(新高考)高考数学一轮考点复习5.4《复数》课时跟踪检测(含详解)

PAGE第5页共5页课时跟踪检测（二十八）复数1．已知i为虚数单位，z＝eq\f(4,1－i)，则复数z的虚部为()A．－2i B．2iC．2 D．－2解析：选Cz＝eq\f(4,1－i)＝eq\f(41＋i,1－i1＋i)＝eq\f(41＋i,2)＝2＋2i，虚部即为i的系数，为2，故选C.2．设复数z＝eq\f(1－i,1＋i)，f(x)＝x2020＋x2019＋…＋x＋1，则f(z)＝()A．i B．－iC．1 D．－1解析：选C∵z＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2020＋(－i)2019＋…＋(－i)＋1.∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，∴f(z)＝505×0＋1＝1.故选C.3．若z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋m－6))＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为()A．－2 B．2C．－3 D．3解析：选C因为z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋m－6))＋(m－2)i为纯虚数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2m＋3＝0，,m－2≠0，))解得m＝－3，故选C.4．复数z＝eq\f(2i4,1＋i)在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D由题得复数z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝eq\f(21－i,2)＝1－i，所以复数z对应的点位于复平面第四象限，故选D.5．“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C当a＝－2时，z＝(－2＋2i)(－1＋i)＝－4i，则z为纯虚数，可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充分条件；当z＝(a＋2i)(－1＋i)＝(－a－2)＋(a－2)i为纯虚数时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－2＝0，,a－2≠0，))解得a＝－2，可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的必要条件．综上所述，“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充要条件．6．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\x\to(z)＝4，则a＝()A．1或－1 B．eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3) D．eq\r(3)解析：选A∵z＝a＋eq\r(3)i，∴eq\x\to(z)＝a－eq\r(3)i，∴z·eq\x\to(z)＝(a＋eq\r(3)i)(a－eq\r(3)i)＝a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1，故选A.7．已知m∈R，复数z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·eq\x\to(z)2为实数，则m＝()A．－eq\f(2,3) B．eq\f(2,3)C．3 D．－3解析：选B因为z1·eq\x\to(z)2＝(1＋3i)(m－2i)＝(m＋6)＋(3m－2)i为实数，所以3m－2＝0，解得m＝eq\f(2,3).故选B.8．已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则eq\f(z1,z2)＝()A.eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i B．－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iC．－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i D．eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i解析：选A由题意，复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i，则z2＝3＋i，则根据复数的运算，得eq\f(z1,z2)＝eq\f(3－i,3＋i)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.9．已知z＝a＋bi，其中a，b∈R，且满足(a＋i)2＝bi5，则|z|＝()A．5 B．eq\r(5)C．3 D．eq\r(3)解析：选B由已知得(a＋i)2＝bi，所以a2－1＋(2a－b)i＝0，所以a2－1＝0且2a－解得a＝1，b＝2或a＝－1，b＝－2，所以|z|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5).10．设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C∵|z－i|≤2，∴复数z在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，2为半径的圆上及其内部(如图)．∴|z|的最大值为3.11．已知ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是－2＋i,1－i,2＋2i，则点D对应的复数为()A．4－i B．－3－2iC．5 D．－1＋4i解析：选D由题得A(－2,1)，B(1，－1)，C(2,2)，设D(x，y)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(3，－2)，eq\o(DC,\s\up7(→))＝(2－x,2－y)，因为eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x＝3，,2－y＝－2，))解得x＝－1，y＝4.所以点D的坐标为(－1,4)，所以点D对应的复数为－1＋4i.12．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为eq\x\to(z)，则()A．|z|＝eq\f(3,5)B.eq\x\to(z)＝－eq\f(1＋2i,5)C．复数z的实部为－1D．复数z对应复平面上的点在第二象限解析：选BD因为复数z满足z(2－i)＝i，所以z＝eq\f(i,2－i)＝eq\f(i2＋i,2－i2＋i)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i，所以|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2)＝eq\f(\r(5),5)，故A错误；eq\x\to(z)＝－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，故B正确；复数z的实部为－eq\f(1,5)，故C错误；复数z对应复平面上的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(2,5)))在第二象限，故D正确．13．已知i为虚数单位，且复数z满足z－2i＝eq\f(1,1－i)，则复数z在复平面内的点到原点的距离为()A.eq\f(13,2) B．eq\f(\r(26),2)C.eq\f(\r(10),2) D．eq\f(5,2)解析：选B由z－2i＝eq\f(1,1－i)，得z＝2i＋eq\f(1,1－i)＝2i＋eq\f(1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(5,2)i，∴复数z在复平面内的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))，到原点的距离为eq\r(\f(1,4)＋\f(25,4))＝eq\f(\r(26),2).14．(多选)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m＝in，n∈N))，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是()A．(1－i)(1＋i) B．eq\f(1－i,1＋i)C.eq\f(1＋i,1－i) D．(1－i)2解析：选BC根据题意，M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m＝in，n∈N))，∴M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，i，－i)).选项A中，(1－i)(1＋i)＝2,2∉M；选项B中，eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝－i∈M；选项C中，eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝i∈M；选项D中，(1－i)2＝－2i∉M，故选B、C.15．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，则|z1－z2|＝_______.解析：法一：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝eq\r(3)－a＋(1－b)i，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|z1|2＝a2＋b2＝4，,|z2|2＝\r(3)－a2＋1－b2＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝4，,\r(3)a＋b＝2，))所以|z1－z2|2＝(2a－eq\r(3))2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(eq\r(3)a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2eq\r(3).法二：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(eq\r(3)，1)，求|a－b|.因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2eq\r(3)，即|z1－z2|＝2eq\r(3).法三：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，则z1＋z2对应向量eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)).由题知|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1－z2对应向量eq\o(BA,\s\up7(→)).由OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OAsin60°＝2eq\r(3).故|z1－z2|＝|eq\o(BA,\s\up7(→))|＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)16．已知复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)对应的点在x轴上方，则m的取值范围是________．解析：复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)在复平面上对应的点的坐标为(m－1,3－m)，如果该点落在x轴上方，则有3－m>0，解得m<3.答案：(－∞，3)17．已知i为虚数单位，z＝eq\f(1,cos2θ－isin2θ)对应的点在第二象限，则θ是第________象限的角．解析：∵z＝eq\f(1,cos2θ－isin2θ)＝eq\f(cos2θ＋isin2θ,cos2θ－isin2θcos2θ＋isin2θ)＝cos2θ＋isin2θ对应的点在第二象限，∴cos2θ＜0，sin2θ＞0，∴2kπ＋eq\f(π,2)＜2θ＜2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋eq\f(π,4)＜θ＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq\f(π,4)＜θ＜2nπ＋eq\f(π,2)，θ