难点解析青岛版七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解重点解析试题(无超纲)

七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列运算正确的是（

）A．a2+a3=2a5 B．（a3）2=6a6 C．（a+2）2=a2+4 D．（-a2）3=-a62、下列等式从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．3、已知ax2＋24x＋b＝（mx﹣3）2，则a、b、m的值是（

）A．a＝64，b＝9，m＝﹣8 B．a＝16，b＝9，m＝﹣4C．a＝﹣16，b＝﹣9，m＝﹣8 D．a＝16，b＝9，m＝44、如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20235、下列运算正确的是（

）A． B．C． D．6、把2a2﹣4a因式分解的最终结果是（）A．2a（a﹣2） B．2（a2﹣2a） C．a（2a﹣4） D．（a﹣2）（a+2）7、下列运算，正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．(x﹣3)2＝x2﹣9C．(xy2)2＝x2y4 D．x6÷x3＝x28、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．9、下列由左至右的变形中，属于因式分解的是（

）A．x2－4x＋3＝x（x－4）＋3 B．x2－4＋3x＝（x＋2）（x－2）＋3xC．x2－4＝（x＋2）（x－2） D．（x＋2）（x－2）＝x2－410、已知，则的值等于（

）A．1 B．﹣1 C．-2 D．第Ⅱ卷（非选择题70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若a－b＝2，a2－b2＝6，则a2＋b2＝______．2、分解因式：2x3﹣x2＝_____．3、分解因式：_______．4、计算：_____．5、因式分解：4m2﹣16＝___．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、问题：当a≠b时，判断a2＋b2与2ab的大小关系．“形”的角度(1)①小明说，当a＞b＞0时，可以构造如图所示的长方形ABCD，它是由1个正方形ABFE和1个长方形EFCD拼成．请你完成下面的推理过程．②当b＞a＞0时，请你类比小明的思路，完成构图和推理．“数”的角度(2)小红说，可以用“作差法”比较a2＋b2与2ab的大小．请你尝试根据她的思路解决问题．2、先化简，再求值：，其中，．3、已知a+b＝3，ab＝﹣1，求下列代数式的值：(1)（a+1）（b+1）；(2)a3b+ab3．4、数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．方法1；方法2．(2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，àb之间的等量关系为；(3)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为；(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．5、因式分解：(1)﹣3x3+6x2y﹣3xy2；(2)3（x+y）（x﹣y）﹣（y﹣x）2．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据合并同类项的法则，幂的乘方法则和完全平方式，逐项计算判断即可．【详解】和不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；

，故B选项错误，不符合题意；

，故C选项错误，不符合题意；

，故D选项正确，符合题意．故选D．【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方和完全平方式．掌握各运算法则是解答本题的关键．2、A【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．【详解】解：A．把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；B．等式的左边不是多项式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；C．不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；D．原变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．3、B【解析】【分析】将根据完全平方公式展开，进而根据代数式相等即可求解【详解】解：∵，ax2＋24x＋b＝（mx﹣3）2，∴即故选B【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．4、C【解析】【分析】设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案．【详解】解：设k是正整数，∵（k＋1）2−k2＝（k＋1＋k）（k＋1−k）＝2k＋1，∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，B，D选项都是智慧数，不符合题意；∵（k＋1）2−（k−1）2＝（k＋1＋k−1）（k＋1−k＋1）＝4k，∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以A选项是智慧数，不符合题意，C选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记a2−b2＝（a＋b）（a−b）是解题的关键．5、A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据积的乘方运算法则可判断B，根据完全平方公式可判断C，根据去括号法则可判断D．【详解】解：A.，正确，故选项A符合题意；

B.，不正确，故选项B不符合题意；C.，不正确，故选项C不符合题意；

D.，不正确，故选项D不符合题意．故选A．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，去括号法则，掌握同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，去括号法则是解题关键．6、A【解析】【分析】2a2-4a中两项的公因式是2a，提取公因式即可【详解】解：2a2-4a=2a(a-2)；故选A．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．7、C【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【详解】解：A、，无法计算，故此选项错误，不符合题意；B、，故此选项错误，不符合题意；C、，正确，符合题意；D、，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则．8、C【解析】【分析】根据因式分解定义解答．【详解】解：A.是整式乘法，故该项不符合题意；B.是整式乘法，故该项不符合题意；C.是因式分解，故该项符合题意；D.不是整式乘法也不是因式分解，故该项不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了因式分解的定义：将一个多项式分解为几个整式的积的形式，叫将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键．9、C【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A、不属于因式分解，故本选项不符合题意；B、不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、属于因式分解，故本选项符合题意；D、不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．10、C【解析】【分析】先将原式变形为，再根据完全平方公式，可得，从而得到，进而得到，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴．故选：C【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．二、填空题1、##6.5【解析】【分析】根据平方差公式求出a+b=3，解方程组，求出解代入计算即可．【详解】解：∵a－b＝2，a2－b2＝6，a2-b2=(a+b)(a-b)∴a+b=3，解方程组，得，∴a2＋b2＝，故答案为：．【点睛】此题考查了平方差公式的应用，解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值，正确掌握平方差公式是解题的关键．2、x2（2x﹣1）【解析】【分析】根据提公因式法分解．【详解】解：2x3﹣x2＝x2（2x﹣1），故答案为：x2（2x﹣1）．【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式、十字相乘）是解题的关键．3、2ab（c＋2a）【解析】【分析】提公因式，进行因式分解即可．【详解】解：2ab（c＋2a）故答案为：2ab（c＋2a）【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．4、【解析】【分析】利用平方差公式，即可求解．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题主要考查了利用平方差公式计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．5、4（m＋2）（m－2）##4（m－2）（m＋2）【解析】【分析】先提取公因式4，再用平方差公式分解即可.【详解】解：原式＝4（m2﹣4）＝4（m＋2）（m－2），故答案为4（m＋2）（m－2）．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．三、解答题1、(1)①见解析；②见解析；(2)见解析；【解析】【分析】（1）①根据图形表示面积即可；②把b、a位置互换即可证明；（2）通过作差结合完全平方公式计算即可．(1)①S由图形得∴∴②当b＞a＞0时，S由图形得∴∴(2)作差可得a2＋b2－2ab＝（a－b）2．

∵a≠b，∴（a－b）2＞0．

∴a2＋b2－2ab＞0．∴a2＋b2＞2ab．【点睛】主要考查了分解因式与几何图形之间的联系，从几何的图形来解释分解因式的意义．解此类题目的关键是正确的分析图列，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．2、，3【解析】【分析】先算乘方和乘法，再算加减法，再代入求值即可．【详解】解：原式.当，时，原式.【点睛】此题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是掌握整式加减乘除混合运算法则．3、(1)3(2)-11【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则把原式展开，再把a+b＝3，ab＝﹣1代入求值即可；（2）先提出公因式ab，再把所得式子利用完全平方公式变形后，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．(1)解：（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝ab+（a+b）+1，∵a+b＝3，ab＝﹣1，∴原式＝﹣1+3+1＝3；(2)解：a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]，∵a+b＝3，ab＝﹣1∴原式＝﹣1×[32﹣2×（﹣1）]＝﹣1×（9+2）＝﹣11．【点睛】本题主要考查了整式的乘法，多项式的因式分解及完全平方公式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式法则，多项式的因式分解方法和完全平方公式是解题的关键．4、(1)，(2)=(3)a+b，a+2b(4)①11；②16【解析】【分析】（1）方法1由图知，大正方形的边长为a+b，则可求得正方形的面积；方法2由图知，大正方形由两个边长分别为a与b的两个小正方形及两个长为b、宽为a的长方形组成，从而可求得大正方形的面积；（2）由（1）知，可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）由于，从而可得长方形相邻两边的长；（4）①由（2）中的等量关系式即可求得ab的值；②考虑到2020比2021小1，2022比2021大1，则x−2020=(x−2021)+1，x−2022=(x−2021)−1，利用（2）中的等量关系即可求得结果．(1)方法1

由图知，大正方形的边长为a+b，则大正方形的面积为；方法2

由图知，大正方形由两个边长分别为a与b的小正方形及两个长为b、宽为a的长方形组成，所以大正方形的面积为；故答案为：方法1；方法2

(2)由（1）知：、均表示同一正方形的面积，所以=故答案为：=