委托代理模型

委托代理理论模型一、 引言委托代理问题是指委托人希望代理人可以按照自身(委托人)的利益选择行动，但是委托人又不能观测到代理人的整个行动，只能通过观测一些相关变量来推断代理人的行动，从而制定出相应的奖惩措施，该理论模型就是在解决信息对称下的最优风险分担及激励成本之后，由Holmstrom和Milgrom于1987年提出，以下将会对此模型做一简要介绍。二、 模型介绍假设一、a是一维努力变量，产出函数兀二a+0,其中E(9)=0,D(0)=◎2,0作为正态随机变量，代表外生的影响因素。由此可以推出期望E(兀)=E(a+0)=a，方差VAR(k)=VAR(a+0)=◎2；假设二、委托人是风险中性的，代理人是风险规避的，根据微观经济学中的知识，风险中性的效用函数曲线是条向右上方倾斜的直线，风险规避者的效用曲线是向上凸的曲线，并且一阶导数大于0，二阶导数小于0。假设三、线性代理合同S(兀)=a+卩兀，其中a是代理人的固定收入，与k无关；0是代理人可以分享的产出份额的比例；若0=0，说明代理人不用承担风险，0=1说明代理人承担全部风险。在以上的假设条件下，委托人作为风险中性者，其期望效用等于期望收入，即Ev(k—s(k))=E((1—0)k—a)=—a+a(1—0) 假设四、代理人具有绝对风险规避者，效用函数u=—e-Pv，其中p是绝对风险规避度量，v是实际货币收入。代理人努力的成本c(a)=ba2/，b>0代表成本系数：所以b越大，努力的成本越高。代理人的实际货币收入v=s(k)—c(a)=a+0(a+0)--ba2，实际货币收入的2期望效用是：Ew=a+0a-—ba2；风险成本ARC=—pvar(s(k))=—p02c2，所222以确定性等价收入为：Ew-—p02C2=a+0a-—ba2——p02c2，关于确定性等222价的定义：如果u(x)=Eu(y)，其中y为随机性收入，x称为y的确定性等价，原因是二者的效用相等。第一、考虑委托人可以观测代理人努力水平a时的最优合同。令w是代理人的保留收入水平，那么代理人的参与约束是：11—a+卩a-一ba2-—pP202>w,此时激励约束无效。最优化问题转化为：22TOC\o"1-5"\h\zmaxEv=-a+(1-P)a，将上式和参与约束联立，得到最优化的一阶条件：a*=一；a,P,a b———P*二0，把上述结果代入参与约束中可以得到：a*=w+-b(a*)2=w+一2 2b分析：1、P*=0，由第三节中的公式P=p/(p+p)，其中p是代理人的ppa a风险规避度，p是委托人的风险规避度，根据假设二，委托人是风险中性者，P代理人是风险规避者，所以pp=0，从而与所求结果P*二0一致；2、委托人支付—给代理人的固定收入a*正好等于代理人的保留工资w与努力的成本一b(a*)2之2和；3、最优努力水平a*要求努力的边际期望利润1等于努力的边际成本ba；所以，委托人在观测到代理人的努力水平aY一时就支付aYwYa*即可，另TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"b -外一点，在委托人不能观测到代理人的行动时，帕累托最优是不能实现的，在P=0的情况下，此时代理人最大化自己的确定性等价收入Ew-一pP202=a+Pa-一ba2-一pP202，对a进行一阶求导，得到a= =0，2 2 2 b也就是说，代理人只能得到固定收入时，他是不会努力工作的！第二、努力水平a不可观测时的最优合同a不可观测的时候，代理人的激励相容约束为a=P/b，所以此时的最优化问题是：maxEv=-a+(一-P)aa,P11一s.t・(IR)a+Pa-—ba2-pP202>w22(IC)a=P/b将约束条件代入最大化公式得到：maxP-一pP202-卑-w，对P求一阶Pb2 2b导数，得到P= 一 >0，从这个公式可以看出，(1)b越大，也就是代理人一+bp02越不愿意努力工作，P越小，代理人承担的风险越小；(2)公式中可以得到ap/apyo和押/加2yo,所以给定p不变，p或b2越大，风险成本1p卩2Q2越2高，所以p应该越小，其最有风险才会较低。代理人之所以越不愿意努力工作，其所承担的成本越小，主要有两方面原因：1、在可观测努力水平的情况下，a*= ,b越大，a越小；2、在不可观测a的时候，a=p/b,b越大，委托人b诱导代理人选择同样的努力水平要求的P就越大，换句话说，委托人宁愿以较低的努力换取风险成本的节约！在此种情况下，代理人的风险成本ARC=1pP2b2=p( )2b2》0，2 2 1+bpb2和a可以观测到p*=0的候比较，整个风险成本就是净福利损失；期望产出的净损失：AEn=a*-a=匕"=>0，代理人的努力成本的减小额：b 1+bpb2AC=C(a*)-C(a)=丄- 1 =_£空±乞，把期望收益与努力成本的2b2b(1±bpb2)2 2(1±bpb2)2减少定义为激励成本：AEn-AC=b(pb2)2 >0，那么总代理成本等于风险2(1±bpb2)2成本与激励成本的加总：AC=ARC±(AEn-AC)= 也>0，在这个式子2(1±bpb2)中，当代理人为风险中性，即绝对风险规避度量p=0时，总成本为0，从公式中可以看到总代理成本随着p和b2的增大而增大。第三、在外生变量另外企业的利润Z可以观测时，委托代理模型中的最优合同。假定：z与a无关，服从正态分布，并且E(z)=0,D(z)=b2，此时的委托合z同变为：s(n,z)=a±p(n+Yz)，其中y表示代理人的收入与z的关系。在这个条件下，代理人的实际收入w=a±p(n+Yz)-1ba2，从而2E(w)=a+pa-1ba2 ，风险成本变为：2ARC=1pvar(s(n,z))=1pp2Q2+y2b2+2ycov(n,z))，所以代理人的确定性等2 2 z

价收入是：E（w）-ARC=a+卩a-一ba2-p卩2©2+y2c2+2ycov（兀,z）），将上式2 2 z对a求导：a=0/b，与上一种情况相同，原因是z与a无关。委托人的期望收入是：E（兀-s（兀,z））=E（兀-a-0（兀+Yz））=（1-0）-a，此时的参与约束为：E（w）-ARC>W，代入上式，得到最优化问题，1-—P02（c2+y2c2+2ycov（兀,z））-w，对—和z求导得到:2联立两式：0=1-p0Q2+y2c2+2ycov（兀,z））-—=0b z b联立两式：0=，y=-cov（兀,z）/c2，因为两个变量之1+bp（c2一cov2（兀,z）/c2） zz间的相关系数在T和1之间，所以c2-cov2（兀,z）/c2>0。从上面的公式看出,z⑴、如果兀，z不相关，则0=1+b丽>0，与此前情况相同。⑵、如果兀，z正相关，cov（n,z）>0，y<0，根据合同函数s（兀,z）=a+0（兀+yz），可以看出z>0，也就是较好的外部条件下，代理人的收入会减少，相反z<0，即外部条件不利时会增加代理人的收入；（3）如果兀,z负相关，y>0，则会出现z>0时增加代理人的收入，z<0减少代理人的收入。在cov（兀在cov（兀,z）丰0的情况下,11+bp（c2一cov2（兀,z）/c2）z1>1+bpc2同时var（s（var（s（兀,z））=02（c2+y2c2+2ycov（兀,z））zc2-cov2（兀,z）/c2z（1+bp（c2-cov2（兀,z）/c2>0））2z要小于var（s（兀））=c2于var（s（兀））=c2（1+bpc2）2所以此时将z写进合同都会降低代理成本的。风险成本：p（c2-cov2（兀,z）/c2）1ARC=—pvar（s（兀,z））=2 2（1+bp（c2-cov2（兀,z）/c2>0））2z期望产出净损失：AEk=Aa=1-0bbp（c2-cov2（兀,z）/c2）z1+bp（c2-cov2（兀,z）/c2）z代理人努力节约的成本AC=他*)-C(a)=2i2b(l+bp(Q2一C0V2(兀,z)/Q2))2z2p(cAC=他*)-C(a)=2i2b(l+bp(Q2一C0V2(兀,z)/Q2))2zz z2(1+bp(Q2一C0V2(K,z)/Q2))2z▲厂 b(p(G2—C0V2(兀,z)/G2))2所以总的激励成本：AE兀-AC= z ，总的代理成本就是风2(1+bp(G2—C0V2(兀,z)/G2))2z险成本和激励成本之和：AC二ARC+(AE兀一AC)二p(险成本和激励成本之和：AC二ARC+(AE兀一AC)二z2(1+bp(G2—C0V2(兀,z)/G2))z第二种情况相比较，在COV(兀,z)丰0的情况下，风险成本、激励成本都比之前有所降低。若C0V2(兀,z)/G2=G2 ，即