质量改进培训2-统计方法

统计方法

质量改进培训-210/18/2022一、基本本概念念质量特性性:产产品所具具有的满满足用户户需要的自自然属性性。2.数据据的分类类3.抽样样术语4.几个个重要的的统计特特性值2/8//20201.质量量特性（1）质质量特特性的定定义：根根据ISO9000，，对质量量特性的的定义是是：“产产品、过过程或体体系与要要求有关关的固有有特性。。”或者者是“产产品所具具有的满满足用户户需要的的自然属属性”。。a、“固固有”的的就是指指在某事事或某物物中本来来就有的的，尤其其是那种种永久性性的特性性；b、赋予予产品、、过程或或体系的的特征(如：产产品的价价格、产产品的所所有者等等)不是他们们的质量量特性。。2/8//2020（2）质质量特性性参数：：定量表示示的质量量特性，，通常称称之为质质量特性性参数，，或质量量实用性性参数。。在质量形形成全过过程的各各个环节节，应从从保证使使用质量量的要求求出发，，提出定定量的要要求，以以便明确确质量责责任，确确保产品品的使用用质量。。2/8//2020（3）实实际质量量特性与与代用质质量特性性实际质量量特性是是用户所所要求使使用的质质量特性性。但有有时企业业为了便便于生产产，往往往将其转转化为生生产中用用以衡量量产品的的标准或或规格。。由产品品标准所所反映质质量特性性称为代代用质量量特征。。由于人们们的认识识水平与与科技水水平的制制约，再再加上用用户需求求的复杂杂性与易易变性，，企业所所制定的的质量标标准与实实际使用用质量要要求之间间一定存存在着既既相互适适应又相相互矛盾盾的地方方，企业业必须适适时地对对其制定定的标准准进行修修改。2/8//2020（4）产产品质量量的形成成过程产品质量量有一个个产生、、形成、、实现、、使用和和衰亡的的过程。。对于质质量的形形成过程程，质量量专家称称之为““质量螺旋旋”，意思思是指产产品质量量从市场场调查研研究开始始到形成成、实现现后直至至交付使使用，在在使用中中又会产产生新的的想法，，构成新新的动力力再开始始新的质质量过程程。因此此，产品品质量水水平呈螺螺旋式上上升的趋趋势。2/8//2020a、朱兰兰质量螺螺旋曲线线2/8//2020b、质量量环质量形成成的另一一种表达达方式是是“质量量环”。。质量环环包括12个环环节这种种质量环环不是简简单的重重复循环环，它与与质量螺螺旋有相相同意义义。产品寿命周期①②③④⑤⑥⑧⑦⑨⑩11122/8//2020说明营销与市市场调研研；产品设计计与研发发；过程策划划与开发发；采购；生产或服服务提供供；验证；包装与储储存；销售与分分发；安装与投投入运营营；技术支持持与服务务；售后服务务；使用寿命命结束时时的处置置与再生生利用。。2/8//2020（5）质质量特性性的分类类：简单地说说，质量量特性就就是我们们要考察察的产品品的适用用性要素素,各种种产品由由于要求求不同,,质量特特性可能能有一个个或几个个，如电电冰箱，，其质量量特性有有保鲜时时间、容容量、耗耗电量及及外观等等，根据据产品的的特性，，质量特特性可分分为以下下几类：：①结构性的的，如长长度、频频率等；；②官能性的的，如味味道、外外观；③时间性的的，如可可靠性、、可维修修性等；；④商业性的的，如保保修期等等；⑤道德性的的，如服服务行业业的礼貌貌、诚实实等。2/8//20202、数据据的分类类计量型(MeasurementorVariableData):凡凡可连续续取值的的数据称称为计量量型数据据，如长长度、容容积、重重量、温温度等等等。(多多属正态态分布或或近似正正态分布布）计数型(AttributesorCountableData))：不不能连续续取值的的数据称称为计数数型数据据，如废废品件数数、不合合格品数数、疵点点数等。。(多属属二项分分布或泊泊松分布布)2/8//20203、几个个有关抽抽样的术术语（1）Population（总体体）：是是指研究究对象的的全体，，一般以以“N”来表示示，如一一批待检检产品。。总体体又可以以分为有限总体体与无限总体体两类。有限总体体：总体中中含有限限可列个个产品，，如螺钉钉、钢板板等。无限总体体：总体中中含有的的产品无无法数清清，如液液体、气气体、粉粉末产品品等。2/8//2020(1)Sample((子样):亦称样本本,即以随机机方式从从总体中中抽出来来的一部部分产品品,以n表示。(2)Stochastic(Random))Sampling(随机抽样样)：使总体体中的每每个产品品以相同同概率被被抽取的的抽样方方式。从理论上上理解随随机抽样样是比较较容易的的，但实实际上做做起来却却并不容容易。下下面是几几种常用用的随机机抽样方方法，这这些方法法只具有有相对的的随机性性，而不不具备完完全随机机性。2/8//2020a、单纯随机机抽样(SimpleSampling):先将抽样样的对象象（如产产品）按按顺序编编号，然然后用抽抽签法或或随机数数表决定定抽样的的先后次次序。b、机械随随机抽样样（MechanicalSampling）：按照固定定的(时间)间隔（如如每隔十十分钟））或按照照固定的的产品(空间)间隔（如如每隔20个产品））抽取一一个产品品。2/8//2020c、整群随机机抽样(ProportionalSampling)：该种方法法不是每每次抽取取单个产产品，而而是按一一定的时时间间隔隔，抽取取一定比比例的产产品(例如每隔隔20小时抽取取5%的产品等等等)，将这些产产品作为为一个样样本看待待，样本的的质量特特性即为为该群产产品的质质量特性性值的平平均值。。由于机机器性能能的波动动，原材材料的差差异等原原因，质质量的分分布是不不均匀的的，因此此，该种种抽样方方法的误误差相对对来说比比较大。。但操作作较为方方便。2/8//2020d、分层随机机抽样(ClassifiedSampling))在抽样以以前，先先按产品品加工的的设备、、操作者者或其他他情况将将所有待待检产品品分成几几组，然然后按比比例从各各组中抽抽取样品品，将这这些样品品放在一一起组成成一个样样本，这这种随机机抽样的的方式可可使样本本具有较较好的代代表性。。以上四种种抽样方方法都不不是完全全的随机机抽样方方法，与与完全随随机抽样样相比，，都存在在误差。。2/8//20204、几个重要要的统计计特征值值数学期望望：E(X))=μ数据的概概率平均均值方差：D(X)＝σ2其开方表表示数据据的离散散程度;下面是几几个用来来估计总总体数学学期望E(X)和方差D(X)的统计特特征值：：2/8//2020(1)子样的平平均值（AverageofSample）上面用来来估计总总体的平平均值（（数学期期望）μ=(x1+x2+……++xn)/n2/8//2020将样本按按大小小顺序排排列，取取中间位位置的数数为中位位数，记记为。。当样本数数据个数数为奇数数时，处处于正中中位置的的那个数数即为中中位数，，当当样本数数据个数数为偶数数时，取取处于正正中位置置的那两两个数的的平均值值为。。（2）样本的的中位值值（MedianofSample）2/8//2020两个例子子例1、1.2，1.1，1.4，1.5，1.3；1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.3,例2、1.0,1.1,1.4,1.2,1.1,.0,1.2,1.3中位数的作用：在抽样中，常用来估计总体的μ，虽然精度差些，但因其方便，所以在生产现场用得较多。2/8//2020（3）样本的方方差(VarianceofSample)无偏估计计（UnbiasedEstimation）极大似然然估计（（MaximumLikelihoodEstimation）2/8//2020第二个表表达式不不是无偏偏估计，，因：上述二个个表达式式代表样样本的方方差，它它们都可可用来估估计总体体的方差差σ2，当样本量量比较小小时,上述二个个表达式式得出的的结果的的差别可可能比较较大，但但实践证证明当样样本量n>30时,上述二个个表达式式求出的的结果的的差异是是很小的的.2/8//2020（4）极差（（Range）以R表示设样本为为，，则R表示数据据的分散散程度,通过一定定的变换换，可以以用来估估计总体体的σ2/8//2020（5）变异系数数随机变量量的量纲纲不同时时标准差差之间的的比较，，如称中中药其单单位为““克”，，称大米米的单位位为“千千克”，，度量布布匹的单单位是““米”等等。2/8//2020二、统计方法法（StatisticalMethods）在本章主主要介绍绍以下几几种方法法：排列图(ParetoDiagram)因果分析析图(Cause-and--EffectDiagram)分层法((ClassifiedMethod)统计表分分析(statisticaltable)直方图(Histogram)相关和回回归分析析(RelatedandRegressiveAnalysis)控制图法法(第三三章介绍绍)2/8//20201、排列图（（ParetoDiagram）意大利经经济学家家Pareto和Lorenz在研究社会会财富与与人口的的关系时时，发现现社会财财富与人人口的多多少不是是成正比比关系而而是近似似对数关关系，原原因是在在社会财财富的分分配中，，少数富富有者占占有了社社会财富富的大部部分，而而多数人人只占有有其中的的小部分分，形成成所谓““关键的的少数，，次要的的多数。。”美国国的J.M..Juran将其引进进QC中用以寻寻找关键键因素。。2/8//2020作图步骤骤1.收集数据据；2.将数据分分层整理理；3.计算各项项目的频频率、累累计频率率；4.画出两个个纵坐标标和一个个横坐标标；5.依次在横横坐标上上画出直直方块；；6.找出各项项目的累累计百分分点，并并从原点点开开始连接接各点，，画出帕帕累托曲曲线。2/8//2020应用

分析项目目主要缺缺陷；分析造成成不合格格品的主主要工序序原因；；分析产生生不合格格品的关关键工序序；分析各种种不合格格品的主主次地位位；分析经济济损失的的主次因因素；用于对比比采用措措施前后后的效果果等。2/8//2020排列图例例频数累计频率A类B类C类100%0ⅠⅡⅢⅣ2/8//2020图例说明明A类因素：：累计频频率在80%左右的因因素——主要因素素B类因素：：累计频频率在80%~~90%%的因素——次要因素素C类因素：：累计频频率在90%~~100%的因素——一般因素素2/8//2020例：某厂车床床加工曲曲轴主轴轴颈的不不合格品品统计如如表：原因数量频率%累计频率%Ⅰ轴颈刀痕153件71.871.8Ⅱ开档大29件13.685.4Ⅲ轴颈小25件11.897.2

Ⅳ弯曲6件2.8总计213件100100

2/8//2020图例频数累计频率85.471.897.2ABC100%2130ⅠⅡⅢⅣ2/8//2020注意:①一般情况况下，主主要原因因的数量量不宜过过多，一一般不超超过3个以免分分散注意意力。②左侧纵坐坐标可以以是金额额、件数数、时间间等,选择的依依据是,不良品件件数要与与价值成成正比,亦即要把把造成损损失大的的项目放放在前面面。③有时能找找出很多多影响产产品质量量的因素素，这时时可将那那些相对对不重要要的因素素归并成成一类，，标以““其他””类。④通过画排排列图，，找出主主要因素素，解决决以后，，必然能能将质量量提高一一大步，，而后循循此方法法,最终能使使质量达达到十分分完美的的境界。。2/8//20202、因果分析析图（Cause-and--EffectDiagram））（1）来源：日日本质量量专家石石川馨。。（2）特点：：以结果果为特性性，以原原因为因因素，用用箭头联联系起来来，表示示因果关关系。（3）作图步步骤:Step1明确问题题的结果果(特性)，绘出主主干线和和鱼刺图图；Step2明确4M1E因素，并并绘出分分支线；；Step3分析、寻寻找影响响质量的的中原因因、小原原因等，，并绘出出分支线线；Step4找出影响响质量的的关键因因素。2/8//2020因果分析析图示例例ExtrudedQuality导出质量结果MaterialMachineManEnvironmentMethods中原因小原因2/8//2020说明实施方法法：通过过对生产产现场人人员(工人、技技术员等等)收集到的的信息，，按左面面分类，，同时必必须将这这些原因因细化到到可采取取措施的的程度。。国内有人人将因果果图与排排列图结结合起来来用，成成为因果果排列概概率图，，可用定定量方法法来解决决因素重重要性的的顺序。。2/8//2020例某复印机机的复印印质量未未达到预预定的标标准，希希望通过过因果图图找出复复印机复复印不清清楚的原原因，以以便采取取针对性性措施加加以解决决。解：1、画出出自左向向右的大大箭头。。2、找出出可能的的原因种种类（中中箭头））。3、在每每类原因因中细分分深层原原因，……，，逐类细细分，并并用长短短不一，，粗细各各异的箭箭头来表表示。2/8//2020例解：复印不清清楚因果分析析图复印纸药液原稿环境复印法操作人员使用时间感光度保管时间保管方法纸质量新旧度保管时间液量污染书写强弱清晰度颜色深浅稿纸质量强度卷曲度透明度手不洁房间不洁干燥时间精神不集中压稿方法交错量操作速度灯泡亮度水平灯泡不洁复印机滚筒转动不灵活2/8//20203、分层法((ClassifiedMethod)质量管理理中的数数据分层层,就是是将数据据按照其其使用的的目的、、性质、、来源和和影响等等因素等等进行分分类,如如把性质质相同、、在同一一生产条条件下收收集到的的质量特特性数据据归并在在一起。。它经常常与其它它的方法法一起使使用。分分层的目目的是为为有利于于查找产产生质量量问题的的原因。。在分层层时要注注意：数据分层层与收集集数据的的目的要要紧密相相联。目目的不同同分层的的方法与与粗细程程度也会会不同。。分层要合合理，要要按不同同的层次次进行组组合分层层，以便便使问题题暴露的的更清楚楚。2/8//2020质量特性性数据常常用的几几类分层层方法按不同的的时间分分，如按按班次；；按操作人人员分，，如按人人员的不不同级别别；按使用设设备分，，如不同同的机器器型号；；按操作方方法分,,如按切切削用量量、温度度、压力力；按原材料料分,如如供料单单位、进进料时间间、批次次等;其他分层层，如检检验手段段、使用用条件、、气候条条件等。。2/8//20204、统计表分分析(statisticaltable)统计分析析表也叫叫调查表，是用于于收集数数据的规规范化表表格。即即把产品品可能出出现的情情况及其其分类预预先列成成统计调调查表，，侧检查查产品时时只需要要在相应应的分类类中进行行统计，，并从调调查表中中进行粗粗略的整整理和简简单的原原因分析析，为下下一步的的统计分分析与判判断质量量状况创创造良好好的条件件，在设设计统计计调查表表时要注注意便于于人工记记录,把把文字部部分尽量量列入统统计表中中,统计计者只需需简单的的描点和和打勾，，以不影影响操作作为宜。。2/8//2020例不良品项项目调查查表交验数合格数不良品不良品类型废品数次品数返修品废品类型次品类型返修品类型不良品率％项目数量日期年月月日日2/8//2020例：某瓷瓷厂的瓷瓷检报告告表品号送检总数合格品合格率瓷件损失原因分析废品数榨泥成型上釉装出窑烧窑铁点杂质开裂尺寸不合变形釉损碰损釉损表面缺陷碰损炸裂起泡生烧报告日期期年月日2/8//2020缺陷位置置（区位位）调查查表很多产品品中都会会存在““疵点””、“外外伤”、、“脏污污”这类类外观缺缺陷，一一般采用用缺陷位位置调查查表比较较好。此此种调查查表多是是画成产产品示意意图或展展示图。。每当发发生缺陷陷时，将将其发生生的位置置标记在在图上。。例如，电视机机显示管管屏幕检检测就是是以屏幕幕中心画画圆来划划分不同同区域的的。2/8//2020图示A区B区×××××缺陷符号号：o为气泡，，×为污点；；检查员员:.品种:.序号:.A：.B：.日期：.2/8//20205、直方图（（Histogram））(1)概念；(2)作法（a）收集数据据；（b）确定组数数K；（c）确定组距距h；（d）确定组界界值；（e）计算组中中值；（f）统计频数数；（g）列出频数数分布表表；（h）计算平均均值及标标准偏差差；（i）绘直方图图与分布布密度正正态曲线线（拟合合）。………..2/8//2020（3）作用整理质量量特性数数据，从从中找出出其分布布规律，，预测工工序能力力，估计计产品的的不合格格品率。。例：

a、收集数据据：至少少取100个左右（（为计算算方便，，一般将将数据简简化，这这里取尾尾数），，找出其其中的最最大值La和最小值值Sm。下面表格格中的数数据为螺栓尺寸寸实测值值。2/8//20202230352218222519287.9251930302526312315287.9223122243030292723187.9293527252925232222207.9202720382022222024187.9301825302329232728257.9231525352625272526307.9252222303024272525307.9183818282530272513257.9302522292030232518307.9382/8//2020b、数据分组组分组原则则有：1、经验分分组法，，参考下下表，本本例取K＝9；2、使用Sturges经验公式式:数据量（n）适当的分组数（k）<505~750~1006~10100~2507~12250以上10~252/8//2020c、计算组距距步骤a中找出的的最大值值为7.938，最小值值为7.913注：h最好为奇奇数(其优点以以后可见见),2/8//2020d、计算第一一组的上上下限计算公式式为:本例：2/8//2020d’、计算其他他各组的的上下限限第二组的的下限=第一组的的上限第二组的的上限=第二组的的下限+h…………………………2/8//2020e、计算各组组的中心心值xi计算公式式为：…………………计算每一一个分组组内数字字出现的的频数fi。2/8//2020f、频数表10043151723181622

7.9377.9347.9317.9287.9257.9227.9197.9167.913中心值

7.9355-7.93857.9325-7.93557.9295-7.93257.9265-7.92957.9235-7.92657.9205-7.92357.9175-7.92057.9145-7.91757.9115-7.9145组距∑987654321组号频数fi2/8//2020零件尺寸寸频数（件）252015105g、直方图为了作图图方便，，将横坐坐标数据据做变换换：Xi=(组的上下下限－7.9))×10000131619222528313437502/8//2020h、计算简化化中心值值ui计算过程程如下：：将频数fi最大的一一栏的中中心值记记为a(取其他中中心值为为a亦可，但但取频数数最大的的一栏的的中心值为a可简化计计算)计算ui的公式如如下：例：第一组的的简化中中心值2/8//2020i、计算fiui和fiui2将所计算算出的数数据填入入表中相相应的位位置，就就得到了了下面表表格的内内容：2/8//202030086416279603017170018-1864-3218-632-8fiui2fiui043210-1-2-3-4ui10043151723181622

7.9377.9347.9317.9287.9257.9227.9197.9167.913中心值

7.9355-7.93857.9325-7.93557.9295-7.93257.9265-7.92957.9235-7.92657.9205-7.92357.9175-7.92057.9145-7.91757.9115-7.9145组距∑987654321组号频数fi2/8//2020j、计算结合本例例数据有有下面的的计算值值2/8//2020k、计算标准准差s2/8//2020直方图与与相对应应的正态态分布曲曲线为了作图图方便，，将横坐坐标数据据做变换换：Xi=(组的上下下限－7.9))×1000零件尺寸频数（件）252015105n=100=7.92545S=0.00519M=7.925=|7.925-7.92524|=0.00024013161922252831343750ε2/8//2020(3)直方图的的分析a对称型型symmetrya、正常b折齿型型Sawb、不正常b可能是由由于测量量方法或或读数的的问题或或是分组组不当2/8//2020c、c、左、、右陡壁壁型deviation不正常;双侧公差差，全数数检验，，剔除不不合格品品；2/8//2020d、孤岛型（（Island）d、不正常在在生产过过程中存存在某种种异常情情况,如加工条条件变动动等.d孤岛型Island2/8//2020e、双峰型（（Double--peak）e不正常，，可能是是两种不不同的材材料或两两种不同同的加工工条件的的零件混混在一起起的结果果e、双峰型Double--peak2/8//2020f、扁平型（（Flat-peak）f、不正常，，往往是是生产过过程中某某种缓慢慢的倾向向在起作作用，如如工具的的磨损，，操作者者的疲劳劳等等影影响。f、扁平型Flat-peak2/8//2020（4）直方图的的用途报告质量量情况质量分析析调查工序序能力和和设备能能力工序控制制判断总体体质量分分布情况况2/8//2020（5）直方图图与公差差的比较较a、与公公差中心心重合，，实际尺尺寸分布布与公差差界限间间有一定定空隙这这是：——理想想状态BT，公差平均值2/8//2020b、分布在公公差范围围内，分分布宽度度B也正常，，但因分分布中心心偏向左左边，若若工序稍稍有波动动，随时时都有超超差、出出现不合合格品的的可能。。TB2/8//2020c、分布布在公差差范围内内，但分分布宽度度太大，，极易出出现超差差现象,,工序能能力较差差,应设设法改进进工序,,缩小分分布范围围。TB2/8//2020d、对一般加加工要求求的产品品来说,,可考虑虑降低加加工精度度（如机机床的精精度）,,对要求求较高的的产品可可考虑缩缩小公差差范围。。TB2/8//2020e、分布布宽度正正常，但但分布中中心过于于偏左，，已有部部分产品品超过公公差的范范围成了了不合格格品，应应采取措措施纠正正工序中中的异常常因素。。TB2/8//2020f、分布布中心无无偏移,,但分布布范围过过大以致致两面超超差,可可用改变变加工工工艺或修修改公差差标准来来纠正。。TB2/8//20206、相关关分析和和回归分分析散布图（（相关图图）相关分析析回归方程程相关系数数及其检检验符号检验验法2/8//2020(1）散布图图（相关关图）变量之间间的关系系分类：：确定性关关系：如电流流、电阻阻、电压压之间的的关系可可写成V=RI；矩形边边长与面面积的关关系等。。不完全确确定关系系（相关关关系））：如在一一定的淬淬火范围围内，随随淬火温温度的提提高，钢钢的硬度度增加，，但由于于影响淬淬火钢硬硬度的随随机因素素很多,使得硬度度与温度度之间的的关系不不是很确确定，即即它们之之间很难难用一个个函数关关系来描描述。2/8//2020为了研究究的方便便，人们们设法用用函数关关系来研研究上述述不完全全确定的的变量关关系，这这样就会会因选择择的函数数不同而而使求得得的理论论值有一一定的误误差，这这种研究究变量之之间函数数关系及及其误差差的方法法称回归归分析，，研究变变量之间间的相关关程度称称为相关关分析。2/8//2020散布图的的作法：：a、收集数据据。b、画直角坐坐标。一一般情况况下，可可以横坐坐标表示示原因，，纵坐标标表示结结果。c、在直角坐坐标体系系上打点点：有二个重重合的点点可在该该点上画画一个圈圈，有三三个重合合的点可可在该点点上画二二个圈，，以此类类推。2/8//2020X（原因）Y（结果）·····有二个重重合的点点可在该该点上打打一个圈圈，有三三个重合合的点可可在该点点上打二二个圈，，以此类类推。2/8//2020(2)相相关关分析A、Strongly-positiver=1·······B、Weakly-positive0<r<<1·········2/8//2020·d、Weakly-negative-1<r<0·······c、non-related········r=02/8//2020e、Strongly-negativer=－1·f、nonlinear··················2/8//2020散布图的的异常点点处理:在散点图图上出现现异常点点,可能是由由于测量量,记录错误误.或外部条条件发生生变化所所引起的的,此时必须须查明原原因,去掉这些些异常点点后才能能估计x与y之间的回回归关系系,在原因不不明的情情况下,不要盲目目去掉它它们.···························xy2/8//2020要注意分层层观察：：如图所示示,从整整体看似似乎没有有相关性性,若分分层观察察时有明明显的相相关性（如右上上图）。相反，，从整体体看似乎乎相关，，但是分分层后就就不相关关了（如右下下图）.☆●●●●●●●●★★★★★★★★★★★★★★☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆●●●●☆☆☆☆☆☆☆☆☆★★★★★★★★★★★★★★★●●●●●●●●●●xyxy2/8//2020（3）回回归方程程1）作图法法例：根据据下表所所列实测测数据求求出温度度与硬度度之间的的回归直直线与回回归方程程。附22/8//2020No.温度x0c硬度Y（HRC）No.温度x0c硬度Y（HRC）1840451686054288048178805539105718890574860481984048585049208204068505121840467860502285044889052238704999005324880531091057258604611920582689054129105927870531392058288905514830442982043158605030900482/8//2020步骤：（a）把数据点点在坐标标纸上画画出散布布图。（b）判断变量量x，y之间的相相关情况况。（c）散布图上上引中线线使使它左左右的点点子数相相等。（d）画中线,使右侧的的点子左左右均分分；画中线,使左侧的的点子左左右均分分。以最靠近近直线两两侧点的的中间点点(中位数)定位。2/8//2020（e）画中线使使得右右侧侧的点上上下均分分，与的的交点u1(900,56)；画中线，，使得得左左侧的的点上下下均分，，与的的交点点u2（860,,49..3）（f）过u1u2作一直线线，即为为回归线线。（g）设回归方方程为：：将u1(900,56)，u2(860,49.3))代入上述述方程解得：所所求回归归方程为为：2/8//2020860900u2（860，49.3）u1（900，56）5649.252/8//20202）最小二乘乘法Xδi(xi,)(xi,yi)yyi2/8//2020用最小二二乘法求求回归方方程的系系数用最小二二乘法可可以求所所有的回回归方程程的系数数，下面面以线性性方程为为例：设回归方方程为其中a,b称为回归归系数令：2/8//2020显然，要要使为为最最好的拟拟合直线线，应使Q为最小，，2/8//2020其中：2/8//2020例：

某钢厂某某号平炉炉10炉钢液含含碳量和和精炼时时间记录录如下：：炉次12345678910含碳量x(%)0.91.01.21.41.51.61.71.81.92.0精练时间y(分)1001051301451701751901902202352/8//2020作散布图图含碳量x％y精练时间(分)10020030021.91.81.71.61.51.41.31.21.110.90.80.7…0.20.10●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●2/8//2020炉次含碳量x（%）精炼时间y(分)x2y2xy10.91000.81100009021.01051.001102510531.21301.441690015641.41451.962102520351.51702.252890025561.61752.563062528071.71902.893610032381.81903.243610034291.92203.6148400418102.02354.0055225470∑15.0166023.7629430026422/8//20202/8//20202/8//2020回归方程程的应用用另外，回回归方程程还具有有预测与与控制的的功能。。回归方方程来自自有限个个样本点点，对于于其它的的未知样样本点可可以进行行预测（或控制制）。在本例中中，当含含碳量要要求为2.2％％时，可可以估计计此时需需要精练练的时间间是：Y=-15＋120..635x=-15+120.635××2.2=250((分)2/8//2020回归方程程的应用用反