立体几何与空间向量优秀教案

文档编码:CA3P2H7K5H10——HB9W1T4R4K3——ZN2Q9X1H1T3空间向量及线性运算个人收集整理仅供参考学习例3,如图,在空间四边形ABCD中,E是线段AB地中【本课重点】1,懂得空间向量地概念,把握空间向量地线性运算及性质；表示；〔1〕如CF2FD,连接EF,CE,AF,点,BF化简以下各式,并在图中标出化简得到地向量：①uuurACuuurCBuuur

BD；D2,通过平面对量向空间向量地推广,体会数学地类比和归纳地思想方法.uuur②AFuuurBFuuur

AC；F【预习导引】1,在空间,既有又有地量叫空间向量.空间向量可以用③1uuurAB2uuurBC2uuurCD；3AC.地长度叫向量地模；凡是方向相同且长度相等地有向线段表示同一向量或2,已知空间向量a,b,在空间任取一点O,作OAa,ABb,就ab；〔2〕如F为CD地中点,求证：uuurEF1uuur〔AD2uuur

BC〕.E;.向量a与b平作OAa,OBb,就ab；作OAa,OPOA〔R〕,就OPB3,空间向量地加法和数运算中意运算律：（1）〔2〕;〔3〕.4,假如表示空间向量地有向线段相互或,那么这些向量叫或行,记为..5,对空间任意两个向量a与b（a0）,b与a共线地充要条件是存在实数,使【典例练讲】例1,如图,M,N,P,Q,R,S为平行六面体ABCDA1B1C1D1所在棱中点,化简以下向量表达式,并标出化简例4,已知六面体ABCDA1B1C1D1是平行六面体（如图）.C1）,C1结果地向量. uuur

〔2〕ABuuurADuuur

AA1A1RD1QC1（1）化简1uuurAA1

2uuurBC2uuurAB,并在图上标出结果；3B1〔1〕uuur

ABuuurBC uuur〔3〕ABuuurAD1uuuurCC1

2〔4〕1uuur〔AB3uuur

ADuuur

AA1〕SDP（2）设M是底面ABCD地中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上地四等分点（靠近点C设uuuurMNuuur

ABuuurADuuur

AA,试求,,地值1D1〔5〕uuurBCuuurBB1uuuurB1Duuuur〔6〕MNuuur

PQuuur

RSAMBNA1B1N例2,如图,在长方体OADBCA1D1B1中,OA3,OB4,OC2,OIOJOK1,点E,F分DCB别是uurDB,D1B1地中点.设OIri uuur,OJr uuurj,OKr

k.试用向量rrr uuuuri,j,k表示OD1,AMuuurOA1uuur uuur,OE,OF.A1CD1FB1K·↑AI·O→·JDBE

40/12第1页,共12页个人收集整理 仅供参考学习共面对量定理【本课重点】空间共面对量地概念,判定,性质及运用.例3,证明：三个向量r

aur

e1 uur3e2ur r ur2e,b4e3 1 uur6e2 ur2e3,r

c ur3e1 uur12e2 ur11e3共面.【预习导引】1,叫共面对量.2,在平面对量中,向量b与向量a〔a0〕共线地充要条件是存在实数,使得ba；在空间向量中,已知向是b与a不共线,那么向量p与向量a,b共面地充要条件是存在有序实数组（x,y）,使得p.3,已知空间四点O,A,B,C满足OCOAOB,就A,B,C三点共线地充要条件是.4,已知A,B,C三点不共线,就点O在平面ABC内地充要条件是存在有序实数对x,y,使OA.A,B,C,如点P中意向量关系OPxOAyOBzOC（其中5,设空间任意一点O和不共线地三点x+y+z=1）试问：P,A,B,C四点是否共面？并证明你地结论.例4,（1）对于空间某一点O,空间四个点A,B,C,D（无三点共线）分别对应着向量uuur uuruOA,OB,【典例练讲】uuru

OC,uuru

OD,求证：A,B,C,D四点共面地充要条件为存在四个不全为零实数,,,,使得uuur

OAuuur

OBuuurOCuuur

ODr0;0,且（2）设空间任意一点O和不共线三点A,B,C,如点P中意向量关系uuur

OP uuurxOAuuuryOB uuurzOC,当例1,正方体ABCDA1B1C1D1,E和F点分别为面A1B1C1D1与BB1C1C地中心,判定以下几组向量是否为共面对量：（1）BC1,A1D1,D1D；（2）EF,C1D1,D1D；（3）A1B,DC1,EF.D1C1x,y,z中意什么条件时,能够使P,A,B,C四点共面.得A1E·B1·FD CA B例2,如图,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直,点 M,N分别在对角线BD,AE上,且BM1

BD3,AN1

AE.求证：3MN//平面CDE.BFNCE41/12第2页,共12页ADM个人收集整理仅供参考学习uuuur和OMuuruuuruuur;（2）OI,OJ,OK uuuruuuruuur

分别为OA,OB,OC方向上地单位向uuuruuuruuur〔1〕试分别用向量OA,OB,OC uuuur表示向量ODuuruuuruuur uuuruuuruuur量,试用OI,OJ,OK表示OA,OB,OC.空间向量基本定理【本课重点】空间向量基本定理及其运用.p,存在地有序实数组{x,y,z},使例3,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,点M,N分别是对边OA,BC地中点,点G在直线【预习导引】MN上,且MG2GN,试用基底向量uuuruuuruuur

OA,OB,OC表示向量uuur

OG.1,假如3个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量Op.{e1,e2,e3}称为空间地一个,e1,e2,e3叫做.当例4,如图,在平行六面体uuuurA1D1AMe1,e2,e3两两相互垂直时称为,当e1,e2,e3为两两垂直地单位向量时称为,BGC通常用表示.N,uuuurD1D地中点,请选2,已知空间四边形OABC,点M,N分别是OA,BC地中点,G在AN上,且AG=2GN,OAa,OBb,OCc,用a,b,c作为基底,就向量MN可表示为;OG可表示为ABCDA1B1C1D1中,点E,F,G分别是,uuuurD1C1.O3,如图,已知空间四边形OABC,其对角线OB,AC,M,N分别是对边OA,BC地中点,点G在线段MN上,.AMGNC择恰当地基底向量.证明：（1）EG//AC；（2）平面EFG//平面AB1C.且MG3GN,用基底向量uuuruuuruuur

OA,OB,OC表示向量uuur

OGBC1A1ED1GC1【典例练讲】ABCDA1B1C1D1中,已知uuurDAr uuura,DCr uuuurb,DD1r

c,点G是侧面B1例1,如图,在平行六面体FBCDB1BCC1地中心,试用向量rrr

a,b,c表示以下向量：uuuuruuuruuuruuurDB1,BA1,CA1,DG.A1D1B1AGD例2,在正方体OADBCADB中,点E是AB与OD地交点,M是ABCOD与CE地交点,42/12第3页,共12页空间向量地坐标表示.;个人收集整理仅供参考学习P点地坐例2,（1）已知r

a r〔1,3,8〕,b〔3,10, r4〕,求ar r r r rb,ab,3a,3ar

2b.（2）已知A,B,C三点坐标分别为〔2,1,2〕,〔4,5,1〕,〔2,2,3〕,求中意以下条件地标： uuur

①OP1 uuur〔AB2uuur

AC〕；②uuurAP1 uuur〔AB2uuur

AC〕.【本课重点】空间向量地坐标表示,运算及空间向量平行地坐标表示例3,已知r

a〔2, r1,1〕,b〔1,3, r2〕,c ur〔2,1,3〕和d〔3,2,5〕,试求实数,,,【预习导引】 ur

使dr

ar

br

c.1,如A〔x1,y1,z1〕,B〔x2,y2,z2〕那么AB.2,设a〔x1,y1,z1〕,b〔x2,y2,z2〕,R,那么（1）ab;〔2〕）ab（3）a=;〔3〕如a//b〔a0〕,就.13,已知向量a＝〔8,2x,x〕,b＝〔x,1,2〕,其中x＞0.如a∥b,就x地值为.例4,（1）,已知向量r

a r〔2,4,5〕,br r〔3,x,y〕,如a//b,求x,y地值；ABCD为梯4,给出命题：①如 a与b共线,就a与b所在地直线平行；②如 a与b共线,就存在唯独地实数 λ,使buuuur uuur uuur uuur＝λa；③如A,B,C三点不共线,O是平面ABC外一点,OM＝1OA＋13OB＋13OC,就点M确定在平面ABC上,且在ABC地内部．其中真命题是．△【典例练讲】（2）,已知空间四点A〔2,3,1〕,B〔2,5,3〕,C〔10,0,10〕和D〔8,4,9〕,求证：四边形例1,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2地正方体,E,F,G,H,I,J分别为图中所示各棱地中点,zP为正方体地中心,建立如以下图地空间直角坐标系.A1ED1PB1C1形.（1）,试写出图中各点地坐标；（2）,x轴,y轴,z轴上地点地坐标有什么特点？HJIxAFDGBCy43/12第4页,共12页空间向量地数量积〔1〕个人收集整理仅供参考学习r r60,且|a|1,|b| r

2,|c|3,试求：r

〔ar2

b〕,例2,已知向量r

ar

b,向量r rrc与a,b地夹角均 r

〔a r

2br

c〕r rr2,〔3a2b〕〔br

c〕.为【本课重点】空间向量数量积,夹角及求法.【预习导引】1,设a,b是空间两个非零向量,过空间任一点O作OAa,OBb,就AOB叫向量a与b地例3,如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,ACD90,将它沿着对角线AC折起,使AB与CD成,记作,范畴为.如<a,b>=0,就向量a与b；如<a,b>=,就向量a与b；如<a,b>=2,就向量a与b相互,记为ab.ab2,设a,b是空间两个非零向量,把|a||b|cos<a,b>叫做向量a与b地数量积,记为.并规定：零向量与任一向量地数量积为0.空间向量地数量积地运算律：〔1〕;〔2〕;〔3〕.60角,求BD间地距离.3,已知rrr

a r3,b r2,ar

b rr

7,就a,b地夹角为.ADa,b是空间两个向量,如BC4,如以下图,空间四边形OABC中,OABC,OBAC.求证：OCAB.OACB【典例练讲】例1,如图,已知空间四边形ABCD地每条边和对角线都等于1,点E,F分别是AB,AD地中点,运算：例4,在三棱锥O-ABC中,已知侧棱OA,OB,OC两两垂直,求证：底ABC是锐角三角形.uuuruuur

EFBA,uuuruuur uuur uuurEFBD,EFDC.AEF面BD44/12C

第5页,共12页空间向量地数量积〔2〕个人收集整理仅供参考学习 r例2,已知a〔1,5, r1〕,b〔2,3,5〕. r（1）如〔kar rb〕//〔a r

3b〕,求k地值； r（2）如〔kar

b〕 r

〔a r

3b〕,求k地值.例3,已知A〔1,0,1〕,B〔2,2,2〕,C〔0,2,3〕,求【本课重点】空间向量数量积地坐标运算.;〔1〕线段AB地中点坐标和AB地长度；uuur uuur〔2〕AB与地夹角地正弦值;【预习导引】AC1,设a〔x1,y1,z1〕,b〔x2,y2,z2〕就〔3〕求ABC地面积;〔4〕到C点地距离为1地P（x,y,z）地坐标x,y,z中意地条件.〔1〕|a|=;〔2〕ab.〔3〕cos<a,b>=;〔4〕ab2,如A〔x1,y1,z1〕,B〔x2,y2,z2〕,就AB中点M地坐标为;AB;|AB|. rr3,“ab0”是“rr

a,b为钝角”地条件.（填“充分不必要”,“必要不充分”,“充分必要”或“既不充分也不必要”） r4,已知a〔1t,1t,t〕,r

b〔2,t,t〕,就r

br

a地最小值为.例4,在棱长为1地正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD地中点,G在棱CD上,且【典例练讲】 r4〕,b〔2,1,8〕,运算：（ r1）2ar r r rr r r3b,3a4b,ab,|a|,|2ar

3b| r例1,a〔3,5,CG1CD,H是C1G地中点,应用空间向量法解决以下问题4:C1〔2〕cosrr

a,b;〔3〕求向量 r

2a r

3b与r

a地夹角;〔4〕确定,地关系 r,使ar

b与z轴垂直.〔1〕求证：EFB1C;〔2〕求EF与C1G所成角地余弦值;〔3〕求FH地长.D1A1B1EHDGC45/12FAB第6页,共12页个人收集整理仅供参考学习经过点P〔x0,y0,z0〕,平面地法向量是r

e〔a,b,c〕,M〔x,y,z〕是平例2,在空间直角坐标系中,设平面面 内地任意一点,求 x,y,z中意地关系式.直线地方向向量和平面地法向量 例3,已知：A〔-2,3,-3〕,B〔4,5,9〕.【本课重点】直线地方向向量和平面地法向量.〔1〕写出直线AB地一个方向向量；内一点,求x,y,z中意地关系式；〔2〕如点M〔x,y,z〕在直线AB上,求x,y,z中意地关系式；【预习导引】〔3〕设平面经过线段AB地中点,且与直线AB垂直,点P〔x,y,z〕是平面1,直线l上地叫做直线l地方向向量.n与平面,记着〔4〕求到A,B两点距离相等地点Q〔x,y,z〕地坐标x,y,z中意地关系式.2,假如表示非零向量n地有向线段所在直线与平面,那么称向量,此时,把向量n叫做平面地.;3,以下说法正确地是.〔1〕一条直线地全部方向向量都相互平行;〔2〕一个平面地全部法向量都相互平行〔3〕平面地法向量确定是非零向量;0.〔4〕向量n是平面地法向量,向量a是与平面平行或在平面内,就有na4,〔1〕在空间直角坐标系Oxyz中,以下向量中不是y轴地方向向量地是.○1〔0,1,0〕;○2〔0,-1,0〕;○3〔0,1,-1〕;○4〔0,1,1〕.2〔2〕过空间三点A〔1,1,0〕,B〔1,0,1〕,C〔0,1,1〕地平面地一个法向量为【典例练讲】例1,〔1〕在正方体 uuuurABCD-A1B1C1D1中,求证：DB1是平面ACD1地法向量；例4,在棱长为1地正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC地中点,就在棱BB1上是否存在〔2〕已知：A〔1,2,1〕,B〔3,2,3〕,C〔5,3,1〕,求平面ABC地一个单位法向量.点M,使得D1M平面EFB1？如存在,指出点M位置置；如不存在,请说明理由.46/12第7页,共12页个人收集整理仅供参考学习.〔直线与平面垂例2,证明：假如一条直线和平面内地两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面直地判定定理〕 lmn空间线面关系地判定〔1〕例3,如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90o,BAC o

30,BC=1,AA16,M是棱CC1地中【本课重点】用向量语言表述线线,线面,面面地平行和垂直关系；用向量方法判定空间线面地平行和点,求证：A1BAM.B1A1垂直关系.【预习导引】C11,设两直线l1,l2地方向向量分别为e1,e2；平面1,2地法向量分别为n1,n2,那么：M（1）l1//l2;l1l2;BA〔2〕l1//1;l11;C〔3〕1//2;12.2,设a,b分别是直线l1,l2地方向向量,依据以下条件,判定l1,l2位置置关系：〔1〕a〔2,1,2〕,b〔6,3,6〕;〔2〕a〔1,2,2〕,b〔2,3,2〕;垂例4,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别BB1,CD地中点,求证：D1F面ADE.C13,设u,v分别是平面,地法向量,依据以下条件,判定,位置置关系：〔1〕u〔2,2,5〕,v〔6,4,4〕;〔2〕u〔1,2,2〕,v〔2,4,4〕;〔3〕 u〔2,3,5〕,v 〔3,1,4〕r4,已知直线 l地方向向量 a.,平面地一个法向量为r

e〔4,0,m〕,如直线l与平面〔1,0,2〕为D1直,就实数m..A1EC【典例练讲】例1,证明：在平面内地一条直线,假如它和这个平面地一条斜线地射影垂直,那么它和这条斜线也垂直〔三垂线定理〕DBFA47/12第8页,共12页个人收集整理 仅供参考学习例2：在棱长为1地正方体ABCD—A1B1C1D1中.（1）如E,F分别为棱AB和BC地中点,试

在（2）如PQ是AC与C1D地公垂线段,试确定点BB1上找一点M,使得D1M平面EFB1;P在AC上及点Q在C1D上位置置.空间线面关系地判定〔2〕【本课重点】用向量方法判定空间线面地平行和垂直关系.例3,如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1地底面ABCD是菱形,且C1CB=C1CD=BCD.【预习导引】1,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1,AB=2AD,点E是线段C1D1地中点,就DE与平面EBC位置置关系是.（1）求证：C1CBD；（2）当CDC1C地值为多少时,能使A1CC1BD平面,请给出证明.B1A1C1D12,正三棱柱ABC-A1B1C1地各棱长均相等,点D是BC上一点,ADC1D,就平面ADC1与平面BCC1B1位置置BA关系.3,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是棱AA1地中点,点O是BD1地中点,就OM是异面直线AA1与BD1地.CD uuur4,已知AB uuur〔1,5,2〕,BC〔3,1,z〕,如uuur

ABuuuruuur

BC,BP〔x1,y,3〕,且BP平面ABC,就实数x,y,z例4,如以下图,在三棱锥PABC中,ABBC,ABBCkPA,,点O,D分别是AC,PC地中分别为.【典例练讲】例1,在四棱椎P-ABCD中,底面ABCD是始终角梯形,BAD90,AD∥BC,AB=BC=a,点,OP平面ABC.〔1〕求证：OD//平面PBA；（2）当k为何值时,O在平面PBC内地射影恰好为AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30o角,AE⊥PD,E为垂足,试建立恰当地空间直角坐标系：〔1〕求证：BE⊥PD；〔2〕设r

n r〔1,p,q〕,中意n r

平面PCD,求n地坐标.PBC地重心.

PDAOBC48/12第9页,共12页个人收集整理仅供参考学习ABO—A1B1O1中,OO14,OA4,OB3,AOB90,D是线段A1B1例2,如图,在直三棱柱地中点,P是侧棱BB1上地一点,如OPBD,求OP与底面AOB所成角地余弦值.DA1B1PO1AB空间角地运算〔1〕例3,如图,ABCD是直角梯ABC90,AD∥BC,SA平面ABCD,SAAOB【本课重点】向量方法解决线线,线面,面面地夹角地运算.形,BC2,AD1,求面SCD与面SBA所成二面角地大.S小【预习导引】1,两条异面直线所成地角与它们地方向向量地夹角.l1,l2所成角为.ABDC2,斜线与平面所成角是斜线与平面法向量地夹角.3,两个平面所成地二面角与两个平面地法向量地夹角.4,设a,b分别是两条异面直线l1,l2地方向向量,且cosa,b1

,就异面直线2.5,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB地中点,就DB1与CM所成角地余弦值为【典例练讲】例1,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1,F1分别在A1B1,C1D1上,且E1B11A1B1,4例4,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平ABCD,ABC60,E,F分别是BC,PC地中 点.D1F11

C1D1,P为BC中点.4A1D1C1B1〔1〕求BE1与DF1所成角地大小;〔1〕证明：AE⊥PD;面〔2〕求直线F1P和平面D1AC所成角地大小;C〔2〕如H为PD上地动点,EH与平面PAD所成最大角地正切值为6,求二面角E—AF—C地余弦值.2D〔3〕求二面角A1BDC1地大小.AB49/12第10页,共12页个人收集整理仅供参考学习ACB90,侧棱AA12,D,E分例2,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面ABC是等腰直角三角形,别是CC1与A1B地中点,点E在平面ABD上地射影

是ABD地重心G,求A1B与平面ABD所成角地大小. C1A1B1D空间角地运算〔2〕例3,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, 面ABCD,PA=AB,PA〔1〕求证：面PAC面PBD；〔2〕求二面角P-BD-C地大小；PEGEC〔3〕在PC上是否存在E,使得PB面ADE.点AB【本课重点】向量方法解决线线,线面,面面地夹角地运算.DC【预习导引】1．如APBBPCCPA 0

60,就PA与面PBC所成角为；AB例4,如以下图,四棱锥PABCD地底面ABCD是半径为R地圆地内接四边形,其中BD是圆地直如APBBPCCPA1200,就PA与面PBC所成角为.2．如APBBPCCPA 0

90,Q为异于P地一点,PQ与平面PAB,平面PBC,平面PAC所角分别为,,,就 2cos 2

cos 2cos＝.成3．共点地三条直线PA,PB,PC两两垂直,它们与平ABC所成角为,,,就面 2

sin 2sin 2

sin.4．在直二面角l中,A,B,A,B都不在l上,AB与所成角为x,AB与所成角为y,径,ABD60o,BDC45o,PD垂直底面ABCD,PD22R,E,F分别是PB,CD上地AB与l所成角为z,就cos2x+cos2y-cos2z地值为.点,且PEDF,P【典例练讲】EBFC例1,如图〔1〕所示,已知ABCD是上,下底边长分别为2和6,高为3地等腰梯形,将它沿对称轴OO1过点E作BC地平行线交PC于G．〔1〕求BD与平面ABP所成角地正弦值；AEGD折成直二面角,如图〔2〕所示,〔1〕求证：ACBO1；DO1C〔2〕证明：△EFG是直角三角形；1时,求△EFG地面积．2〔2〕求二面角O—AC—O1地大小.（1〔3〕当PEEBAOBFBCDO1C