF1<0求导得：SKIPIF1<0，根据条件知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0. (3分)(2)由(1)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.=1\*GB3①当SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，从而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，即SKIPIF1<0而且仅有SKIPIF1<0；=2\*GB3②当SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，从而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，即SKIPIF1<0而且仅有SKIPIF1<0；=3\*GB3③当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，从而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，即SKIPIF1<0而且仅有SKIPIF1<0.综上可知，所求实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.（8分）(3)对要证明的不等式等价变形如下：SKIPIF1<0所以可以考虑证明：对于任意的正整数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立.并且继续作如下等价变形SKIPIF1<0 SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0相当于（2）中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0情形，有SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，即SKIPIF1<0而且仅有SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.从而对于任意正整数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立.对于SKIPIF1<0相当于（2）中SKIPIF1<0情形，对于任意