2022-2023学年湖南省长沙市八年级（上）第一次月考数学试卷（解析版）

2022-2023学年湖南省长沙市八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A．4cm，8cm，12cm B．5cm，6cm，14cm C．10cm，10cm，8cm D．3cm，9cm，5cm3．（3分）从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个4．（3分）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（）A．5 B．7 C．7.5 D．105．（3分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角度数之比为2：3：4，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形6．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（）A．① B．② C．③ D．①和②7．（3分）如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（）A．105° B．120° C．115° D．135°8．（3分）如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．（3分）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝2∠A，则此三角形（）A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是经过A点的一条直线，且B、C在AD的两侧，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于点F，CE＝10，BD＝4，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．812．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中正确的有（）个①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD＝2S△DNE．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为．14．（3分）如图，已知△ABC≌△ADE，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠BED的大小为．15．（3分）设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝．16．（3分）如图△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿直线DE翻折后使点A与点O重合．若∠1＝65°，∠2＝100°，则∠DOE＝．17．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．18．（3分）用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角∠BCD＝°．三、解答题（本大题共有8小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）（1）计算：；（2）求x的值：4x2﹣9＝0．20．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．（1）求AB、AC的长；（2）求BC边的取值范围．21．（8分）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长．（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的底角的度数．22．（8分）如图在平面直角坐标系中，已知△ABO的顶点坐标分别是A（3，3），B（﹣2，2），O（0，0）．（1）画出△AOB关于y轴对称的△COD，其中点A的对应点是点C，点B的对应点是点D，并请直接写出点C的坐标为，点D的坐标为；（2）请直接写出△COD的面积是；（3）已知点E到两坐标轴距离相等，若S△AOB＝3S△BOE，则请直接写出点E的坐标为．23．（9分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；（3）求∠FAE的度数．24．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．25．（10分）如图，已知等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D．点M、N在斜边BC上，AN⊥BD于点F，AM交BD于点E，且满足∠MAN＝45°，过点C作CP垂直AN的延长线于点P．（1）求证：△ADE是等腰三角形；（2）若AD＝3，求AB的长；（3）试探究AM与PC的数量关系，并说明理由．26．（10分）如图，点A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣1）2+|2b﹣2|＝0．（1）如图1，求△AOB的面积；（2）如图2，点C在线段AB上，（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值．

参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A．4cm，8cm，12cm B．5cm，6cm，14cm C．10cm，10cm，8cm D．3cm，9cm，5cm【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【解答】解：A、4+8＝12，不能组成三角形，故此选项不合题意；B、6+5＜14，不能组成三角形，故此选项不符合题意；C、10+8＞10，能组成三角形，故此选项符合题意；D、5+3＝8＜9，不能组成三角形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3．（3分）从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【分析】根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，可分成（n﹣2）个三角形直接判断．【解答】解：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n﹣2），∴从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是：7﹣2＝5（个，故选：C．【点评】本题考查了多边形的对角线，多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．4．（3分）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（）A．5 B．7 C．7.5 D．10【分析】过D点作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝2，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DH⊥AB，∴DH＝DE＝2，∴S△ABD＝×5×2＝5．故选：A．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．5．（3分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角度数之比为2：3：4，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【分析】根据比例设三个外角分别为2k、3k、4k，然后根据三角形的外角和等于360°列出方程，然后求解即可．【解答】解：设三个外角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k＝360°，解得k＝40°，∴三个外角分别为80°，120°，160°，∴三个内角分别为100°，60°，20°，∴这个三角形为钝角三角形．故选：C．【点评】本题考查了三角形的分类，三角形的外角和定理，根据比例，利用“设k法”求解更加简便．6．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（）A．① B．② C．③ D．①和②【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带③去．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．7．（3分）如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（）A．105° B．120° C．115° D．135°【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2＝45°，进而可得答案．【解答】解：∵在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴∠4＝∠3，∵∠1+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∵AD＝MD，∠ADM＝90°，∴∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝135°，故选：D．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．8．（3分）如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC【分析】利用等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，∴当AD＝AE时，则根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD；当∠AEB＝∠ADC，则根据“AAS”可判断△ABE≌△ACD；当∠DCB＝∠EBC，则∠ABE＝∠ACD，根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的性质．9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选：D．【点评】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．10．（3分）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝2∠A，则此三角形（）A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形【分析】利用三角形的内角和定理即可得出结论．【解答】解：在△ABC中，∠B+∠C＝2∠A，∴∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝60°，故选：B．【点评】此题是三角形内角和定理，解本题的关键是熟记三角形的内角和定理，并能灵活运用．11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是经过A点的一条直线，且B、C在AD的两侧，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于点F，CE＝10，BD＝4，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．8【分析】根据∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BAD+∠CAD＝90°，由于CE⊥AD于E，于是得到∠ACE+∠CAE＝90°，根据余角的性质得到∠BAD＝∠ACE，推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∵CE⊥AD于E，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AE＝BD＝4，AD＝CE＝10，∴DE＝AD﹣AE＝6．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，利用余角的性质得出∠BAD＝∠ACE是解题关键．12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中正确的有（）个①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD＝2S△DNE．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用ASA证明△BDN≌△CDM，得DN＝DM，从而说明△DMN是等腰直角三角形，可知①正确；过点D作DF⊥MN于F，利用AAS证明△DEF≌△CEM，得ME＝EF，CM＝DF，可说明②正确；设EF＝x，则EM＝x，MC＝MF＝DF＝2x，NE＝3x，得EM：MC：NE＝1：2：3，可知③正确；由△BED≌△CAD，知S△BED＝S△CAD，而点N并不是BE的中点，可说明④错误．【解答】解：①∵CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴BD＝CD，∵BM⊥AC，∴∠AMB＝∠ADC＝90°，∴∠A+∠DBN＝90°，∠A+∠DCM＝90°，∴∠DBN＝∠DCM，∵DN⊥MD，∴∠CDM+∠CDN＝90°，∵∠CDN+∠BDN＝90°，∴∠CDM＝∠BDN，∵∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，∠CDM＝∠BDN，∴△BDN≌△CDM（ASA），∴DN＝DM，∵∠MDN＝90°，∴△DMN是等腰直角三角形，∴∠DMN＝45°，∴∠AMD＝90°﹣45°＝45°，故①正确；②由①知，DN＝DM，过点D作DF⊥MN于F，则∠DFE＝90°＝∠CME，∵DN⊥MD，∴DF＝FN，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△DEF与△CEM中，，∴△DEF≌△CEM（AAS），∴ME＝EF，CM＝DF，∴FN＝CM，∵NE﹣EF＝FN，∴NE﹣EM＝MC，故②正确；③由ME＝EF，MF＝NF，设EF＝x，则EM＝x，MC＝MF＝DF＝2x，NE＝3x，∴EM：MC：NE＝1：2：3，故③正确；④如图，∵CD⊥AB，∴∠BDE＝∠CDA＝90°，由①知，∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，∴△BED≌△CAD（ASA），∴S△BED＝S△CAD，由①知，△BDN≌△CDM，∴BN＝CM，∵CM＝FN，∴BN＝FN，∴BN＜NE，∴S△BDN＜S△DEN，∴S△BED＜2S△DNE，∴S△ACD＜2S△DNE，故④错误，∴正确的有3个，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣2，﹣3）．【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解答．【解答】解：点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣2，﹣3），故答案为：（﹣2，﹣3）．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．（3分）如图，已知△ABC≌△ADE，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠BED的大小为100°．【分析】根据全等三角形的对应角相等求出∠D，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠D＝∠B＝40°，∴∠BED＝∠A+∠D＝60°+40°＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．15．（3分）设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝2b﹣2c．【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．【解答】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝a+b﹣c+b﹣c﹣a＝2b﹣2c，故答案为：2b﹣2c．【点评】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算，熟记性质并去掉绝对值符号是解题的关键．16．（3分）如图△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿直线DE翻折后使点A与点O重合．若∠1＝65°，∠2＝100°，则∠DOE＝75°．【分析】根据折叠的性质可得：∠EDO＝∠1＝65°，∠AED＝∠OED，由三角形的内角和定理可求解∠OED的度数，再次利用三角形的内角和定理可求解．【解答】解：由折叠可知：∠EDO＝∠1＝65°，∠AED＝∠OED，∵∠AED+∠OED+∠2＝180°，∠2＝100°，∴∠OED＝，∵∠OED+∠EDO+∠EOD＝180°，∴∠EOD＝180°﹣40°﹣65°＝75°，故答案为75°．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，灵活运用三角形的内角和定理求解角的度数是解题的关键．17．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为3或厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，6＝8﹣3t，解得t＝，∴BP＝CQ＝2，此时，点Q的运动速度为2÷＝3厘米/秒；②当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴点Q的运动速度为6÷＝厘米/秒；故答案为：3或．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．18．（3分）用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角∠BCD＝144°．【分析】根据多边的内角和定理，求出内角和，进而求出另一个内角的度数．【解答】解：如图，5个筝形组成一个正10边形，所以，∠BCD＝（10﹣2）×180°÷10＝8×18°＝144°．故答案为：144．【点评】此题不仅考查了镶嵌的定义，还考查了正多边形的内角和定理，充分利用各图形的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共有8小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）（1）计算：；（2）求x的值：4x2﹣9＝0．【分析】（1）化简有理数的乘方，立方根，绝对值，然后再计算；（2）利用平方根的概念解方程．【解答】解：（1）原式＝﹣1++3+2﹣＝4；（2）4x2﹣9＝0，4x2＝9，x2＝，x＝±．【点评】本题考查实数的混合运算，理解平方根，算术平方根以及立方根的概念，准确化简各数是解题关键．20．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．（1）求AB、AC的长；（2）求BC边的取值范围．【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．（2）根据三角形三边关系解答即可．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝1，即AB﹣AC＝2①，又AB+AC＝11②，①+②得．2AB＝12，解得AB＝6，②﹣①得，2AC＝10，解得AC＝5，∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝5；（2）∵AB＝6，AC＝5，∴1＜BC＜11．【点评】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键．21．（8分）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长．（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的底角的度数．【分析】（1）根据三角形中线的定义可得AD＝CD＝AC，再设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，然后分两种情况：①，②，分别进行计算即可解答；（2）分两种情况：当∠A＜90°时，当∠A＞90°时，然后利用直角三角形和等腰三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD＝AC，∵AB＝AC，∴设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，分两种情况：①，解得：，∴AB＝AC＝2x＝8，∴这个等腰三角形的腰长为8，底边长为2，②，解得：，∴AB＝AC＝2x＝4，∵4+4＝8＜10，∴不能组成三角形；综上所述：这个等腰三角形的腰长为8，底边长为2；（2）分两种情况：当∠A＜90°时，如图：∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD＝50°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，∴这个等腰三角形的底角的度数为70°；当∠A＞90°时，如图：∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD＝50°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝140°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠DAB）＝20°，∴这个等腰三角形的底角的度数为20°；综上所述：这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．22．（8分）如图在平面直角坐标系中，已知△ABO的顶点坐标分别是A（3，3），B（﹣2，2），O（0，0）．（1）画出△AOB关于y轴对称的△COD，其中点A的对应点是点C，点B的对应点是点D，并请直接写出点C的坐标为（﹣3，3），点D的坐标为（2，2）；（2）请直接写出△COD的面积是6；（3）已知点E到两坐标轴距离相等，若S△AOB＝3S△BOE，则请直接写出点E的坐标为（﹣1，﹣1）或（1，1）．【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点的坐标；（2）利用三角形面积公式求解；（3）根据三角形面积公式和坐标特点解答即可．【解答】解：（1）如图所示：点C的坐标为（﹣3，3），点D的坐标为（2，2）；故答案为：（﹣3，3）；（2，2）；（2）△COD的面积＝，故答案为：6；（3）∵S△AOB＝3S△BOE，∴3S△BOE＝2，∴点E坐标为（﹣1，﹣1）或（1，1）．故答案为：（﹣1，﹣1）或（1，1）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．23．（9分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；（3）求∠FAE的度数．【分析】（1）由“SAS“可证△ABC≌△ADE；（2）由全等三角形的性质可得S△ABC＝S△ADE，由面积关系可求解；（3）由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可得∠CAF＝∠FCA＝45°，即可求解．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）∵△ABC≌△ADE，∴S△ABC＝S△ADE，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE，∵AC＝AE＝10，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×10×10＝50；（3）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，∵△ABC≌△ADE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CAF＝∠FCA＝45°，∴∠FAE＝135°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．24．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝35°，∠DEC＝105°；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变小．（填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【分析】（1）由平角的定义和三角形外角的性质可求∠EDC，∠DEC的度数，由三角形内角和定理可判断∠BDA的变化；（2）当DC＝2时，由“ASA”可证△ABD≌△DCE；（3）分AD＝DE，DE＝AE两种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求∠BDA的度数．【解答】解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝105°，∴∠EDC＝180°﹣105°﹣40°＝35°，∵∠AED＝∠EDC+∠ACB＝35°+40°＝75°，∴∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣75°＝105°，∵∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝140°﹣∠BAD，∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大，∴∠BDA逐渐变小，故答案为：35；105；小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）若AD＝DE时，∵AD＝DE，∠ADE＝40°，∴∠DEA＝∠DAE＝70°，∵∠DEA＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝30°，∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，若AE＝DE时，∵AE＝DE，∠ADE＝40°，∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∵∠DEA＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．25．（10分）如图，已知等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D．点M、N在斜边BC上，AN⊥BD于点F，AM交BD于点E，且满足∠MAN＝45°，过点C作CP垂直AN的延长线于点P．（1）求证：△ADE是等腰三角形；（2）若AD＝3，求AB的长；（3）试探究AM与PC的数量关系，并说明理由．【分析】（1）通过计算，求得∠EAD＝∠ADE＝67.5°，从而命题得证；（2）作DH⊥BC于H，求得DH＝AD＝3，进而求得CD，从而求得AC，进而确定AB的值；（3）根据角的计算，求得∠AMN＝∠ANM＝67.5°，进而得出AM＝AN，进而证明△ABF≌△NBF及△ACP≌△BAF，进一步可求得结果．【解答】（1）证明：如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BD平分∠BAC，∴∠ABD＝∠DBC＝＝22.5°，∴∠ADB＝90°﹣∠ABD＝67.5°，∵AF⊥BD，∴∠AFD＝90°，∴∠FAD＝90°﹣∠ADB＝22.5°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAD＝∠FAD+∠MAN＝67.5°，∴∠EAD＝∠ADB，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形；（2）解：如图2，作DH⊥BC于H，∵BD平分∠ABC，∠CAB＝90°，∴DH＝AD＝3，∵∠ACB＝45°，∴CD＝＝3，∴AC＝AD+CD＝3+3，∴AB＝AC＝3+3；（3）解：如图3，AM＝2PC，理由如下：由（1）知：∠EAD＝6