2023学年度 矩形的性质与判定2

矩形的性质与判定第1课时矩形的性质1．有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形．2．矩形的四个角都是__直角__；矩形的对角线__相等__．3．直角三角形斜边上的中线__等于斜边的一半__．知识点一：矩形的性质1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．矩形具有而菱形不具有的性质是(B)A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．(2022·黄石)如图，一个矩形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(C)A．30°B．60°C．90°D．120°,第3题图),第4题图)4．(2022·宜宾)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，且∠DOC＝120°，DC＝eq\r(3)，则图中长度为1的线段共有(D)A．3条B．4条C．5条D．6条5．(2022·黔东南)如图CD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为(D)A．6B．12C．2eq\r(5)D．4eq\r(5),第5题图),第6题图)6．如图，Rt△ABC中，∠CC＝BC＝6，点E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于点F，EG⊥BC于点G，则矩形CFEG的周长是__12__．7．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.求证：四边形DOCE是菱形．解：证明：∵四边形ABCD是＝AC，DO＝OB，AO＝OC，∴DO＝OC，∵EC∥BD，DE∥AC，∴四边形DOCE是平行四边形，∴▱DOCE是菱形知识点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半8．(易错题)△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若EF＝4cm，则CD＝__4__cm.9．如图，“人字形屋梁”中，点E，F，D分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝6m，∠B＝30°，则支撑人字形屋梁的木料DE，AD，DF共有__9__米．10．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是__30_cm2__．11．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__20__．12．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)A．18°B．36°C．45°D．72°,第12题图),第13题图)13．(2022·青岛)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为(A)A．4B．3eq\r(2)C．D．514．(2022·凉山)顺次连接矩形各边中点所形成的四边形是__菱形__．15．如图所示，在△A，CE是高，点G，F分别是BC，DE的中点，则下列结论中：①GE＝GD；②GF⊥DE；③GF平分∠DGE；④∠DGE＝60°.其中正确的是__①②③__．(填写序号)16．(2022·湘潭)如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在点E处，BE与CD相交于点F，若AD＝3，BD＝6.(1)求证：△EDF≌△CBF；(2)求∠EBC的度数．解：(1)证明：由折，DE＝BC，∠E＝∠C＝90°，在△DEF和△BCF中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DFE＝∠BFC，,∠E＝∠C，,DE＝BC))∴△DEF≌△BCF(AAS)(2)在Rt△ABD中，∵AD＝3，BD＝6，∴∠ABD＝30°，由折叠的性质可得；∠DBE＝∠ABD＝30°，∴∠EBC＝90°－30°－30°＝30°17．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，∠1＝∠2，OB＝6cm.(1)求∠BOC的度数；(2)求△DOC的周长．解：(1)∵AE⊥BD,∴∠EB＝90°，又∵AE＝AE，∠1＝∠2，∴△AEO≌△AEB.∴AB＝AO.又∵OA＝OB,∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝120°(2)由矩形的性质可得△OCD≌△OAB，∴OC＝OA＝OB＝6cm.∴△DOC的周长为18cm18．(2022·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．解：(1)证ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形(2)∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝eq\f(2\r(3),3)，BF＝BE＝2AE＝eq\f(4\r(3),3)，∴菱形BFDE的面积为：eq\f(4\r(3),3)×2＝eq\f(8\r(3),3)

第2课时矩形的判定对角线__相等__的平行四边形是矩形；有__三__个角是直角的四边形是矩形．知识点一：对角线相等的平行四边形是矩形1．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD是矩形的是(B)A．AO＝CO，BO＝DOB．AO＝BO＝CO＝DOC．AC＝BD，AO＝COD．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD2．下列关于矩形的说法中正确的是(D)A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．矩形的对角线相等且互相平分3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为(C)A．4B．3C．2D．1,第3题图),第4题图)4．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__∠ABC＝90°或AC＝BD(不唯一)__．(添加一个条件即可)5．(易错题ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__60__度时，四边形ABFE为矩形．6．(原创题)已知，如图，中，对角线AC，BD相交于点O，且△OAB是等边三角形，若▱ABCD的面积是16eq\r(3)，求对角线AC的长．解：∵△OAB是等边三角OB，∠OAB＝60°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠OAB＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，BC＝eq\r(3)AB，∴AB·eq\r(3)AB＝16eq\r(3)，∴AB＝4，∴AC＝8知识点二：有三个角是直角的四边形是矩形7．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是(C)A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量其中三个角是否都为直角D．测量对角线是否相等8．如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为__12__.9．如图，点M是矩形AD的中点，点P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件__BC＝2AB__时，四边形PEMF为矩形．10．已知▱ABCD的对角线别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD.使▱ABCD是矩形的条件的序号是__①③④__.11．如图，点E，F分别△ABC的边BC，CA的中点，延长EF到点D，使得DF＝EF，连接DA，DC，AE.(1)求证：四边形ABED是平行四边形；(2)若AB＝AC，求证：四边形AECD是矩形．解：(1)证明：∵AF＝EF，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝CE，又∵BE＝CE，∴AD＝BE，∴四边形ABED是平行四边形(2)∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴▱AECD是矩形12．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OA＝eq\f(1,2)BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．解：(1)证明：∵BE⊥AC，∴∠BEO＝∠DFO＝90°，∵点O是EF的中点，∴OE＝OF，又∵∠DOF＝∠BOE，∴△BOE≌△DOF(ASA)(2)四边形ABC由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OA＝eq\f(1,2)BD，OA＝eq\f(1,2)AC，∴BD＝AC，∴▱ABCD是矩形13．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC且∠BAD＝∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形．解：证明：∵AC＝AB，∠BAD＝∠CAE，∴∠CAD＝∠BAD－∠CAB＝∠CAE－∠CAB＝∠BAE.∴△ADC≌△AEB.∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD.又∵DE＝BC，∴四边形BCDE为平行四边形．∵AB＝AC，∴∠ABC＝ACB，∴∠ABC＋∠ABE＝∠ACB＋∠ACD，即∠EBC＝∠DCB＝90°.∴四边形BCED为矩形14．(教材例4变式题)如图，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.连接AE，AF.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．解：(1)证明∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.∴OF＝OC.同理可证：OC＝OE.∴OE＝OF(2)由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，∴EF＝eq\r(CE2＋CF2)＝eq\r(122＋52)＝13.∴OC＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(13,2)(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．.理由如下：由(1)知OE＝OF,当点O移动到AC中点时有OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形

第3课时矩形的性质与判定的综合运用1．矩形的性质：(1)矩形具有__平行四边形__的一切性质；(2)矩形的四个角都是__直角__；(3)矩形的对角线__相等__．2．矩形的判定：(1)有一角__的平行四边形是矩形；(2)有三个角是__直角__的__四边形__是矩形；(3)对角线__相等__的__平行四边形__是矩形．知识点：矩形的性质与判定的综合运用1．如图，四边形ABCD和C是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(B)A．S1>S2B．S1＝S2C．S1<S2D．3S1＝2S2,第1题图),第2题图)2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10cm，则EH等于(B)A．8cmB．10cmC．16cmD．24cm3．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于(D)\r(7)B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)\r(10)4．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是(C)A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOCD．AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°5．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝__75__度．,第5题图),第6题图)6．如图，在矩形ABCD中，C＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为__(1＋2eq\r(3)，2)__．7．平行四边形的四个内角平分线相交，如果能构成四边形，则这个四边形是__矩形__．8．在四边形ABCD中，对角线A点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°.这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤⇒四边形ABCD是矩形，请再写出符合要求的两个：__①②⑥⇒四边形ABCD是矩形；③④⑤⇒四边形ABCD是矩形；(另外③④⑥，②③⑤⇒四边形ABCD是矩形)__．9．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE；(2)若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积．解：(1)证明：∵四边矩形，∴BD＝AC，AB∥CE，又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BE＝AC，∴BD＝BE(2)S四边形ABED＝eq\f(1,2)(AB＋DE)·BC＝eq\f(1,2)(4＋8)×4eq\r(3)＝24eq\r(3)10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为(C)A．3B．C．D．11．矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若OE∶ED＝1∶3，AE＝eq\r(3)，则BD＝__4或eq\f(8,5)eq\r(5)__．12．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，点E是AC上的一点，且BO＝2AE，∠AOD＝120°，求证：BE⊥AC.解：证明△AOB为等边三角形，点E是OA的中点即可13．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E为矩形ABCD外一点，若AE⊥CE，求证：BE⊥DE.解：连接OE，∵四边形A，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∵AE⊥CE，∴OE＝eq\f(1,2)AC，∴OE＝eq\f(1,2)BD，∴OE＝OB＝OD，可证∠BED＝90°，∴BE⊥DE14．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点．(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若菱形ABCD的面积是50，求四边形EFGH的面积．解：(1)∵点E，F分别是中点，∴EF綊eq\f(1,2)DB，同理GH綊eq\f(1,2)DB，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC，∴FG⊥EF，∴∠GFE＝90°，∴四边形EFGH是矩形(2)由(1)知EF＝eq\f(1,2)DB，FG＝eq\f(1,2