系统工程第06讲

系统工程(C类)

上海交通大学宋元斌第四章系系统模模型化第一节系系统模模型化概概述第二节系系统结结构的模模型化第二节系统结构构的模型型化任何系统统都是由由两个以以上的有有机联系系、相互互作用的的要素组组成的。。结构：组组成系统统诸要素素之间相相互关联联的方式式，结构是决决定系统统功能的的最本质质的因素素。（石石墨与金金刚石的的差别就就在结构构方面））大规模复复杂系统统要素众众多、层层次丰富富、结构构复杂系统结构构模型化化通常是是对大规规模复杂杂系统进进行数学学建模和和定量分分析的基基础。在对大规规模复杂杂系统建建模的步步骤中通通常包括括一项重重要任务务“确定模型型结构”。先要建立立系统结结构的模模型，进进行系统统的结构构分析，，以求得得对问题题本质的的全面认认识，然然后建立立数学模模型，进进行定量量分析。。构造模型型的步骤骤明确目的的和要求求进行一般般语言描描述抓住主要要变量及及关系确定模型型结构估计模型型参数进行实验验研究是否与现现实相符符？结束修正模型型系统结构构模型结构模型型：定性表示系统统要素及及要素间间的关联情况结构模型型突出表表现系统要素素之间的的相互作作用的性性质。结构分析析：建立系统统结构模模型分析系统统的结构构解释（经经过分析析后的））结构模模型系统结构构分析的的重要意意义系统结构构分析是是模型化化过程中中的一项项重要内内容。对系统结结构的正正确认识识与描述述是数学学模型和和定量分分析所无无法取代代的。回忆上堂堂课讲的的逻辑模模型系统结构构的基本本表达方方式集合有向图矩阵某系统，已经发现有7个要素，分别标记为S1，…,S7。各要素之间的影响关系：S2影响S1，S3影响S4，S4影响S5，S7影响S2，S4和S6互相影响。问题：S1能否否间接影影响S6？系统结构构的集合合表达系统中的的要素系统由n（（n≥≥2））个要素素((S1,,S2,…,,Sn）所所组成，，其集合合为S，，可表述述为：S=S{S1,S2,…,,Sn}}要素之间间的关系系（二元元关系**）要素之间间的关联联方式可可以用S上的二二元关系系集合Rb表示。Rb是满足某某种二元元关系R的所有有要素对对（Si，Sj）的集合合。其中中，Si，Sj都属于S集合。。二元关系系二元关系系：存在在于两个个要素Si和Sj之间的关关系Rij常见的二二元关系系有因果果关系、、包含关关系、隶隶属关系系、影响响关系、、比较关关系二元关系系是结构构分析中中所研究究的系统统要素之之间的基基本关系系，一般般有如下下三种情情形：SiRSj：Si和Sj之间存在在某种二二元关系系RSiRSj：Si和Sj之间不存存在某种种二元关关系RSiRSj：Si和Sj之间的二二元关系系R不明明确-~二元关系系二元关系系的传递递性通常情况况下二元元关系具具有传递递性有SiRSj和SjRSk，则有SiRSk反映两个个要素的的间接联联系，记记作Rt（t为传传递次数数）,如如SiR2Sk注意：有有些二元元关系不不具有传传递性，，如相交交关系，，A与B相交，，B与C相交，，不能退退出A与与C相交交。强连接关关系相互关联联的二元元关系，，如有有SiRSj同时有SjRSi具有强连连接关系系的各要要素之间间存在替替换性。。系统结构构的集合合表达该系统的的基本结结构可表表示为：：要素集合合S={{S1，，S2，S3，，S4，，S5，S6，，S7}}二元关系系集合Rb=={（（S2，S1）），（（S3，S4）），（S4，S5）），（（S7，S2）），（S4，S6）），（（S6，S4））}某系统，已经发现有7个要素，分别标记为S1，…,S7。各要素之间的影响关系：S2影响S1，S3影响S4，S4影响S5，S7影响S2，S4和S6互相影响。系统结构构的有向向图表示示节点表示示系统构构成要素素有向弧表表示要素素之间的的二元关关系通路长度度：节点点i(Si)节点j(Sj)间的最最少有向向弧数，，Si和Sj之间二元元关系的的（最少少）传递递次数。。回路：从从某节点点出发，，沿着有有向弧通通过其他他节点各各一次可可回到该该节点时时，形成成回路。。呈强连接接关系的的要素节节点间存存在双向向回路。。5162374系统结构构的矩阵阵表示邻接矩阵阵（A））：要素间直直接联系系，未表表示间接接联系5162374如果有一一列（如如第j列列）元素素全为0，则Sj要素为系系统输入入要素，，因为该该要素节节点没有有入箭头头。如S3和S7如果有一一行（如如第i列列）元素素全为0，则Si要素为系系统输出出要素，，因为该该要素节节点没有有出箭头头。如S1和S5系统结构构的三种种描述方方式比较较S＝{S1,S2,,S3,S4,S5,,S6,S7}Rb={(S2,S1),,(S3,S4),((S4,,S5)),(S4,S6),,(S6,S4),((S7,,S2))}集合S1S2S3S4S5S6S7有向图0000000100000000010000000110000000000010000100000邻接矩阵阵S1S2S3S4S5S6S7S1S2S3S4S5S6S7Rb中联系元元素数目目有向弧数数目矩阵中““1”的数目系统结构构的矩阵阵表示可达矩阵阵（M））使用矩阵阵形式表表示有向向图中各各个节点点之间通通过任意意长的路路径可以以到达（（即间接接影响））的情情况。或者说，，是系统统要素之之间任意意次传递递的二元元关系若M=（mij）nxn，且在无回路条件下的的最大路路长或传传递次数数为t，0==<t<<=r,,r为最长路径径（传递递次数））：当t=0时时，表示示Si自身到达达（反射射性二元元关系））,M=I当t=1时时，表示示基本的的二元关关系，M=A当t>=2时，表表示传递递的二元元关系可达矩阵阵可达矩阵阵求解：：可以用邻邻接矩阵阵A加上上单位矩矩阵I，，再经过过若干次次自乘运运算求得得。M=((A++I))r最大传递递次数按按下式确确定(A++I))1≠(A++I))2≠(A++I))3≠…≠≠(A+I))r-1≠(A+I))r=(A+I))r+1=…==((A++I))n系统结构构的有向向图表示示系统结构构的有向向图表示示C）可达达矩阵系统结构构的有向向图表示示(A++I))3就是反映映总体通通达(传传递)关关系的可可达矩阵阵最大路径径长度（（传递次次数）r=3.区域划分分5162374延续前例例：进行行可达矩矩阵计算算(A+I)2=(A+I))3解释结构构模型解释结构构模型（（InterpretativeStructuralModeling，，ISM））技术是是美国J·N··沃菲尔尔德教授授于1973年年作为分分析复杂杂的社会会经济系系统结构构问题的的一种方方法而开开发的。。基本思想想：通过各种种创造性性技术，，提取问问题的构构成要素素，利用有向向图、矩矩阵等工工具和计计算机技技术，对对要素及及其相互互关系等等信息进进行处理理，明确问题题的层次次和整体体结构，，最后用文文字加以以解释说说明。解释结构构模型应用ISM可以以提高分分析员对对问题的的认识和和理解程程度。该技术广广泛适用用于认识识和处理理各类系系统的结结构分析析问题不需高深深的数学学知识模型直观观且有启启发性各种背景景人员可可参加ISM工工作原理理意识模型型要素及要素关系系可达矩阵阵区域划分分级位划分分解释结构构模型有向图邻接矩阵阵多级递阶有向图提取骨架架矩阵优势：可可以求出出利用其其他方法法无法找找出的间间接联系系。这些些间接联联系对研研究系统统的整体体特性具具有重要要意义。。修正？递阶结构构模型分析报告告YesNo如何划分分区域（1）将将与要素素Si（i==1，，2，……，n））相关联联的所有有要素划划分成两类集合合：可达集R（Si）：由Si可可到达的的诸要素素所构成成的集合合先行集A（Si）：可到达Si的诸诸要素所所构成的的集合如何划分分区域（2）求求共同集集C(Si)：Si的可可达集和和先行集集的交集集。SiR((Si)A(Si))R(Si))∩A((Si)111,,2,7121,22,,7233，4，5，，63344，5，63,4，64，6553，，4，5，6564，5，63，4，64，671，2，777可达集、、先行集集、共同同集的关关系区域划分分的集合合Si本身一定定在C((Si)中与Si强连接的的要素一一定在C(Si)中区域划分分的集合合可达集R（Si）由Si可到达的的诸要素素所构成成的集合合，R（Si）：R（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，j=1，2，…，n}}i=1，2，…，n先行集A（Si）可到达Si的诸要素素所构成成的集合合，A（Si）：A（Si）={Sj|Sj∈S，mji=1，j=1，2，…，n}}i=1，2，…，n共同集C（Si）是Si的可达集集和先行行集的交交集，C（Si）：C（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n区域划分分起始集在S中只影响响（到达达）其他他要素而而不受其其他要素素影响（（不被其其他要素素到达））的要素素所构成成的集合合，记为为B（S）：B（S）={Si|Si∈S，C（Si）=A（Si），i=1，2，…，n}}当Si为起始集集要素时时，A（Si）=C（Si）

区域划分分终止集在S中只被其其他要素素到达影影响（到到达）的的要素所所构成的的集合，，记为E（S）：E（S）={Si|Si∈S，C（Si）=R（Si），i=1，2，…，n}}当Si为起始集集要素时时，R（Si）=C（Si）区域划分分判断系统统要素集集合S是否可分分割（是是否相对对独立））只需判断断起始集集B（S）中的要要素及其其可达集集能否分分割，例例如B(S))={S1，S3}R（S1）={S2，S4，S5}R（S1）={S5，S6，S7}或者，只只需判断断终止集集E（S）中的要要素及其其先行集集要素能能否分割割区域划分分的结果果可记为为：∏（S）=P1，P2，…，Pk，…，Pm（其中Pk为第k个相对独独立区域域的要素素集合））。不可分割割区域划分分利用起始始集B（S）判断区区域能否否划分在B（S）中任取取两个要要素bu、bv：如果R（bu）∩R（bv）≠ψ（ψ表示空集），，则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要要素属同同一区域域。若对对所有u和v均有此结结果（均均不为空空集），，则区域域不可分分。如果R（bu）∩R（bv）=ψ，则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要要素不属属同一区区域，系系统要素素集合S至少可被被划分为为两个相相对独立立的区域域。利用终止止集E（S）来判断断区域能能否划分分只要判定定“A（eu）∩A（ev）”（（eu、ev为E（S）中的任任意两个个要素））是否为为空集即即可。区域划分分可达集、、先行集集、共同同集和起起始集例例表SiR（Si）A（Si）C（Si）B（S）123456711，23，4，5，64，5，654，5，61，2，71，2，72，733，4，63，4，5，63，4，671234，654，6737延续前例例：进行行区域划划分先列Si的可达集集R（Si）、先先行集A（Si）、共共同集C（Si），再找出起起始集B（S）（类似似地，可可以找出出E（S））OO34561273456127M（P）=P1P21.区域域划分（（7）因为B（S）={S3，S7},,且有R（S3）∩R（S7）={S3，S4，S5，S6}∩∩{S1，S2，S7}==ψ（空集）），所以两个可达达集分属属两个相相对独立立的区域域，即有有：∏（S）=P1，P2=={S3，S4，S5，S6},,{{S1，S2，S7}。这时的可可达矩阵阵M变为如下下的块对角矩矩阵，记为为M（P）：úúúúúúúúúûùêêêêêêêêêëé1110110011110010011101111级位划分分在某个区区域内进进行级位位划分，，即确定定某区域域内各要要素所处处层次地地位的过过程。也也有教材材称为““层级划分分”。建立多级级递阶结结构模型型的关键键工作。。设P是由由区域划划分得到到的某区区域要素素集合，，若用Li表示示从高到到低的各各级要素素集合，，则级位位划分的的结果：：∏（P））=L1，L2，…，LI（其中l为最大大级位数数）最高级位位的要素素即该系系统的终终止集要要素。级位划分分级位划分分的基本本做法是是：找出整个个系统要要素集合合的最高高级要素素（终止止集要素素）后，，可将它它们去掉掉，再求剩余余要素集集合（形形成部分分图）的的最高级级要素，，依次类推推，直到到确定出出最低一一级要素素集合（（即Li）。令LO=ψ（最高级级要素集集合为L1，没有零零级要素素），则则有：L1={Si|Si∈P-L0，C0（Si）=R0（Si），i=1，2，…，n}L2={Si|Si∈P-L0-L1，C1（Si）=R1（Si），i<n}Lk={Si|Si∈P-L0-L1-…-Lk-1，Ck-1（Si）=Rk-1（Si），i<n}式中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集集合P-L0-L1-…-Lk-1中的要素素形成的的子矩阵阵（子图图）求得得的共同同集和可可达集。。级位划分分级位划分分要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）=R（S）∏（P1）P1-L034563，4，5，64，5，654，5，633，4，63，4，5，63，4，634，654，6√L1={S5}P1-L0-L13463，4，64，64，633，4，63，4，634，64，6√√L2={S4，S6}P1-L0-L1-L23333√L3={S3}如对前例例中P1={S3，S4，S5，S6}进行级位位划分级位划分分54631275463127M（L）=L1L2L3L1L2L300对P1={{S3，S4，S5，S6}进行级位位划分的的结果为为：∏（P1）=L1，L2，L3={S5}，{S4，S6}，{S3}对P2={S1，S2，S7}进行级位位划分的的结果为为：∏（P2）=L1，L2，L3={S1}，{S2}，{S7}这时的可可达矩阵阵为M（L）为区域块三三角矩阵阵，如下：为什么不不是三角角阵？提取骨架架矩阵骨架矩阵阵：也即即为M（（L）的的最小实实现矩阵阵。提取骨架架矩阵A’的的三个步步骤:1.去去掉各层层次中的的强连接接要素，，得到缩缩减矩阵阵M’（（L）2.去去掉M’’（L））中要素素间的越越级二元元关系，，得到进进一步简简化的矩矩阵M’’’（L）3.进进一步去去掉M’’’（L）中自自身到达达的二元元关系，，得到骨骨架矩阵阵A’（（具有最最少的二二元关系系个数））。提取骨架架矩阵543127543127M’（L）=L1L2L3L1L2L300如对原例例M（L）中的强强连接要要素集合合{S4，S6}作缩减处处理把S4作为代表表要素，，去掉S6。提取骨架架矩阵

543127543127M’’（L）=L1L2L3L1L2L300如M’（L）中，去去掉第三三级要素素到第一一级要素素的超级级二元关关系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即将M’（L）中3→5和7→1的“1”改为“0”，得M’’（L）：提取骨架架矩阵543127543127A’=M’’’（L）-I=L1L2L3L1L2L300将M’’（L）主对角角线上的的“1”全变为““0”，得到骨骨架矩阵阵A’。绘制多级级递阶有有向图根据骨架架矩阵A’，绘绘制出多多级递阶阶有向图图：1.分分区域从从上到下下逐级排排列系统统构成要要素。（（终止集集放在最最上面））2.同同级加入入被删除除的与某某要素有有强连接接关系的的要素（（如例中中的S6），及表表征它们们相互关关系的有有向弧。。按A’所所示的邻邻接二元元关系，，用级间间有向弧弧连接成成有向图图。S1S2S7S3S4S5S6第1级第2级第3级结束多级递阶有向向图以可达矩矩阵M为基础，，以矩阵阵变换为为主线的的递阶结结构模型型的建立立过程：：递阶结构构模型建建立过程程区域划分级位划分强连接要素缩减剔除超级关系去掉自身关系绘图（块对角阵）（区域块三角阵）（区域下三角阵）M→M（P）→M（L）→M’（L）→M’’（L)→A’→D（A’）根据问题题的背景景，将递递阶有向向图转化化为解释释结构模模型（用用文字加加以解释释）解释结构构模型的的应用例子;现现在在以讨论论人口控控制综合合策略问问题为例例，介绍绍在应用用ISM时，如如何根据据人们的的经验和和对话过过程，直直接求得得可达短短阵，并并据此建建立解释释结构模模型。人口控制制综合策策略问题题的讨论论是这样样提出的的。改革革开放以以来，由由于社会会保障与与保健制制度的完完善，人人民健康康水平有有了很大大提高，，使得人人们的平平均寿命命也有了了提高，，这样，，死亡率率就相应应地降低低了。同时，由由于国民民收入的的不断增增长，生生活水平平的不断断提高等等，导致致生育率率有所提提高。因因此，种种种因素素导致了了我国人人口的迅迅速增加加。众所所周知，，人口的的过分增增长带来来的影响响是不利利的。为为此．专专门成立立了由各各方面有有关人员员参加的的研究小小组对人人口的综综合控制制问题进进行分析析研究。。小组成成员经过过讨论分分析后，，决定应应用ISM分析析和确定定影响我我国总人人口增长长的因素素，并据据此制定定有关政政策。影响人口口增长的的因素很很多，经经过小组组成员讨讨论，提提出了以以下的主主要因素素：(1)期期望寿命命S1((7)环环境污染染程度S7(2)医医疗保健健水平S2((8))国民收收入S8(3)国国民生育育能力S3((9))国民素素质S9(4)计计划生育育政策S4((10)出生生率S10(5)国国民思想想风俗S5((11)死亡亡率S11(6)食食物营养养S6((12))总人口口S12这些影响响人口增增长的因因素可以以通过小小组成员员的经验验进行分分析析，并经经过多次次小组讨讨论，以以确定它它们之间间的关系系。VVAAAAS1VVVS2VVAAS3VVAAXS4VVAAS5VVVS6VVS7VVVS8VVS9VS10VS11S12其中：V表示方方格图中中的行((或上位位)要素素直接影影响到列列(或下下位)要要素；A表示列列要素对对行要素素有直接接影响；；X表示行行列两要要素相互互影响((称之为为强连接接关系))。（1）根根据人口口增长因因素的相相互影响响关系，，可得到到邻接矩矩阵，按按S1，，S2，……，S12的的顺序安安排影响响关系的的取值（2）根根据邻接接矩阵求求可达矩矩阵区域划分分略（3）级级位划分分SiR(Si))A(Si))R(Si))∩A((Si)11,11,121,2,6,,7,8121,2,,3,11,122233，10，122,,3,6,8344,5,,10,,124,,5,8,94,554,5,,10,,124,,5,8,94,,561,3,,6,10,11,126671,7,,11,,127781,3,,4,5,8,,10,,11,,128894,5，，9,10,12991010,123,4,5,,6,8,9,,10101111,121,2,6,,7,8,111112121,2,,3,4,5,,6,7,8,,9,10,11,1212S12为为第1级要素素级位划分分SiR(Si))A(Si))R((Si))∩A(Si)11,111,2,6,,7,8121,2,,3,112233，102,3,,6,8344,5,,104,5,8,,94,554,5,,104,5,8,,94,561,3,,6,10,116671,7,,117781,3,,4,5,8,,10,,118894,5，，9,109910103,4,5,,6,8,9,,1010111,,2,6,7,,8,1111S10，S11为第2级要素素级位划分分SiR(Si))A(Si)R(Si))∩A((Si))111,2,6,,7,8121,2,,322332,3,6,,8344,54,5,,8,94,554,54,5,,8,94,561,3,,66671,77781,3,,4,5,88894,5，，999S1，，S3，，S4，S5为为第3级级要素级位划分分SiR((Si))A(Si))R((Si))∩A(Si)2222666