训练40直线平面垂直的判定及其性质

课时分层训练(四十)直线、平面垂直的判定及其性质(对应学生用书第284页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2022·广州模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．]2．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()A[A选项中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB，B选项中，AB与CD成60°角；C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为eq\r(2).]3．如图7­5­10，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()图7­5­10A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABCD[因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．]4．如图7­5­11，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()图7­5­11A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDEC[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]5．(2022·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CDA．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥ACC[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．]二、填空题6．如图7­5­12所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)图7­5­12DM⊥PC(或BM⊥PC等)[由定理可知，BD⊥PC．∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]7．如图7­5­13，在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD图7­5­13eq\f(π,3)[取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C．所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设三棱柱的所有棱长为a，在Rt△AED中，AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(a,2).所以tan∠ADE＝eq\f(AE,DE)＝eq\r(3)，则∠ADE＝eq\f(π,3).故AD与平面BB1C1C所成的角为eq\f(π,3).]8．(2022·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)②③④[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9.(2022·北京高考)在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分别为AB，VA的中点．图7­5­14(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V­ABC的体积．[解](1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB． 3分又因为VB⊂/平面MOC，所以VB∥平面MOC． 5分(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB．所以平面MOC⊥平面VAB． 8分(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝eq\r(3). 9分又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C­VAB的体积等于eq\f(1,3)OC·S△VAB＝eq\f(\r(3),3).又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，所以三棱锥V­ABC的体积为eq\f(\r(3),3). 12分10．⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图7­5­15②)．①②图7­5­15(1)求证：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°， 1分又因为F为的中点，所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC， 3分又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，所以OF∥平面ACD. 5分(2)存在，E为AD中点，因为OA＝OD，所以OE⊥AD. 7分又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．所以OC⊥平面OAD. 9分又AD⊂平面OAD，所以AD⊥OC，由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD⊥平面OCE.又AD⊂平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2022·贵州贵阳二模)如图7­5­16，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()图7­5­16A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心A[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，所以O为△AEF的垂心．]2．如图7­5­17，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面图7­5­17a或2a[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2A．]3.(2022·四川高考)如图7­5­18，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD.图7­5­18(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.[解](1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．理由如下：连接CM，因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AM，且BC＝AM. 2分所以四边形AMCB是平行四边形，所以CM∥AB．又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，所以CM∥平面PAB．(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点) 5分(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为AD∥BC