大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

1616、(本小题5分)1616、(本小题5分)第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题（本大题共16小题，总计80分）1、（本小题5分）求极限x3-12x+16求极限limx—22x3—9x2+12x—42、2、（本小题5分）求Jxdx.(1+x2)23、（本小题5分）4、求极限limarctanxT8（本小题5分）x-arcsin-求j仝dx.1—x5、(本小题5分)求—Jx\'1+12dt.dx06、(本小题5分)求Jcot6x-CSC4xdx.7、（本小题5分）求J；丄cos丄dx丄x2x兀8、（本小题5分）设F一eC0SSt确定了函数y二y（x）,求学.[y=e21sintdx9、（本小题5分）求J3x*l+xdx.010、（本小题5分）求函数y=4+2x-x2的单调区间Y11、（本小题5分）哥sinx,求J2dx.08+sin2x12、(本小题5分)设x(t)=e—kt(3cos①t+4sin①t)，求dx.13、(本小题5分)设函数y=y(x)由方程y2+lny2=x6所确定，求空dx14、(本小题5分)求函数y二2ex+e-x的极值15、(本小题5分)求极限limxT8+(10x+1)2(x+1)2+(2x+1)求极限limxT8+(10x+1)2(10x—1)(11x—1)求fcos2xdx刁,x.1+sinxcosx6363一cosx01、2、3、41、2、3、4、5、解:原式=lim3x12—xf26x2一18x+12

6x=limxf212x-18=2（本小题3分）Jxdx（1+x2）2_丄jd（1+x2）2（1+x2）211_-+c.21+x2（本小题3分）因为|arctanx|<而limarcsin—=02xxT81故limarctanx-arcsin=0xfgx（本小题3分）Jxdx1-x—1-x-1dx1-x二-Jdx+Jdx1-x=—x—ln|1—x|+c.（本小题3分）二、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分）1、（本小题7分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.2、（本小题7分）求由曲线y=竺和y=三所围成的平面图形绕OX轴旋转所得的旋转体的体积.28三、解答下列各题（本大题6分）设f（X）二x（x-1）（x-2）（x-3）,证明广（x）二0有且仅有三个实根.学期期末高数考试（答案）一、解答下列各题（本大题共16小题，总计77分）（本小题3分）求—Jx\-1+12dt.dx0原式_2xjl+x4

6、(本小题4分)Jcot6x-CSC4xdx=-Jcot6x(1+cot2x)d(cotx)11=-cot7x一cot9x+c.797、(本小题4分)求J：丄cos丄dx丄x2x原式=-J21兀cos—x=-1=-12兀丄兀•1=一sinx8、(本小题4分)Ix=etcos12设]Iy=e21sint确定了函数y=y(x),求dydx解：dy_e21(2sint+cost)解：dxet(costJ3+cosx-2tsintJ3+cosx_et(2sint+cost)

(cos12-2tsin12)9、(本小题4分)求J=——Inx.1+=——In0令Jl+x=u原式=2J2(u4-u2)du1_U5U3i=2(了一曰2=116=10、(本小题5分)求函数y=4+2x-x2的单调区间解.函数定义域(-a,+8)y'=2-2x=2(1-x)当x=1,y'=0当x<1,y'>0函数单调增区间为(-©1]当x>1,y'<0函数的单调减区间为1,+a)11、(本小题5分)sinx8+sin2xdx．原式=-Jdcosx9-cos2x12、设二1ln26(本小题6分)x(t)=e-kt(3cos①t+4sin①t)，求dx.13、解：dx=xr(t)dt=e-kt1(4①-3k)cos①t-(4k+3①)sin①t]dt(本小题6分)设函数y=y(x)由方程y2*+lny2*=x6所确定，求.dx14、2y'2yy'+=6x5yy'=亘y2+1(本小题6分)求函数y=2ex+e-x的极值解：定义域(-8，+8),且连续1y'二2e-x(e2x-)211驻点：x=In22由于y“=2ex+e-x>015、(本小题8分)15、(本小题8分)求极限lim(x+1)2+(2x+1)2+(3x+1)2+…+(10x+1)2xT8(10x-1)(11x-1)(1+=ln1+—sin2x+c)2+(2+1)2+(3+1)2+•••+(10+丄)2原式=ln1+—sin2x+ci(10--)(11--)xx=10x11x21=6x10x11=7=216、(本小题10分)cos2xdx1+-—sin2x2解J[cocos2xdx1+-—sin2x21+sinxcosxdG1sin2x+1)1+£sin2x2xx2+kx>0xx2+kx>0某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.512设晒谷场宽为x,则长为——米，新砌石条围沿的总长为x512L=2x+(x>0)x512L'=2———唯一驻点x=16x2L”=竺4>0即x=16为极小值点x3512故晒谷场宽为16米，长为512=32米时，可使新砌石条围沿16所用材料最省2、(本小题8分)求由曲线y=今和y=宁所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.x=0,x=4.11dx=』4(—x=0,x=4.11dx=』4(———)dx046428V=兀卜x0TOC\o"1-5"\h\z1111=兀(—•x5—•—x74564711512=兀44(—)=兀5735三、解答下列各题(本大题10分)设f(x)=x(x—1)(x—2)(x—3),证明广(x)=0有且仅有三个实根.证明:f(x)在(—g,+s)连续，可导,从而在[0,3];连续，可导.又f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在:e(0,1),:£(1,2),E£(2,3)使ff忆)=广忆)=广忆)=0123123即八x)=0至少有三个实根，又f'(x)=0,是三次方程,它至多有三个实根,由上述T(x)有且仅有三个实根高等数学(上)试题及答案一、填空题(每小题3分，本题共15分)21、lim(1+3x)x=.oxt0Iexx<02、当k=1时，f(x)=<在x=0处连续.55、55、3、dx设y=x+lnx,则=dyx/x+14、曲线y二ex-x在点（0,1）处的切线方程是y=x+15、若Jf(x)dx=sin2x+C,C为常数，则f(x)=2Cos2X二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、x若函数f(x)=一，则limf(x)=(D)x2、3、4、5、A、0B、-1C、1D、不存在列变量中,是无穷小量的为（B）A.ln—(xT0+)B.lnx(xT1)x满足方程f'（x）=0的x是函数y=f（x）的A.极大值点B.极小值点C.COSX(xT0)）．C.驻点列无穷积分收敛的是（BA、卜sinxdx0B、C、严-dx0x设空间三点的坐标分别为M（1,1,1)、2,2,1)、B(2,兀A、兀B、C、三、计算题（每小题7分,本题共56分）1、求极限lim"4+x-2xT0sin2x2、求极限lim(i-^-)xT0xex-13、求极限cosxJe-t2dtlim-^xT0x24、设y=e5+ln(x+\：1+x2)，求y'设f=y(x)由已知f=ln(1+t2),Iy=arctantD.上二2(xT2)x2-4D.间断点D、严丄少oJx1,2)。则ZAMB=_A1110110010110006、求不定积分I丄sin(2+3)dxx2x7、求不定积分Iexcosxdx18、求12f(x8、求12f(x—1)dx01、1+x四、应用题（本题7分）求曲线y二x2与x二y2所围成图形的面积A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。五、证明题（本题7分）若f（x）在［0,1］上连续，在（o,1）内可导，且f（0）=f（1）=0，f（2）=1，证明：在（0,1）内至少有一点E，使）=1。参考答案一。填空题（每小题3分，本题共15分）1、e1、e62、k=1．3、4、y=15、f(x)=2cos2x二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、D2、B3、C4、B5、A三．计算题(本题共56分，每小题7分)4+x—2x1[.2x11.解：lim二lim二二lim二石xt0sin2xx^0sin2x(j4+x+2)2x^0sin2x(J4+x+2)82.解3、解：lim(!—L)二limex—1—x二lim口二lim2.解3、解：x—0xex—1x—0x(ex—1)x—0ex—1+xexx®ex+ex+xex2cosxIe—t2dtTOC\o"1-5"\h\z—sinxe—cos2x1lim—二lim二一一xT0x2xt02x24、解：y'二1(1+1)二=x+v1+x2v'1+x2<1+x26、解：J7、解：d2ydx21cos(-+3)+C2xJexcosxdx=Jcosxdex=excosx+Jexsinxdx=excosx+Jsinxdex=excosx+exsmx-Jexcosxdx=ex(sinx+cosx)+C8、解：Jf(x-1)dx=J1f(x)dx=J0f(x)dx+J1f(x)dx8、0-1-10=J0dx,J1dx-i1+exo1+x=J0(1—上二)dx+ln(1+x)F-11+exo=1-ln(1+ex)|0+In2-1=1+ln(1+e-1)=ln(1+e)四．应用题(本题7分)解：曲线y=x2与x=y2的交点为（1,1）,于是曲线y=x2与x=y2所围成图形的面积A为A=J(\A=J(\：x-x2)dx=[3x2-1x2]13A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为