高中数学必修知识点总结第四章圆与方程

|★2222，点在圆外当()|★2222，点在圆外当())r00★4圆两圆半112121222第四章

圆与方程识点与习题★

1、的义平面内到肯定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆半径。设M〔〕⊙上意一点，则圆的集合可以写作P

{

M

}2、的程〔1〕准程

2

，圆心

；点

(,y)0

与圆

()2)2

的位置关系：当

(x)2y)0

2

>

r

20

，点在圆上当

(x)0

2

y0

2

<r，点在圆内〔2〕般程

x2DxEyF〔+(y+E/2)2

=(D2

+E2

〔

DEF

〕当

2

4F

0

时方表圆此圆为

D,22

，径

r

D

E

F当

E2F

时表一点当

D

2E

F

时方不示何形〔3〕圆方的方：定系数：先设求。

确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方程，需求出a，，；假设利用一般方程，需要求出D，，；接法：

直接依据条件求出圆心坐标以及半径长度。其它要意多利用圆几何性：如弦的中线必经圆心，以此确定圆的位置

。★

3、线圆位关：直线与圆的位置关系相离相，交种情况：〔线lByC:

r

C

l

的距离为

d

Bb

，则有

rl与C相离；drl与C相切；drl与相交（）过圆一的线设点斜式方程，圆到直距=半，解k①假设求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②假设求得两个相同的解入线方程到条切线下来验证过该点的斜率不存在的直此时，该直线肯定为另一条切线〕(3)过上一切线方程圆(xa)=r，圆上一点为(x，y)，则过此的切线方程为(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r公切线两圆的位置关系推条件条数距〔d〕外离ｄｒｒ4条定。外切ｄ＝ｒｒ设圆相交|ｒｒ|＜ｄ＜ｒｒ

与的置系过径的和〔差圆之间的大小比较来确内切

ｄ＝|ｒｒ|

内含ｄｒ-ｒ|0条:，:R1112两的置系通两半的〔的对，与心〔〕之间大比来定即何〕.

12222222111222222211122221122211(yz)★

注意：圆上两点，圆心必在中垂线上；两圆相切，两圆心与切点共线5、圆C：x+y+Dy+F=0圆C：x2+y+Dy+F联立圆的程与圆C的方程得到一个二元一次方程①假设圆相交，则该二元一方程表示：圆与圆C公共弦在直方；②假设圆相切，则该二元一方程表示：圆与圆C的公切线的方程；③假两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向个引线，得到的切长等〔之亦立★

6、直与相，弦长度①代数法：联立圆与直线的方程求交点标利两点的离式求弦长②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形〔勾股定理〕★

、圆交求共的度①代数法：联立两圆的方程求交点标利两点间距公求长③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形〔勾股定理〕★

8、系圆方(1)圆系具某种共同属性的圆的集合，称为圆系。(2)圆系方程：圆C：x

2

+Dy+F=0圆C：x2+Dx+E=0圆系方程：2

+y2+Dy+Fλx2+D〔〕①假设圆与C交于P、P点那么，方程〔Ⅰ〕代表过P、P两的圆的方程。②假圆C圆2交点一个点方〔Ⅰ〕代表过P点的圆的方程。★

9、线圆方的用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲〞：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译〞成几何结论★

、空直坐系1、点对应着唯一确定的有序实数组

(yz)，

、

分别是、Q、R在xy、z

轴上的坐标2、有序实数组

(yz

，对应着空间直角坐标系中的一点、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组

(yz

来表示，该数组叫做点

M在此空间直角坐标系中的坐标，记M★

，叫做点M的横坐标，、空两间距公

叫做点M的纵坐标，叫做点的竖坐标。1、空间中任意一点

(x1

)到点(x,yz)122

之间的距离公式.

12OM12OM一、选择题本大题共12小题，每题5分，共．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．两圆的方程是x22＝1和2－x－y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系()A相离C．切

B相交D．切解析：圆x＋y26x－8＋＝0，化为标准方程得(x－3)

＋－4)216.∴两圆的圆心距

＋又r＋r＝5∴圆外切．答案：．过点(的直线中，被圆x2＋y－2x＋4＝得的最长弦所在的直线方程为)A3－－5＝0C．x3－＝0

B．x＋y－＝0D．－y＋＝y＋2x－1解析：题意知，所求直线通过圆(，－，由直线的两点式方程得＝，即x－y－5＝0.＋2答案：A．假设直线(1)＋y＋1圆2＋2

－2＝相，则值()A1C．

B．，－2D．解析：x2＋2

＋＋0－2＝的圆心(1,0)，半为1，依题意得＝，即＋2|＝

＋1平方整理得＝－答案：D．经过圆x

＋y

＝10上点M(2，的切线方程是)A＋6－＝C．x6＋＝

x－2＋＝D．2＋y－10＝0解析：点M(26)在圆x22

＝上，k＝

，∴过点M的线的斜率为k＝－

，故切线方程为y－6－

(－2)即x＋6－100.答案：D．点(3，－关于xOz平的对称点是().

12121212121121212121212112A－，－1)C．(3－，－

B．－3－，D．解析：M(3－关于xOz平的对称点(3,3,1)．答案：D假点是B关轴称的点点是(2－2,5)关于y轴称的点则＝)A5C．

1310解析：题意得点A(1，－2－3)，C－，－2－．∴＝答案：．假设直线y＝＋1与x＋y＝相于、两点，且POQ＝其O为标原)则k的值为()C.3或－

和2解析：题意知，圆心O(0,0)到直线＝kx距离为，∴

＝，∴＝3.＋k答案：．与圆O：＋y＋x－4y＋＝0和：2＋y－－10＋＝相切的直线条数()A4C．

B．3D．解析：圆的方程配方得O：＋2)＋－2)＝1O：－2

＋(y－5)

＝16圆心(，O，半径r＝1，r＝4，∴O＝

＋，r＋r＝∴O＝＋r，两圆外切，故有条切线．答案：．直线l将x

＋y－x－4＝0平，且与直线＋2＝0垂，则直线l的程()A2－＝C．x2－＝0

B．x－y－＝0D．－y＋＝解析：题意知，直线l过心(1,2)，斜率k＝2∴l的程为－＝－1)，即2－y＝答案：A.

111111111111．圆

＋y－＋2)x－＋4＋4＋1＝0的心在直线x＋y－＝0上那圆的面积为)A9πB．C．πD．由的而解析：x

＋y2

－2)x－2＋＋4m＝0，∴[x－(2m＋2

＋(y－)＝m

∴圆心＋1，m，半径r＝依题意知2＋1－＝0，∴m＝1.∴圆的面积＝×12

＝答案：．当点P在2

＋y2

＝1上动，它与定点Q的结线段PQ的中点的轨方程(

)A(x＋3)

＋y＝Bx－3)2＋＝1C．－2＋42D．＋2＋421解析：(x，，Q(3,0)设线段点M的标为x，y)x＋则x＝，y＝，＝2－，y＝2.21又点(x，)在圆x2∴－24y2＝

＋y2

＝1上，故线段中的轨迹方程(－2

＋42答案：．曲线＝142直线＝k－2)＋4有个交点，则实数的值围是()A(0，)B．(，∞123C．(，]D．，]4解析：下列图，曲线y＝＋－变形为x

＋(y－1)

＝≥1)直线y＝kx－＋4过定点(，当直线l与圆相切时，有－k＋4＝2解得＝k2当直线l过(时，k＝.3因此，k的值范围是≤答案：D二、填空题本大题共题，每题分，总分值分把答案填在题中横线).

APAP．圆

＋y＝的点到直线x＋4－＝0的离最小值为_．解析：心(到直线x＋4－25＝距离为，∴所求的最小值为4.答案：4．圆心(1,1)与直线x＋y＝4相的圆的方程．＋－4|解析：r＝2，所以圆的方程为(x－1)2(y－＝2.答案：－2

＋(y－1)

＝．方程＋y2axay示的圆，①关于直线y＝x对；②关直线＋＝0对称；③其圆心在x轴，且过原点；④其圆心在y轴，且过原点，其中表达正确的选项_．解析：程配方得，x＋)2＋－)2于直线x＋y＝0对．②确．答案：

＝2(≠，圆心坐标(－a，a，它在线＋＝0上，∴关．直线＋2＝被曲线x

＋y

－6－2－＝0所截得的弦长等__________．解析：x2＋26－2＝0得(x－2

＋(y－1)＝25.＋21|圆心(3,1)到直线x＋y＝0的距离d＝在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝×25＝5.答案：45三、解答题本大题共题，共70分．解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步)．(10分)自(4,0)圆2

＋y2

＝4的割线ABC，求弦BC中的轨迹方程．y解：解法1：连接OP则OP⊥BC设(x，y，当x≠时，k＝－，即＝－1xx－4即x＋y－x＝0当x＝0时，P点标为(0,0)方程①的解，∴BC中的轨迹方程为x

＋y－x＝在圆内)．解法：由解法知OP⊥AP，取中点，则M(2,0)PM＝＝2，由圆的定义知P轨迹方程是以(2,0)圆心，为半径的圆．故所求的轨迹方程为x－2)

＋y

＝4(在圆内．分圆Mx2

＋y－mx＋4＋－1＝0与Nx＋y

＋2＋y－2＝0相交于AB点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M圆心坐标．解：由圆M与N的程易知两圆的圆心分别为M(，－，N－，－1)．两圆的方程相减得直线AB的程为.

121122222000000121122222000000＋1)x－y－

－1＝

∵，B两平分圆N的周∴AB为的径∴过(－，－1)，∴＋×(－1)－2×－1)－m－＝0，解得m－故圆M的心M(－1－2)．分圆22

－－y＋＝，圆22

－2－y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．解设两圆的交点为A(x，)Bx，则B两点的坐标是方程组

x2x2

＋y＋y

－3－y＋＝－2－y＝0

的解，两方程相减得：x＋y－＝0，∵、B两的坐标都满足该方程，∴x＋y－＝所求．将圆C的程化为标准形式，(－

＋(y－1)

＝2，∴圆心(1,1)半径r＝2.＋－3|圆心C到线AB的离＝＝，＝r

－d2

＝2

－＝6.即两圆的公共弦长为6.(12分圆x＋y＋2－y＋3＝0从圆C一点向引一条切线点为M为标原点，且有PM＝|，求的最小值．解：如图PM为切线，则⊥PM∴为角三角形，∴2

＝PC

－MC

设(x，y，(－，＝∵＝|，∴x

＋y2

＝(x＋1)＋(－2)2，化简得点P的迹方程为2－4＋3求的小值，即的最小值，即求原点到线x－y＋＝0的离，代入点到直线的距离5公式可求得PM最值为．(12)⊙：x－

＋(y－4)2＝，点(－，B(1,0)，P是上动点，求d2

＋PB

的最大、最小值及对应的点标．解：设点P的标(x，)，则＝(x＋＋＋(x－1)＋y2x＋y＋

.

0112最小值110112最小值11512欲求的大、最小值，只需求u＝x＋2大、最小值．

的最大、最小值，即⊙C上点到原点距离的平方的最作直线，其⊙于P(，)，，y)，如下列图．则＝OP2

＝－|P2

＝(51)＝16.x4此时，＝＝，4∴x＝，＝15116∴d的最小值为，对应点P的标为，同理可得的最大值为74，对应点P的标为，．(12分)曲线C2y＋2kx＋(4k＋10)＋10＋20＝0其中≠－(1)求证：曲线表圆，并且这些圆