7.5刚体平面运动动力学方程

§7.5

刚体平面运动的动力学§7.5.1

刚体平面运动的基本动力学方程平面运动=平动+定轴转动1.求质心的运动刚体作平面运动，受力必是平面力

Fi

mac(7.5.1)根据质心运动定律直角坐标系中的分量式

ma

cx

Fix

Fi

—所有外力的矢量和,

Fiy

macym

—刚体的质量.2.刚体绕质心的转动在质心系中刚体作定轴转动.选质心坐标系Cx’y’z’

,设z’为过质心而垂直于固定平面的轴.在质心系中dt

dLz

'

M

M外i

'

惯M外i’—外力对质心的力矩,M惯—惯性力对质心力矩.又M惯=0zc

zzc

z

I

Mdtd(I

)dt

dL'z外i'

M外i'

Izc

z'(7.5.2)即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转动定律.式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动力学方程.§7.5.2

作用于刚体上的力·

滑移矢量1.作用于刚体上力的两种效果(1)

施于刚体的力的特点施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.AF作用力通过质心，对质心轴上的力矩为零，使刚体产生平动.B

F力作质心轴的力矩使刚体产生角加速度.(2)施于刚体的力是滑移矢量ABCF

''F

'F右图中,施于A点的力F´可用施于B点的力F´´代替,即力可沿作用线滑移.作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线.2.力偶和力偶矩力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力.

F1

F2M力偶

r1

F1

r2

F2

(r1

r2

)

F1

r12

F1M力偶

r12

sin

FdOdm1m2rr12r1F2F1

2大小与参考点的选择无关.一般作用于刚体的力等效于一作用线通过质心的力和一力偶，这力的方向和大小与原力相同，而力偶矩等于原力对质心轴的力矩.§7.5.3

刚体平面运动的动能2k12c2cI

mv

12E

动能121222ccI

)mv

A

∆(外动能定理如果刚体不太大，若刚体在运动中只有保守力作功，则系统的机械能也守恒.221212ccI

mv

E机械

mghc

[例题1]如图，固定斜面倾角为，质量为m

半径为R的均质圆柱体顺斜面向

无滑滚动，求圆柱体质心的加速度ac

及斜面作用于柱体的摩擦力F

.yOCy´[解]x´

xFNFW根据质心运动定理FN

W

F

macy

轴上投影W

sin

F

mac对质心轴的转动定理ac

R33F

1

mg

sinac

2

g

sin2FR

I

1

mR

2无滑滚动[例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均停止转动.

前后轮相距L，与地面的摩擦因数为

.汽车质心离地面高度为h，与前轮轴水平距离为l.求前后车轮对地面的压力.OCxx´F1F2[解]汽车受力如图.yFN1根据质心运动定理y´FN2FN1

FN2

W

0

FN

2

F

F

macW

FN

1y

轴投影F1

FN1

F2

FN2对质心轴的转动定理(F1

F2

)h

FN2

(L

l

)

FN1l

0由上面方程可解出FN1

mg(

L

l

h)

/

LFN2

mg(l

h)

/

L根据FN1、FN2第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为，但方向向下.[例题3]

在例题1中，设圆柱体自

开始滚下，求质xyOy´x´FNCFW心下落高度

h

时，圆柱体质心的速率.[解]

因为是无滑滚动，静摩擦力F

不做功，只有重力W做功，机械能守恒.2

224mR

cmv

cv

Rvc3gh

2312c1

mv

2

1

(

1

mR

2

)22

21mgh

2无滑滚动条件§7.5.4

滚动摩擦力偶矩滚动摩擦发生的原因：是物体与接触面处的非弹性形变引起.设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变.FN

OWFNWFNOONFW

FPM滚FP如图FN

对质心产生反向力矩——滚动摩擦力矩M滚M滚

FN

——摩擦因数，由实验测.M滚

使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势，从而产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体

.滚动阻力因数´

/

r,r是轮半径.表7.2常见汽车轮在几种典型路面上的´

值路面类型´良好的沥青或混凝土路面0.010~0.018一般的沥青或混凝土路面0.018~0.020坑洼的卵石路面0.035~0.050泥泞土路（雨季或解冻）0.100~0.250结冰路面0.010~0.030滚动摩擦<<滑动摩擦FNCWM滚FFfF

'AC设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为Ff

r

M滚

0M滚

FNF

Ff

FN

W

Wr

rFf

F联立得F

FN

W若滚子匀速平动表7.2与表3.2相比，有

F

F§7.5.5

汽车轮的受力汽车的极限速度FNCWM滚F

驱fF

MM滚驱MF滚

FNCWFfFN驱动轮轮Ff

FN滚M驱

Ffr

M

0

M滚)/r

M驱/rrFf

(M驱M驱/r汽车牵引力[例题4]桑塔纳汽车匀速行驶,汽车横截面积为S=1.89m2,空气阻力因数Cv=0.425.发功率为P发=60kW,设经内部传构能量损失10%,空气密度

=1.2258

N·s

2/m4.汽车行驶所受空气阻力面行驶的最高速率vmax2

求汽车沿水平路21f

vF

C

Sv[解]

取发燃烧物以外的整个汽车为质点系功

A内

0

P内

0

A外

P外功率P外=P发+滚动摩擦力偶矩功率+空气阻力功率P阻不计滚动摩擦力偶矩功率123max

0vC

SvP

发vmax

(2