2022年北京首师大附中八年级数学第一学期期末达标测试试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°2．某工程队在城区内铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设12米，结果延期20天完成B．每天比原计划少铺设12米，结果延期20天完成C．每天比原计划多铺设12米，结果提前20天完成D．每天比原计划少铺设12米，结果提前20天完成3．如图比较大小，已知OA＝OB，数轴点A所表示的数为a（）﹣．A．＞ B．＜ C．≥ D．＝4．如果把分式中的x与y都扩大2倍，那么这个分式的值（）A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．扩大6倍5．下列一次函数中，y的值随着x值的增大而减小的是()．A．y＝x B．y＝－x C．y＝x＋1 D．y＝x－16．已知，那么的值为（）A．2018 B．2019 C．2020 D．1．7．如图，已知∠ACB＝∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠ABC＝∠DCB B．∠ABD＝∠DCAC．AC＝DB D．AB＝DC8．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（﹣a，b） B．（﹣a，﹣b） C．（a，﹣b） D．（a，b）9．是关于x，y的方程组的解，则(a＋b)(a－b)的值为()A．－ B． C．16 D．－1610．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为()A．40° B．35° C．60° D．70°二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，将长方形沿对角线折叠，得到如图所示的图形，点的对应点是点，与交于点.若，，则的长是_____．12．春节期间，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四种礼品套餐组合：甲套餐每袋装有15个A礼盒，10个B礼盒，10个C礼盒；乙套餐每袋装有5个A礼盒，7个B礼盒，6个C礼盒；丙套餐每袋装有7个A礼盒，8个B礼盒，9个C礼盒；丁套餐每袋装有3个A礼盒，4个B礼盒，4个C礼盒，若一个甲套餐售价1800元，利润率为，一个乙和一个丙套餐一共成本和为1830元，且一个A礼盒的利润率为，问一个丁套餐的利润率为______利润率13．已知点分别为四边形的边的中点，，且与不垂直，则四边形的形状是__________．14．分解因式：2a3﹣8a=________．15．中，，，，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点处，折痕交另一直角边于点，交斜边于点，则的周长为__________.16．已知直线l1：y=x+6与y轴交于点B，直线l2：y=kx+6与x轴交于点A，且直线l1与直线l2相交所形成的角中，其中一个角的度数是75°，则线段AB的长为______．17．跳远运动员李阳对训练效果进行测试．6次跳远的成绩如下：7.5，7.7，7.6，7.7，7.9，7.8（单位：m）这六次成绩的平均数为7.7m，方差为．如果李阳再跳一次，成绩为7.7m．则李阳这7次跳远成绩的方差_____（填“变大”、“不变”或“变小”）．18．我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉______________根木条.（用表示，为大于3的整数）三、解答题(共66分)19．（10分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）+5xy]÷y，其中x＝﹣2，y＝1．20．（6分）已知函数y＝，且当x＝1时y＝2；请对该函数及其图象进行如下探究：（1）根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为；（2）根据解折式，求出如表的m，n的值；x…﹣101234567…y…32.521.50mn2.53…m＝，n＝．（3）根据表中数据．在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出函数图象；（4）写出函数图象一条性质；（5）请根据函数图象写出当＞x+1时，x的取值范围．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，、、（1）描点画出这个三角形（2）计算出这个三角形的面积．22．（8分）如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=65°,求∠2的度数.23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．24．（8分）如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BD和CE相交于O点.（1）试说明△OBC是等腰三角形；（2）连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由.25．（10分）在中，，点，点在上，连接，．(1)如图，若，，，求的度数；(2)若，，直接写出(用的式子表示)26．（10分）解分式方程：（1）(2)

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】试题解析：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C．2、C【分析】由给定的分式方程，可找出缺失的条件为：每天比原计划多铺设12米，结果提前20天完成．此题得解．【详解】解：∵利用工作时间列出方程：，∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设12米，结果提前20天完成．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解题的关键．3、A【分析】由勾股定理求出OB＝，即可确定A点表示的数为，比较和的大小即可求解．【详解】解：由勾股定理可求OB＝，∵OA＝OB，∴OA＝，∴A点表示的数为，∵，故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理和实数的大小比较，掌握勾股定理和实数的大小比较方法是解题的关键．4、B【分析】根据分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案．【详解】分式中的x与y都扩大2倍，得，

故选：B．【点睛】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变．5、B【分析】根据一次函数的性质依次分析各项即可．【详解】解：A、C、D中，y的值随着x值的增大而增大，不符合题意；B、，y的值随着x值的增大而减小，本选项符合题意．故选B．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：当时，y的值随着x值的增大而增大；当时，y的值随着x值的增大而减小．6、B【分析】将进行因式分解为，因为左右两边相等，故可以求出x得值．【详解】解：∴∴x=2019故选：B．【点睛】本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键．7、D【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】A、∵在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB（ASA），故本选项不符合题意；B、∵∠ABD＝∠DCA，∠DBC＝∠ACB，∴∠ABD+∠DBC＝∠ACD+∠ACB，即∠ABC＝∠DCB，∵在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB（ASA），故本选项不符合题意；C、∵在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB（SAS），故本选项不符合题意；D、根据∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，AB＝DC不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．8、A【分析】观察图形，可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况，确定变换后点A所在的象限，即可求解．【详解】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2019÷4＝504余3，∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣a，b）．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，认真读题找出每四次对称为一个循环组来解题是本题的关键．9、D【解析】把代入方程组，得到关于的方程组，即可求解.【详解】把代入方程组，得：，解得：故选：D.【点睛】考查二元一次方程的解法，常用的解法有：代入消元法和加减消元法.10、B【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC=∠B'AC，∠DAE=∠B'AE，即可得出∠CAE=∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB=∠ACB'=90°-∠BAD．【详解】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB=AB'，∴∠BAC=∠B'AC，∵AB=AD，∴AD=AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE=∠B'AE，∴∠CAE=∠BAD=55°，又∵∠AEC=90°，∴∠ACB=∠ACB'=35°，故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∵折叠，∴∠ACE=∠ACB，∴∠EAC=∠ACE，∴AE=CE，在Rt△DEC中，，设AE=x，∴，，故答案为：.【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质的运用，平行线的性质的运用，等腰三角形的判定的运用，解答时灵活运用折叠的性质求解是关键．12、【分析】先由甲套餐售价1800元，利润率为，可求出甲套餐的成本之和为1500元设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，则由题意得，可同时消去y和z，得到，再根据一个A礼盒的利润率为，可求出一个A礼盒的售价为50元，进而可得出一个B礼盒与一个C礼盒的售价之和，再由利润率公式求出一个丁套餐的利润率．【详解】设甲套餐的成本之和m元，则由题意得，解得元．设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，由题意得，同时消去字母y和z，可得所以A礼盒的利润率为，可得其利润元，因此一个A礼盒的售价元．设一个B礼盒的售价为a元，一个C礼盒的售价为b元，则可得，整理得元所以一个丁套餐的售价元一个丁套餐的成本元因此一个丁套餐的利润率故答案为【点睛】本题考查了方程组的应用以及有理数的混合运算，根据运算规律，找出关于x的方程组是解题的关键．13、菱形【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．【详解】如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，

∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，

根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，

又∵AC=BD，

∴EH=FG=EF=HG，

∴四边形EFGH是菱形．

故答案为：菱形．【点睛】此题考查三角形中位线定理和菱形的判定，解题关键在于掌握判定定理.14、2a（a+2）（a﹣2）【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，．15、20cm或22cm【分析】根据轴对称的性质：折叠前后图形的形状和大小不变分折叠∠A和∠B两种情况求解即可．【详解】当∠B翻折时，B点与D点重合，DE与EC的和就是BC的长，即DE+EC=16cm，CD=AC=6cm，故△CDE的周长为16+6=22cm；当∠A翻折时，A点与D点重合．同理可得DE+EC=AC=12cm，CD=BC=8cm，故△CDE的周长为12+8=20cm．故答案为20cm或22cm．【点睛】本题考查图形的翻折变换．解题时应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称.16、12或4【分析】令直线y=x+6与x轴交于点C，令y=x+6中x=0，则y=6，得到B（0，6）；令y=kx+6中y=0，则x=-6，求得C（-6，0），求得∠BCO=45°，如图1所示，当α=∠BCO+∠BAO=75°，如图2所示，当α=∠CBO+∠ABO=75°，解直角三角形即可得到结论．【详解】令直线y=x+6与x轴交于点C，令y=x+6中x=0，则y=6，∴B（0，6）；令y=kx+6中y=0，则x=-6，∴C（-6，0），∴∠BCO=45°，如图1所示，∵α=∠BCO+∠BAO=75°，∴∠BAO=30°，∴AB=2OB=12，如图2所示，∵α=∠CBO+∠ABO=75°，∴∠ABO=30°，∴AB=OB=4，故答案为：12或4．【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题，一次函数图象上点的坐标特征以及特殊角的三角函数值，解题的关键是求出∠BAO=30°或∠ABO=30°．17、变小【分析】根据平均数的求法先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，然后进行比较即可求出答案．【详解】解：∵李阳再跳一次，成绩为7.7m，∴这组数据的平均数是＝7.7，∴这7次跳远成绩的方差是：S2＝[（7.5﹣7.7）2+（7.6﹣7.7）2+3×（7.7﹣7.7）2+（7.8﹣7.7）2+（7.9﹣7.7）2]＝，∴方差变小；故答案为：变小．【点睛】本题主要考查平均数和方差，掌握平均数和方差的求法是解题的关键．18、n-3【分析】根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数．【详解】过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形，

所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n-3）根木条固定．

故答案为：（n-3）．【点睛】考查了三角形的稳定性以及多边形的对角线的问题，解题关键是将问题转换成把多边形分成三角形的问题．三、解答题(共66分)19、5y+x，2．【分析】原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝＝＝，当时，原式＝【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是利用完全平方公式，平方差公式正确化简原式．20、（1）y＝；（2），2；（3）见解析；（4）当x＜3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大；（5）x＜1．【分析】（1）把x＝1，y＝2代入y＝，即可得到结论；（2）求当x＝4时，当x＝5时的函数值即可得到结论；（3）根据题意画出函数的图象即可；（4）根据函数的图象即可得到结论；（5）根据函数的图象即可得到结论．【详解】解：（1）把x＝1，y＝2代入y＝得：2＝，解得：k＝2，∴函数的解析式为：，故答案为：y＝；（2）当x＝4时，m＝＝，当x＝5时，n＝＝2；故答案为：，2；（3）如图所示；描点并作图，同时在同一坐标系内画的图像，（4）当x＜3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大；故答案为：当x＜3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大；（5）由图象知，当＞x+1时，x＜1．【点睛】本题考查的是画函数的图像，以及根据图像确定函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．21、（1）见详解；（2）．【分析】（1）在平面直角坐标系中找到相应的A,B,C点，然后顺次连接A,B,C即可画出这个三角形；（2）直接利用三角形的面积公式即可得出答案．【详解】（1）如图（2）【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中描点画三角形及三角形的面积，掌握三角形的面积公式及点在平面直角坐标系中的位置是解题的关键．22、50°.【详解】试题分析：由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论．解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠1=65°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=130°，∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°，∴∠2=∠BDC=50°．【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点，解此题的关键是求出∠ABD的度数，题目较好，难度不大．23、(1)OA=6，OB=3；(2)S＝|6﹣t|(t≥0)；(3)t＝3或1．【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性质即可求得m、n的值，即可解题；（2）连接PB，t秒后，可求得OP＝6﹣t，即可求得S的值；（3）作出图形，易证∠OBA＝∠OPE，只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，分两种情形求得t的值，即可解题．【详解】(1)∵|m﹣n﹣3|+＝0，且|m﹣n﹣3|≥0，≥0∴|m﹣n﹣3|＝＝0，∴n＝3，m＝6，∴点A(0，6)，点B(3，0)；(2)连接PB，t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，∴S＝OP•OB＝|6﹣t|；(t≥0)(3)作出图形，∵∠OAB+∠OBA＝10°，∠OAB+∠APD＝10°，∠OPE＝∠APD，∴∠OBA＝∠OPE，∴只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝1∴t＝3或1．【点睛】本题考查了算术平方根及绝对值非负性的性质，全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△EOP≌△AOB是解题的关键．24、（1）详见解析；（2）直线AO垂直平分BC【分析】（1）根据对边对等角得到∠ABC=∠ACB，再结合角平分线的定义得到∠OBC=∠OCB，从而证明OB=OC；（2）首先根据全等三角形的判定和性质得到OA平分∠BAC，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直线AO垂直平分BC．【详解】（1）∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠BCA，∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE，∴∠OBC=∠BCO，∴OB=OC，∴△OBC为等腰三角形；（2）在△AOB与△AOC中，∵，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠BAO=∠CAO，∴直线AO垂直平分BC．（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合