新高考数学大一轮复习讲义专题30 直线、平面平行的判定与性质（解析版）

1、专题30 直线、平面平行的判定与性质 【考点预测】知识点一：直线和平面平行1定义直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作2判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线线线面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行面面线面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面3性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线面线线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行知识点二：两个平面平行1定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号

2、表示为：对于平面和，若，则2判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理线面面面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行线面面面如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行3性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言面/面线/面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）面/面线面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线【方法技巧与总结】线线平行、线

3、面平行、面面平行的转换如图所示性质性质性质性质判定判定判定线面线线面面（1）证明直线与平面平行的常用方法：利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；利用面面平行的判定定理；利用两个平面垂直于同一条直线；证明两个平面同时平行于第三个平面（3）证明线线平行的常用方法：利用直线和平面平行的判定定理；利用平行公理

4、；【题型归纳目录】题型一：平行的判定题型二：线面平行构造之三角形中位线法题型三：线面平行构造之平行四边形法题型四：线面平行转化为面面平行题型五：利用线面平行的性质证明线线平行题型六：面面平行的证明题型七：面面平行的性质【典例例题】题型一：平行的判定例1（2022上海高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【解析】对于A，因，当时，而，则，当时，在直线上取点，过作直线，则，过直线的平面，如图，由得，于是得，而，则，而，所以，A正确；对于B，若，则，又，则存在过直线的平面，使得，则有直线，即有，所以，B正确；对于C，

5、如图，在长方体中，平面为平面，直线为直线，平面为平面，直线为直线，满足，而，C不正确；对于D，若，则，又，于是得，D正确故选：C例2（2022上海静安二模）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（）（1）、都垂直于平面r，那么（2）、都平行于平面r，那么（3）、都垂直于直线l，那么（4）如果l、m是两条异面直线，且，那么A0B1C2D3【答案】D【解析】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确故选：D例3（2022宁夏银川一中模拟预测（文）如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（）ABCD

6、【答案】D【解析】对于A选项，连接，如下图所示：因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，、分别为、的中点，则，所以，因为平面，平面，所以，平面；对于B选项，连接，如下图所示：因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，、分别为、的中点，所以，因为平面，平面，所以，平面；对于C选项，连接，如下图所示：因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，、分别为、的中点，所以，因为平面，平面，所以，平面；对于D选项，连接、交于点，则为的中点，设，连接，因为、分别为、的中点，则，若平面，平面，平面平面，则，在平面内，过该平面内的点作直线的平行线，有且只有一条，与题设矛盾假设不成立，故D选项中的直线与平面不平行故选：

7、D例4（2022浙江海宁中学模拟预测）已知是不全平行的直线，是不同的平面，则下列能够得到的是（）ABCD【答案】C【解析】对于A，由垂直于同一平面的两个平面可以平行或相交可知，选项A错误；对于B，由平面与平面平行的判定定理可知，若，则结论不成立，所以选项B错误；对于C，因为是不全平行的共面直线，即至少两条相交，所以成立故选C正确；对于D，由平行于同一直线的两个平面平行或相交可知，选项D错误故选：C例5（2022全国高三专题练习）已知，是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（）A，则B，则C平面内的不共线三点到平面的距离相等，则与平行D如果一条直线与一个平面平行，那么这条

8、直线与此平面内的无数条直线平行【答案】D【解析】，则或，故选项A错误； ，则或，故选项B错误；当平面与平面相交时，可以在平面内找到不共线三点到平面的距离相等，故选项C错误； 如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，故选项D正确故选：D例6（2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测（理）如图，在正方形中，M，N分别是，的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是（）A垂直B平行C相交但不垂直D无法确定【答案】B【解析】连接交于，连接，而M，N分别是，的中点，所以，即，且，即，则

9、为平行四边形，故，由面，面，则面故选：B例7（2022全国高三专题练习）已知三条直线a，b，c和两个平面，下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】A：，则或，错误；B：，则或，错误；C：，则可能相交或平行，错误；D：由为两个平面且、，故且，由，则，又，则，所以，正确故选：D【方法技巧与总结】排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除题型二：线面平行构造之三角形中位线法例8（2022山西吕梁三模（文）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，侧面是矩形，为的中点，（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积【解析】（1）证明：如图，连接交于点，连接因为底面是平行四

10、边形，所以是的中点又是的中点，所以因为平面平面，所以平面（2）因为矩形中为的中点，所以，所以因为，所以所以因为，平面，平面所以平面因为平面，所以又，平面，平面所以平面因为，所以，所以例9（2022全国高三专题练习）如图，在三棱锥中，O，M分别为AB，VA的中点求证：平面MOC【解析】证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以，又因为平面MOC，平面MOC，所以平面MOC例10（2022青海海东市第一中学模拟预测（文）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，是棱上一点若，求证：平面【解析】连接，记与的交点为，连接由，得，又，则，又平面，平面，平面例11（2022全国高三专题练习）如图，在四棱

11、锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点，求证：侧面；【解析】（1）证明：连接，因为四边形为正方形，且为的中点，所以，为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，平面例12（2022河南濮阳一高高三阶段练习（理）如图，四边形为菱形，将沿折起，得到三棱锥，点M，N分别为和的重心证明：平面；【解析】延长交于点P，延长交于O点，连接因为点M，N分别为和的重心，所以点P，O分别为和的中点，所以，又平面，平面，所以平面例13（2022全国高三专题练习）如图，是三棱锥的高，E是的中点证明：平面；【解析】证明：连接并延长交于点，连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即

12、，所以，又，即，所以，所以所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面【方法技巧与总结】（1）初学者可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一；（2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；（3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三；（4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），如图四图一图二图三图四题型三：线面平行构造之平行四边形法例14（2022河南开封模拟预测（理）如图，O分别是圆台上、下

13、底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，为圆台的母线，证明；平面；【解析】连接，C为圆O的直径AB所对弧的中点，所以为等腰直角三角形，即，又在圆上，故为等腰直角三角形，所以且，又是母线且，则，故且，则为平行四边形，所以，而面，面，故平面例15（2022广东大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台中，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点求证：平面；【解析】在四棱台中，四边形为平行四边形，且，点E为棱BC的中点，连，如图，则有，即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面例16（2022全国高三专题练习）在如图1所示

14、的等腰梯形中，将它沿着两条高折叠成如图2所示的四棱锥（重合），点分别为线段的中点证明：平面；【解析】证明：取EC的中点G，连接NG，BG，因为点分别为线段的中点所以，又，所以，所以四边形MBGN是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；例17（2022全国模拟预测）在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点求证：平面；【解析】证明：取的中点，连接，又是的中点，所以，且因为四边形是矩形，所以且，所以，且因为是的中点，所以，所以且，所以四边形是平行四边形，故因为平面，平面，所以平面例18（2022全国高三专题练习）如图，正方形与直角梯形所在平面相互垂直，求证：平面；【解析】设，取中点，连接、，

15、四边形是正方形，是的中点，又是的中点，四边形是直角梯形，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面，即平面；例19（2022全国高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，P在以AD为直径的圆O上，平面平面PAD设点Q是AP的中点，求证：BQ平面PCD；【解析】证明：设为中点，连接，又Q是AP的中点，即且，又，故且，所以为平行四边形，故，由面，面，则面例20（2022江苏矿大附中高三阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点求证：平面；【解析】（1）设，连接，因为是正方形，所以是中点，又因为是矩形，是线段的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；例2

16、1（2022河南洛宁县第一高级中学一模（文）如图，在四棱锥中，已知平面平面ABCD，AE是等边的中线证明：平面【解析】证明：如图，取PC的中点F，连接EF，BF因为E是棱PD的中点，所以，且因为，所以，所以四边形ABFE是平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面例22（2022全国高三专题练习）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直（1）证明：平面；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）【解析】（1）如图所示：分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面

17、，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2）如图所示：分别取中点，由（1）知，且，同理有，由平面知识可知，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍因为，点到平面的距离即为点到直线的距离，所以该几何体的体积【方法技巧与总结】（1）初学者可以拿一把直尺放在位置，如图一；（2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；（3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三；（4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉

18、有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），如图四图一 图二 图三 图四题型四：线面平行转化为面面平行例23（2022全国高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点求证：平面；【解析】取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，而，则，而平面，平面，故平面，而，则，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面例24（2022全国高三专题练习）如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，平面，且，E，F分别为，的中点证明：面ABCD；【解析】（1）证明：取的中点G，连接EG，FG，AC，因为

19、，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因为，所以四边形AGFC是平行四边形，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因为，平面，所以平面平面ABCD，因为平面ABCD，所以平面ABCD例25（2022湖南长沙一中高三阶段练习）如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，点在线段上且，点是线段上的动点当为多少时，直线平面？【解析】当点是线段上靠近点的三等分点时，平面过点作交于点，过点作交于点，连接平面平面，面平面又，则平面平面平面平面 当时，平面例26（2022全国高三专题练习）如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且分别为的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接 证明：

20、平面；【解析】（1）在四棱锥中，取的中点，连接因为分别为的中点，所以又平面， 平面，所以平面，同理可得，平面，又平面，所以平面平面，因为平面，所以平面例27（2022贵州贵阳一中高三阶段练习（理）如图，四棱锥中，平面平面，是中点，是上一点是否存在点使得平面，若存在求的长若不存在，请说明理由；【解析】存在理由如下：在上取点，在上取点，使得，则 ， 平面，故平面，而 而，故是平行四边形，故平面，故平面，而 ，故平面平面，而平面，得平面平面，在中，例28（2022全国高三专题练习）已知将圆柱沿着轴截面分割，得到如图所示的几何体，若四边形是边长为2的正方形，E，F分别是上的点，H是的中点，与交于点O，

21、求证：平面；【解析】证明：由题意知，又，所以H为的中点连接，因为为的中点，所以又平面， 平面， 所以平面；易知，又平面， 平面， 所以平面又平面，所以平面平面又平面，所以平面例29（2022河北高三专题练习）如图所示正四棱锥，P为侧棱上的点且，求：（1）正四棱锥的表面积；（2）侧棱上是否存在一点E，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由【解析】（1）正四棱锥中，侧面的高，正四棱锥的表面积（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足理由如下：取中点为，因为，则，过作的平行线交于，连接，在中，有，平面，平面，平面，由于，又由于，平面，平面，平面，平面平面，得平面例30（2022全国高三专题练习）在如

22、图所示的圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，、都是圆柱的母线求证：平面；【解析】证明：连接、，在圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，则，且，故、均为等边三角形，所以，在底面中，则，平面，平面，所以，平面，因为、都是圆柱的母线，则，平面，平面，平面，所以，平面平面，因为平面，因此，平面【方法技巧与总结】本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行题型五：利用线面平行的性质证明线线平行例31（2022福建三模）如图，在三棱锥中，和均是边长为4的等边三角形是棱上的点， ，过的平面与直线垂直，且平面平面在图中画出，写出画法并说明理由；【解析】如图，在内过作，交于，则直线即为直线理由如

23、下：取的中点，连结，因为和均为等边三角形，所以，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面，又因为平面平面，平面平面，所以，所以直线即为直线例32（2022全国高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，底面，过的平面交于，交于（与不重合）求证：；【解析】证明：在梯形中，平面，平面，平面又平面，平面平面，所以例33（2022山东青岛二模）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形设平面平面，证明：；【解析】因为四边形OBCH为正方形，平面POH，平面POH，平面POH平面PBC，平面平面，例34（2022安徽蚌埠二中模拟预测

24、（理）正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（）ABCD【答案】D【解析】因为平面平面，平面平面，平面平面，则；在正方体中，易证平面，故，所以，即与所成角的大小为故选：例35（2022全国高三专题练习）如图，己知三棱锥中，为正三角形，D，E分别为，的中点，经过的平面与分别交于点G，F，且求证：四边形是平行四边形；【解析】证明：平面，平面PAC，平面，平面， D，E分别为，的中点，又平面，平面，平面，平面，四边形是平行四边形例36（2022全国高三专题练习） 如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点记平面与平面的交线为，求证：直线平

25、面；【解析】因为分别是的中点所以， 又因为平面，平面 所以平面 又平面，平面与平面的交线为，所以， 而平面，平面，所以平面例37（2022安徽安庆一中高三阶段练习（文）如图，四棱锥的底面是平行四边形，设平面与平面的交线为直线证明：平面；【解析】因为四边形是平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面，又因为平面平面平面，所以，因为平面平面，所以平面例38（2022河北石家庄二中模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是上的点若平面，求的值；【解析】连接，交于点，连接；平面，平面，平面平面，；，即的值为【方法技巧与总结】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条

26、直线就和交线平行题型六：面面平行的证明例39（2022全国高三专题练习（理）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，ABAD，PAPD，ADCD，BAD60，M，N分别为AD，PA的中点证明：平面BMN平面PCD；【解析】证明：连接BD，ABAD，BAD60，ABD为正三角形M为AD的中点，BMADADCD，CD，BM平面ABCD，BMCD又BM平面PCD，CD平面PCD，BM平面PCDM，N分别为AD，PA的中点，MNPD又MN平面PCD，PD平面PCD，MN平面PCD又BM，MN平面BMN，BMMNM，平面BMN平面PCD例40（2022浙江高三专题练习）在三棱锥中，

27、平面平面，过作，垂足为，点，分别是棱，的中点求证：平面平面【解析】，垂足为，是的中点，又因为是的中点，平面，平面，平面；同理，平面，平面，平面；又，平面平面例41（2022河南高三阶段练习（理）如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱，的中点证明：平面平面；【解析】证明：连接EG，因为E，G分别是棱，的中点，所以，因为，所以，所以四边形是平行四边形，则因为平面，平面，所以平面因为E，F分别是棱，的中点，所以因为，所以因为平面，平面，所以平面因为平面，平面，且，所以平面平面例42（2022安徽南陵中学模拟预测（理）如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点求证：平面平面BDF；【

28、解析】证明：在正方体中，E，F分别为棱的中点，所以因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以又平面BDF，平面BDF，所以平面同理，又平面BDF，平面BDF，所以平面又，平面，所以平面平面【方法技巧与总结】常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行题型七：面面平行的性质例43（2022黑龙江高三阶段练习（理）四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，分别是，的中点已知，若平面平面，求的值；【解析】若平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理可知：，于是，由为的中点知：为的中点，故，所

29、以例44（2022青海玉树高三阶段练习（文）在长方体中，P为的中点已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；【解析】依题意，如图，平面平面，平面平面，平面平面，则，在长方体中，则有四边形为平行四边形，于是得，即点M是棱AB的中点，同理点N是棱的中点，所以分别是棱的中点例45（2022四川模拟预测（理）如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明；【解析】证明：如图所示：取AB中点D，连结CD交AF于G，即G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面证明：连结DE因为在三棱柱中，D，

30、E分别为AB，的中点，所以，且，则四边形是平行四边形，故又平面，平面所以平面因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，则且，四边形是平行四边形，所以又平面，平面，所以平面又平面，平面，所以平面平面例46（2022全国高三专题练习）如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明【解析】证明：如图所示：取AB中点D，连接CD交AF于G，即G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面证明：连接DE因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，所以，且，则四边形是平行四边形，故又平面，平面所以平面因为在三棱柱中，D，E分别是AB，

31、的中点，则且，四边形是平行四边形，所以又平面，平面，所以平面又平面，平面，所以平面平面【过关测试】一、单选题1（2022全国模拟预测（理）已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（）A若mn，m，则nB若m，则mC若m，则mD若m，n，mn，则【答案】D【解析】A选项，mn，m，则可能，故A错误；B选项，则可能，故B错误；C选项，则可能，也可能，故C错误；D选项，因为，所以或，当时，因为，所以由面面垂直的判定定理知，当时，存在且，所以，所以可得，故D正确故选：D2（2022全国模拟预测（理）已知长方体中，分别为棱和的中点，为长方体表面上任意一点若平面，则的最大值为

32、（）ABCD6【答案】C【解析】如图所示，取，分别为棱和的中点，连接，由题意易知，所以；又易知，故可以证明平面平面；又平面，由面面平行的性质可知平面，所以由题意可知在等腰梯形四条边上运动，过点作，交于点，由题意可知，所以，所以，又，所以故当与点重合时，的值为最大值，此时；故选：C 3（2022云南师大附中模拟预测（理）若，是两个不同平面，是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（）A，B，C，D，【答案】A【解析】对于A，如图，结合，可知，故A正确；对于B，如图，可能异面，故B错误；对于C，如图，可能相交，故C错误；对于D，如图，可能相交，故D错误故选：A4（2022全国高三专题练习（文）下列

33、四个命题，真命题的个数为（）（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于该平面；（2）过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；（3）平行于同一个平面的两条直线平行；（4）a与b为空间中的两条异面直线，点A不在直线a，b上，则过点A有且仅有一个平面与直线a，b都平行A0B1C2D3【答案】B【解析】命题（1）：由直线垂直平面的定义可知，若直线垂直于一个平面的任意直线，则该直线垂直于该平面，故命题（1）错误；命题（2）：由直线与平面垂直的性质定理可知，过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故命题（2）正确；命题（3）：平行于同一个平面的两条直线，可能平行，可能相交，也

34、可能异面，故命题（3）错误；命题（4）：如图，当点A在如图上底面时，不存在平面同时平行于直线a、b；点A不在异面直线a、b上，若点A在直线a、b之间，则可以确定一个平面同时平行于直线a、b；若点A在直线a、b的外侧，也可以确定一个平面同时平行于直线a、b，故命题（4）错误故选：B5（2022广东广州三模）一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，分别为的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（）A直线与直线异面B直线与直线异面C直线平面D直线平面【答案】B【解析】由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接，易得，则，故共面，则共面，故B错误；又面，面，不在直线上，则直线与直

35、线异面，A正确；由，平面，平面，则直线平面，C正确；平面，平面，则直线平面，D正确故选：B6（2022新疆克拉玛依三模（文）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】如图，取中点，中点，连接，所以，正方体中，易得，所以，因为平面，平面，所以平面，因为为中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面，因为平面，所以平面，又为正方形内一动点（含边界），所以在线段上，可得，则当在中点时，取得最小值为，当在两端时，取得最大值为，所以长度的取值范围是故选：D7（2022全国高三专题练习（文）已知点E，F分别是

36、正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A0条B1条C2条D无数条【答案】D【解析】如图所示，作平面KSHG平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于点N，M，连接MN，由面面平行的性质得MN平面ABCD，由于平面KSHG有无数多个，所以平行于平面ABCD的MN有无数多条，故选：D8（2022安徽师范大学附属中学模拟预测（理）如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则（）ABCD【答案】D【解析】由题可知平面与棱柱上，下底面分别交于，则，显然是三

37、棱台，设的面积为1，的面积为S，三棱柱的高为h，解得，由，可得故选：D二、多选题9（2022全国高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（）ABCD【答案】BCD【解析】对于选项A，OQAB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于ABCDMQ，结合线面平行判定定理可知AB平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于ABCDMQ，结合线面平行判定定理可知AB平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于ABCDNQ，结合线面平行判定定理可知AB平面MNQ：故D正确；故选：B

38、CD10（2022全国高三专题练习）在正四面体ABCD中，点O为的重心，过点O的截面平行于AB和CD，分别交BC，BD，AD，AC于E，F，G，H，则 （）A四边形EFGH的周长为8B四边形EFGH的面积为2C直线AB和平面EFGH的距离为D直线AC与平面EFGH所成的角为【答案】BCD【解析】O为 的垂心，连AO延长与CD交于M点，则，周长为6，A错，则，B对将四面体补成一个长方体，则正方体边长为，P，Q分别为AB，CD中点，PQ平面EFGH，A到平面EFGH距离，C对AC与PQ夹角为，则AC与平面EFGH的夹角为，D对故选：BCD11（2022河北石家庄高三阶段练习）已知m，n为异面直线，

39、平面，平面若直线l满足，则（）ABC与相交，且交线平行于lD与相交，且交线垂直于l【答案】BC【解析】由平面，且，所以，又平面，所以，故B正确， 由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，故A错误，如图所示：设，由平面，平面，作，使得与相交，记与构成平面，易知，又直线l满足，与相交，则，故而，则交线平行于l，故C正确，D错误；故选：BC12（2022全国模拟预测）在正方体中，则下列结论正确的是（）A存在，使得B对任意的，都有C对任意的，都有平面D当时，直线与平面所成角的正切值为【答案】ABC【解析】对于A，如图所示连接，当时，即，因为，所以，即，故A正确对于

40、，因为，且，所以平面，平面，所以，因为，且，所以平面，因为平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以，故B正确对于C，因为，又平面，平面，所以平面，易知，平面，平面，所以平面，连接，因为，所以平面平面，因为平面，所以平面，故C正确对于D，易知平面，设垂足为，连接，则直线与平面所成的角为，设该正方体的棱长为1，连接，易知四面体是棱长为的正四面体，当时，点为的中点，所以，故D不正确故选：ABC三、填空题13（2022安徽省含山中学三模（文）三棱锥中，过线段中点E作平面与直线、都平行，且分别交、于F、G、H，则四边形的周长为_【答案】2【解析】因为平面，平面平面，平面ABC，所以EH，又点E为中点，所以EH为三角形ABC的中位线，故同理，所以四边形的周长为2故答案为：214（2022全国高三专题练习（文）如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则_【答案】【解析】连接交于点，连接，平面，平面，平面平面，又，故答案为：15（2022全国高三专题练习）如图，已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1PA1Qx（0 x1）设平面MEF平面MPQl，现有