初中数学竞赛专题培训(5)恒等式的证明

初中数学比赛专题培训(5)：恒等式的证明.初中数学比赛专题培训(5)：恒等式的证明.9/9初中数学比赛专题培训(5)：恒等式的证明.初中数学比赛专题培训第五讲恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它波及的基础知识好多，主要有整式、分式与根式的基本见解及运算法例，因式分解的知识与技术技巧等等，所以代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．第一复习一下基本知识，此后进行例题分析．两个代数式，假如关于字母在赞成范围内的全部取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是经过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有一致的方法，需要依据详细问题，采纳不一样样的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般能够把恒等式的证明分为两类：一类是无附带条件的恒等式证明；另一类是有附带条件的恒等式的证明．关于后者，同学们要擅长利用附带条件，使证明简化．下边联合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”((即由等式较繁的一边向另一边推导和“相向趋进”马上等式两边同时转变成同一形式．例1x+y+z=xyzx(1y2(1z2+y(1x2(1z2+z(1x2(1y2=4xyz已知，证明：．分析将左侧张开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左侧化简成右侧．证由于x+y+z=xyz，所以左侧=x(1z2y2y2z2+y(1z2x2+x2z2+(1y2x2+x2y2=(x+y+zxz2xy2+xy2z2yz2+yx2+yx2z2zy2zx2+zx2y2=xyzxy(y+xxz(x+zyz(y+z+xyz(xy+yz+zx=xyzxy(xyzzxz(xyzyyz(xyzx+xyz(xy+yz+zx=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右侧．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．222例2已知1989x=1991y=1993z，x＞0，y＞0，z＞0，且222证令1989x=1991y=1993z=k(k＞0，则又由于所以所以说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，经过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，进而使等式建立．2．比较法a=b(比商法．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子拥有以下特点：假如拿出它的第一项，把此中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母推行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母推行上述轮换，可得出第一项．拥有这类特点的式子叫作轮换式．利用这类特点，可使轮换式的运算简化．证由于所以所以说明本例若采纳通分化简的方法将很繁．像这类把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p(1+q(1+r=(1-p(1-q(1-r．同理所以所以(1+p(1+q(1+r=(1-p(1-q(1-r．说明本例采纳的是比商法．3．分析法与综合法依据推理过程的方向不一样样，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，追求在什么状况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，追求结论建立的条件，一旦条件建马上可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，获得所求结论．2222证要证a+b+c=(a+b-c，只需证222222a+b+c=a+b+c+2ab-2ac-2bc，只需证ab=ac+bc，只需证c(a+b=ab，只需证这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式建立．说明本题采纳的方法是典型的分析法．4444例6已知a+b+c+d=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．证由已知可得4444a+b+c+d-4abcd=0，(a2222222222-b+(c-d+2ab+2cd-4abcd=0，所以(a222222+2(ab-cd2-b+(c-d=0．222由于(a-b≥0，(c2-d22≥0，(ab-cd2≥0，所以2222a-b=c-d=ab-cd=0，所以(a+b(a-b=(c+d(c-d＝0．又由于a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以22，ab-cd=a-c=(a+c(a-c=0所以a＝c．故a=b＝c=d建立．说明本题采纳的方法是综合法．4．其余证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．a+b=k(a-b，b+c=2k(b-c，(c+a=3k(c-a．所以6(a+b=6k(a-b，3(b+c=6k(b-c，2(c+a=6k(c-a．以上三式相加，得6(a+b+3(b+c+2(c+a=6k(a-b+b-c+c-a，即8a+9b+5c=0．说明本题证明顶用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是近似方法．这类设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8已知a+b+c=0，求证44422222(a+b+c＝(a+b+c．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．4442222左-右=2(a+b+c-(a+b+c=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c22-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc(a2-b2-c2-2bc=[a2-(b-c2][a2-(b+c2]=(a-b+c(a+b-c(a-b-c(a+b+c=0．所以等式建立．说明本题证明过程中主假如进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包括字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包括a，x和z，所以可以从消去y着手，获得以下证法．证由已知说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例证明：(y+z-2x3+(z+x-2y3+(x+y-2z3=3(y+z-2x(z+x-2y(x+y-2z．分析与证明本题看起来很复杂，但认真察看，能够使用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变成a3+b3+c3=3abc．联想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c(a2+b2+c2-ab-bc-ca，所以将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x3+(z+x-2y3+(x+y-2z3=3(y+z-2x(z+x-2y(x+y-2z．说明由本例能够看出，换元法也能够在恒等式证明中发挥效劳．例设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z拥有轮换对称的特点，我们不如先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的构造近似．证由已知有①×②×③得x2y2z2=1．说明这类欲进先退的解题策略常常用于研究解决问题的思路中．总之，从上边的例题中能够看出，恒等式证明的重点是代数式的变形技术．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻意会例题中的常用变形技术与方法，这对此后的数学学习特别重要．练习五21．已知(c-a-4(a-b(b-c=0，求证：2b=a+c．2．证明：33(x+y