高中数学必修二知识点总结(精选.)

word.word.必修二复习（立体几何）第一章柱、锥、台、球的结构特征一、柱、锥、台、球的结构特征1、棱柱⑴结构特征：有两个而互相平行，其余各而都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体。注意：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗?答：不一定是.如图所示，不是棱柱（2）棱柱的性质.侧棱都相等，侧面都是平行四边形；.两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；.平行于侧棱的截面都是平行四边形；（3）棱柱的分类按侧棱是否和底面垂直分类：I斜棱柱■直棱柱（正棱柱I其它宜棱柱按边数分：三棱柱 四棱柱 五棱柱按侧核是否与底面垂直分：斜棱柱 直棱柱 正棱柱2、棱锥（1）结构特征，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形（2）棱锥的分类按底而多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底而中心的棱锥。定义：有一个面是多边形，其余各而是有一个公共顶点的三角形，由这些而所用成的几何体叫棱锥。如果一个棱锥的底而是正多边形，并且顶点在底而的射影是底而中心，这样的棱锥叫做正棱锥。性质I、正棱锥的性质⑴各侧棱相等，各侧而都是全等的等腰三角形。⑵棱锥的高、斜高和斜高在底而上的射影组成一个直角三角形：棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。正棱锥性质2：棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形棱台由棱锥截得而成，所以在棱台中也有类似的直角梯形。3棱台结构特征：用一个平行于棱锥底面的平而去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱令.4圆柱结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。5圆锥结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所用成的几何体叫做圆锥6圆台结构特征：用一个平行于圆锥底面的平而去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台.7球结构特征：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体.8空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积—画柱向侧面积：s=24”-圆锥的侧面积：S=仃1而和_―圆台的侧面积：S=»(/+/•)/_球的表面积：厂柱体的体积：_锥体的体积：体积一-台体的体积：I—球的体积：S=S=44公V=ShV=aS/7K=I(S"+ +S〉h沙=3r7?3练习题L设梭锥的底面面积为8cmz,那么这个棱锥的中截面(过棱锥的中点且平行于底面的截面)(A)4cm2的面积是((C)2cm2(D).x/zcm2((A)4cm2的面积是((C)2cm2(D).x/zcm22.若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面面积的四分之一，则锥体被截面截得的一个小锥与原棱锥体积之比为( )(A)l:4 (B)1:3(C)1:8 (D)l:73.上、下底面积分别为36=和49元,母线长为E的圆台，共两底面之间的距离为练4；一个正三棱锥的底面边长是6,高是、石,那么这个正三楼锥的体积是(A)TOC\o"1-5"\h\z9 7(A)9 (B)- (C)7 (D)-\o"CurrentDocument"2 2练5；一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm,高是1.5cm,求三棱台的侧面积。 27J3 , cnr26.如图，等边圆柱(轴截面为正方形ABCD)一只蚂蚁在A处，想吃G处的蜜糖，怎么走才word.word.word. word. □最快，并求最短路线的长?二、空间几何体的三视图和直观图「中心投影投影一 「正视图厂三视图一一最快，并求最短路线的长?二、空间几何体的三视图和直观图「中心投影投影一 「正视图厂三视图一一侧视图T行投影一 1-俯视图一直观图一斜二测画法平行投影法 投影线相互平行的投影法.(1)斜投影法投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法.(2)正投影法投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法.平行投影法图如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影上，则就是三视图。□♦长对正，JI .高平齐，俯视由 ♦宽相等.三视图的作图步骤.确定视图方向.先画出能反映物体真实形状的一个视图.运用长对正、高平齐、宽相等的原则画出其它视图所得到的三个图形摊平在一个平面俯视图方向.检查，加深，加粗。

所得到的三个图形摊平在一个平面俯视图方向斜二测画法步骤是：（1）在已知图形中取互相垂直的X轴和y轴，两轴相交于点0。画直观图时，把它们画成对应的，轴和y，轴，两轴交于点0M且使Nx，OV=45。（或135°）,它们确定的平面表示水平面。（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于/轴或/轴的线段。（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。练1:圆柱的正视图、侧视图都是，俯视图是:（矩形、圆）圆锥的正视图、侧视图都是,俯视图是;（三角形、圆及圆心）圆台的正视图、侧视图都是，俯视图是。（梯形、圆环）练2：利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形。以上结论正确的是（ ）A（A）①②（B）①（C） （D）①②®©练3：根据三视图可以描述物体的形状，其中根据左视图可以判断物体的:根据俯视图可以判断物体的：根据正视图可以判断物体的（宽度和高度、长度和宽度、长度和高度）练4：某生画出了图中实物的正视图与俯视图，则下列判断正确的是（A.正视图正确，俯视图正确 B.正视图正确，俯视图错误C,正视图错误，俯视图正确D.正视图错误，俯视 正视图正视正视练5：练5：下图中三视图所表示物体的形状为（主视图左视图 俯视图）（答案：一个倒放着的圆锥）.一平面图形的直观图如图所示，它原来的面积是（.如图所示，4ABC的直观图△ABC。这里U是边长为2的正三角形，作出4ABC的平面图，并求^ABC的而积.8、正三棱柱的侧棱为2,底面是边长为2的正三角形，则侧视图的面积为9将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）.幺110如图是一个空间几何体的三视图,积为正视图仰视图P\l馅视图11.已知某个几何体的三视图如图2,/△主视图 例视图5俯现图体积是 .第二章点,如果直角三角形的直角边长均为1,那么几何体的体-卜底〃=31X1X11根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的直线、平面之间的位置关系四个公理直线与直线位置关系•三类关系•三类关系•三种角•八个定理1、四个公理平面与平面位置关系线线角线面角二面角线面平行的判定定理与性质定理线面垂直的判定定理与性质定理面面平行的判定定理与性质定理面面垂直的判定定理与性质定理公理1:如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.（常用于证明直线在平面内）公理2：不共线的三点确定一个平面.（用于确定平面）.推论1：直线与直线外的一点确定一个平而.推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.2、三类关系（1）线线关系:共面:ap|b—A,a//b异面:a与b（1）线线关系:异而直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线一一异面直线：（2）判定定理：连平而内的一点与平面外一点的直线与这个平而内不过此点的直线是异面直线。异面直线所成的角：（1）范围：^g（0°,90°］；（2）作异而直线所成的角：平移法直线与平而所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平而的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。（3）面面关系J（3）面面关系J相交'斜交：an4二a

垂直：a工0'平行:a//p①二面角：（1）定义：【如图】；范围：ZAOBe[0M800]OB±I.OA±l^>NAO8是二面角a-/-£的平面角②作二面角的平面角的方法：（1）定义法：（2）三垂线法（常用）：（3）垂面法.3、八个定理.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.allb,②判定定理：a«analla（线线平行=>线面平行）buaalia③性质定理：au。，=a"b（线面平行二>线线平行）a[\p=b.面面平行；①定义：apl4=0=々〃"；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：ua,a口〃= 〃a,b//a=>a//pallp'③面面平行的性质定理：aC\y=a；=ailb④判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及结论1;（3）结论2.结论1：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述：a,b<^a,a（>\b=O,a\b'a/?,alla\b//b'=>a//p结论2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：a_La,a_L/7=>a〃）.【如右图】.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平而内的任意一条直线,

则这条直线垂直于平面.符号表述：若任意“UN都有且/<za,则/_La.a,buaci（\b=O②判定定理：Ba,=>/_La（线线垂直二*线而垂直）IVaILb③性质定理：a±a,b±a=>a//b（线而垂直二>线线平行）:另：/_LaMua=/_L〃（线而垂直二>线线垂直）:证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）;■（3）”'[^h±a（较常用）；aLa(4)allp

aka(4)allp

akaa10aC\J3=b(5) r=>a«L/7(面面垂直二>线而垂直)aciaalb4.面面垂直（1）定义：若二面角。-/一夕的平面角为90。，则a_L/7；（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直=面面垂直）a"a门,=4B=>«1/?（面面垂直==>线而垂直）:(3)=>«1/?（面面垂直==>线而垂直）:。U67aLAB基础知识网络:立体几何解题中的转化策略位置关系的相互转化：大策略：空间 到平面小策略：①平行转化：线线平行 线面平行 面面平行②垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直③平行关系 垂直关系⑶求二面角A—BD⑶求二面角A—BD一4的正切值;例L在棱长为1的正方体ABCD—AiBfiD]中,⑴求异面直线A〔B与Bg所成的角的大小;(2)求直线A〔B与平面BBQiD所成的角;(4)求证:平面A]BD〃平面CB»i；(5)求证:直线4GJL平面A]BD;(6)求证:平面44G-1-平面A]BD;⑺求点A1到平面CBR的距离.

例2:如图，在长方体43cz）―4当。］。!中，AA1=AD=a?练习L如图，在长方体ABCD-4用CQ］中，AA、=AD=a,AB=la,£、FAB=la,£、F分别为G2、省2的中点.（I）求证：DE，平面4CE；（H）求证：月/〃平面6DE.C策略：线而平行转化成线线平行（空间转化平面）例3（综合题型）：一个多面体的直观图及三视图如图所示:（其中初\N分别是/R、6c的中点〉1）求该多面体的表面积与体积（策略：空间几何体的相互转化可考虑将该多而体补图成正方体解・ 1 LS=2x-x22+2x22+2x2-V22=12+472V=-x2-x2=42(2)求证：MN7/平面CDEK解：注结BEEC,则仍经过点M在aAEV中,MN是中位线MNHECECu平面CD砂>=>.W〃平面。。£?MNq平面oef策略：利用中位线将线面平行转化成线线平行(3)求二面角C—2R—3的正切值；解:连结AB=BF=2,AC=CF=2无,A/为/尸的中点NCAffi为二面角C-AF-3的平面角CB=2,MB=拉,在放aCA4中tanZGW5=—=72MB先找后求策略：将二面角转化成平而角先找后求初(4)求多面体力—CD石产的体积；会面体力・CDEF为四棱锥且侧面4OE1底面3E下点/到平面CZ)”的垂线必在平面石内,且垂直于交线Z)石・.•AE=AD=2,取DE中点为O「.NO_L底面CDEF,40=也/.r=-x2x2V2xV2=-策略：将点面距离转化成点线距离第三章直线与直线方程1、直线的倾斜角倾斜角的取值范围是0°<6Z<180°.2、直线的斜率k=lan^90r)意义：斜率表示倾斜角不等于90。的直线对于x轴的倾斜程度。直线的斜率计算公式:直线方程的形式:形式条件方程应用范围点斜式过点(xo,yo),斜率为ky-y,=Kx-xQ)格在斜截式在y轴上的截距为b,斜率为ky=kx+b祷在两点式过Pi5,必),P2%，丫2),一乃二工一工］>2->1/2一的上存在且kaO截距式在y轴上的截距为h在x轴上的截距为aXv,-+-=1.ab上存在且=0且不过原点一般式Ax^Bv^C•<任何直线两直线平行的判定：方法：1)若，:y=k]X+bi，l2:y=k2x+b2I"I、ok、=k”b\hb,2) :A}x+Bxy+C,=0,/2:A2x+B2y+C2=0A///2u>4&=4A"G工40】两直线相交的判定：方法：1)若/]:y=kyX+byJ,:y=k2x+b://相交=左2)若4：&X+5,v+C,=0J2:A2x+B2y+C2=0//相交。44工44两直线垂直的判定：方法：1)若/1:y=k[X+b],1?:y=k2x+b,l}_!_/? •42=T2)若4：Axx+Bly+Cl=0,/2-4/+B2y+C2=04_L/?=44+Bp?=04.点到直线的距离，平行线的距离(1)点尸(XoJo)到直线Zx+电+C=0距离:十为i+q筋2十藤(2)直痴工+3+G=醺直线4父+的+。2=0的距离：d=J^yJa2+b2中对称(点关于点的对称点直线关于点的对称直线)解决方饮中点坐标公式引轴对称(点关于直线的对称点,直线关于直线的对称直线)斛决方法⑴垂直⑵中点在对称轴上题型一求直线的方程例1、求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(-1,-3),且倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可.解(D方法一设直线I在x,y轴上的截距均为a,

若a=0,即I过点(0,0)和(3,2),.F的方程为丫= x,即2x-3y=0.若a#。，则设I的方程为过点(3,2),・•・:.a=5,/.I的方程为x+y-5=0,综上可知，直线I的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二由题意知，所求直线的斜率k存在且k#0,设直线方程为y・2=k(x・3),令y=o,得X=3-，令x=0,得y=2-3k,由已知3- =2-3k,解得1<=・1或1<=,・•・直线I的方程为y-2=-(x-3)或y・2= (x・3),即x+y-5=0或2x-3y=0.(2)由已知：设直线y=3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.Vtan=3/.\tan2=又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=- (x+1),即3x+4y+15=0.题型二官线的斜率【例2】已知直线I过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交，求直线I的斜率的取值范围.思维启迪分别求出PA、PB的斜率，直线I处于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利用数形结合即可求.解方法一如图所示，直线PA的解方法一如图所示，直线PA的斜率第=卷2直线PB的斜率. 0-2 1当直线I绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是［5,+8).当直线I绕着点P由PC旋转到PB的位置时9它的斜率的变化范围是［一双一』•・.直线I的斜率的取值范围是方法二设直线I的斜率为匕则直线I的方程为y-2=k(x+1),即kxy+k+2=O.•:A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线I上,:.(-2k+3+k+2)(3k-0+k+2)WO,即直线I的斜率k的取值范围是—即(k-5)(4k+2)20,，k25或即直线I的斜率k的取值范围是—u[5,十8).探究提高：方法一运用了数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数V=tana的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决.题型三 两直线的位置关系例3：已知直线方程为(2+*x+(l-2A)y+9-34=0.(1)求证不论入取何实数值，此直线必过定点：(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.解：把直线方程整理为2x+y+9+*x—2y-3)=0.解方程沮，2x+v+9=解方程沮，2x+v+9=0X—2V-3=0

J吸二即点(一3,—3)适合方程2x+v+9+2(x—2>-3)=0,也就是适合方程(2+z)r+(1-22方+9—32=0.所以，不论入取何实数值，直线(2+*x+(l-2A)y+9-3入=0必过定点(-3,—3).(2)设经过点(一3,—3)的直线与两坐标轴分别交于4(。0)，8(0,由中点坐标公式得〉Z+o

F=-30+bT-="3解得—6,b=-6.数过点(-3,—3)的直线方程为&+±=1,力 艮口x+y+6=0.练1、2、3、过P(-1，2)的直线Z与线段相相交，若.4(-2,-3),B(3,0),求1的斜率4的取值范围。证明:<-l-5),^(3,3),C(7,ll)三点共线。设直线Z的斜率为4,且—6<k<l,求直线的倾斜角G4、的取值范围。 3已知直线Z的倾斜角的正弦值为三，且它与两坐标轴围成答案;的三角形面积为6,求直线，的方程。(一1、Are—8,—；U[5,+8)；2、方法：①左②网+忸q=|/c|③石〃就；3、0,亍4、三+上=1、£+二=1、二十£=1、二+上=143 4-3 -43 —4—3练5、a为何值时，直线收十(1-°)7+3=0与(。一1)*+(2。+3)炉一2=0平行？垂直？练6、求过点/(T,2)且与原点的距离为乎的直线方程。答案：1、判断4?-4片】是否为0，。=1或〃=-3时垂直；2、大+『一1=0或7、+『+5=0;7、将直线4：X-y+m—2=。绕着它上面的一点(2,石)沿逆时针方向旋转15。得直线为求4的方程。解:・・•勺=1k2=tan(450+15。)二百:y— --\/3(x-2)・•.Vir-g=0为所捌2的方程。8、直线过点(-2,-1),且在两坐标轴上的截距相等，求直线方程。解：若直线截距为o,则设所求直线为j，=心:，再由过点(-2,-1)得人=与・2若直线截距不为0,则设所求直线为三+1=1,aa再由过点(-2,-1)得〃=-3./-所求直线方程为x-2y=。或x+j?+3=0。9、(1)求A(-2,3)关于直线对称点B的坐标；(2)光线自A(-3,3)射出，经x轴反射以后经过点B(2,5),求入射光线和反射光线的直线方程；(3)已知M(-3,5),N(2,15),在直线上找一点P,使|PM|十|PN|最小，并求出最小值10、若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限,则(三象限,则(D)A.ab>0,6c>0A.ab>0,6c>0C.ab^C09Bc>0B.ab^>09bc^ZOD.a3<0,6(<0解析：由题意，宜线的斜率一定大于0,所以—解析：由题意，宜线的斜率一定大于0,所以——40,即或V0;根据直线的纵截比大于0,可得一£>0,即&V0.第四章圆与方程圆的标准方程!