新高考数学大一轮复习讲义专题22 平面向量的数量积及其应用（解析版）

1、专题22 平面向量的数量积及其应用 【考点预测】一平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的几何意义向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积二数量积的运算律已知向量、和实数，则：；三数量积的性质设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则当与同向时，；当与反向时，特别地，或四数量积的坐标运算已知非零向量，为向量、的夹角结论几何表示坐标表示模数量积夹角

2、的充要条件的充要条件与的关系(当且仅当时等号成立)五、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且【方法技巧与总结】(1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0(2)数量积的运算要注

3、意时，但时不能得到或，因为时，也有(3)根据平面向量数量积的性质：，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题(4)若、是实数，则()；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(5)数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等【题型归纳目录】题型一：平面向量的数量积运算题型二：平面向量的夹角题型三：平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量题型五：平面向量的垂直问题题型六：建立坐标系解决向量问题【典例例题】题型一：平面向量的数量积

4、运算例1（2022全国模拟预测（理）在中，为的外心，则（）A2BC4D【答案】B【解析】【分析】设的中点为D,E，将，变为，根据数量积的几何意义可得，同理求得，根据数量积的定义即可求得答案.【详解】如图，设的中点为D,E，连接OD,OE,则 ,故，即 ,即，故,，即 ,即，故,故,故选：B例2（2022河南安阳模拟预测（理）已知是斜边上的高，点M在线段上，满足，则（）ABC2D4【答案】A【解析】【分析】由结合数量积的运算可得，由是斜边上的高，可得，然后对化简可求得结果【详解】因为是斜边上的高，所以,因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以,故选：A例3（2022全国高三专题练习（理）已知向量

5、满足，则（）ABC1D2【答案】C【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：，又9，故选：C.例4（2022四川省泸县第二中学模拟预测（文）如图，正六边形ABCDEF中，点P是正六边形ABCDEF的中心，则_【答案】2【解析】【分析】找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可.【详解】在正六边形中，点P是正六边形ABCDEF的中心，且,.故答案为：2.例5（2022安徽合肥市第八中学模拟预测（理）已知向量满足，则_【答案】3【解析】【分析】由，得，两边平方化简可得答案【详解】由，得，两边平方，得，因为，所以，得.故答案为：.例6（2022陕西模拟预测（理）已知

6、向量，若，则_【答案】或#或.【解析】【分析】由向量模长坐标运算可求得，由向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】，解得：或；当时，；当时，；或.故答案为：或.例7（2022上海徐汇二模）在中，已知，若点是所在平面上一点，且满足，则实数的值为_【答案】或【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把用表示出来，再用建立方程，解出的值.【详解】由，得，即，在中，已知，所以，即，解得或所以实数的值为或.故答案为：或.例8（2022陕西交大附中模拟预测（理）已知在平行四边形中，则值为_【答案】【解析】【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有，再由结合数量积运算律，即可得结果.【详解】由题设可

7、得如下图：，而，所以，又，所以，则，故，可得，即.故答案为：例9（2022福建省福州第一中学三模）过点的直线与交于A，B两点，当M为线段中点时，_.【答案】-8【解析】【分析】由题意可得在内，又由M为线段中点，由两点间距离公式得,进而求得，再由向量的数量积公式计算即可得答案.【详解】解：因为点在内，所以当M为线段中点时，又因为的半径为4, 所以，所以，所以，.故答案为：-8.例10（2022全国模拟预测（理）已知向量与不共线，且，若，则_.【答案】【解析】【分析】由得，由得，即可求解结果【详解】由得由得，所以则故答案为：例11（2022全国高三专题练习（理）设向量，的夹角的余弦值为，且，则_【

8、答案】【解析】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，所以，所以故答案为：例12（2022江苏徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成的若大正方形的边长为，E为线段BF的中点，则_【答案】4【解析】【分析】利用数量积的几何意义求解.【详解】解：如图所示：设，由题可得，所以，解得过F作BC的垂线，垂足设为Q，故，故答案为：4【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积

9、是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：；公式都可通用异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角），使用范围广泛，通常是求模或者夹角，通常是求最值的时候用题型二：平面向量的夹角例13（2022甘肃高台县第一中学模拟预测（文）已知非零向量，满足，则与夹角为_【答案】#【解析】【分析】根据

10、已知求出，即得解.【详解】解：因为，所以.因为，所以，所以.设与夹角为，所以.因为，所以.例14（2022安徽合肥一六八中学模拟预测（文）已知向量，向量，且，则向量的夹角为_.【答案】#【解析】【分析】由两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量的夹角【详解】因为，所以因为，所以，又，所以，所以，向量的夹角为,则所以，则.故答案为：.例15（2022湖北武汉模拟预测）两不共线的向量，满足，且，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断，整理后可知只能为0，即可解得答案.【详解】解：由题意得：，即，即故选：C例16（2022云南师大附

11、中模拟预测（理）已知向量，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】求出的坐标，求得当与共线时，根据向量与向量的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案.【详解】因为，又与的夹角为钝角，当与共线时， ，所以且与的不共线，即且，所以，故选：D例17（2022广东深圳高三阶段练习）已知向量，则与夹角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】化简向量，根据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解.【详解】由知，故，记与的夹角为，则故答案为：.例18（2022全国高三专题练习）已知向量，若，则（）ABC5D6【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公

12、式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,即,解得,故选：C例19（2022湖南长沙市明德中学二模）已知非零向量、满足，则向量与向量夹角的余弦值为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据，设，根据求出，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为，所以可设，则，因为，所以，即.则，故选：A.例20（2022辽宁大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A30B60C120D150【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；【详解】解：因为，为单位向量，所以， 又，所以，即，所以，即，所以，所以，因为，所以；故选：C例21（2022北京市大兴区兴华中学三

13、模）已知为单位向量，向量，且，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求出和，然后利用向量的夹角公式可求出结果【详解】因为为单位向量，向量，且，所以，所以，因为，所以，故选：B例22（2022全国模拟预测（理）已知平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，若，则与的夹角的余弦值为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用向量与互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果.【详解】平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，则且，得，又，则，将平方得，解得，,则，设与的夹角为，则，故选：A.例23（多选题）（2022福建省福州格致中学模拟预测

14、）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（）ABCD与可以作为平面内的一组基底 【答案】ABD【解析】【分析】根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可【详解】据题意因为所以,所以对因为,所以,所以对.因为所以,所以错因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以正确故选：ABD例24（多选题）（2022江苏模拟预测）已知向量，则（）A若，则B若，则C的最小值为D若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A，利用向量坐标的表示可判断B，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C

15、，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D.【详解】对于A，因为，所以，解得，所以A正确.对于B，由，得，则解得，故，所以B正确.对于C，因为，所以，则当时，取得最小值，为，所以C正确.对于D，因为，向量与向量的夹角为锐角，所以，解得；当向量与向量共线时，解得，所以的取值范围是，所以D不正确.故选：ABC.例25（2022河南通许县第一高级中学模拟预测（文）已知，是单位向量，若，则，的夹角的余弦值为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】由题意知，即，所以.故选：D.例26（2022安徽师范大学附属中学模拟预测（

16、理）非零向量满足，则与的夹角为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算作答.【详解】由得：，即，解得，因此，而，解得，所以与的夹角为.故选：B例27（2022内蒙古海拉尔第二中学模拟预测（文）已知向量，为单位向量，则与的夹角为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由题干条件平方得到，从而得到，得到与的夹角.【详解】由，两边平方可得：，因为向量，为单位向量，所以，即.因为，所以，即与的夹角为.故选：C【方法技巧与总结】求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角.题型三：平面向量的模长例28（2022福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量、满足，则_【答案】【

17、解析】【分析】由已知条件可得出，根据平面向量的数量积可求得、的值，结合平面向量的数量积可求得的值.【详解】由已知可得，则，即，因为，则，所以，因此，故.故答案为：.例29（2022辽宁沈阳三模）已知平面向量满足，则_【答案】【解析】【分析】由题意得，直接平方即得结果.【详解】由可得，两边同时平方得，解得.故答案为：.例30（2022全国高三专题练习（文）已知向量，则（）A2B3C4D5【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D例31（2022江苏扬中市第二高级中学模拟预测）已知 与为单位向量，且，向量满足，则|的可能取值有（）A6B5C4D3【答案】D【解析】【分

18、析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得，进而由向量模的计算公式可得，分析可得在以为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案【详解】根据题意，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系，则，设，则，若，则有，则在以为圆心，半径为2的圆上，设为点，则，则有，即，则的取值范围为；故选：D例32（2022江苏南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，且与的夹角为，则（）ABCD3【答案】C【解析】【分析】由求解.【详解】解：因为，且与的夹角为，所以，故选：C例33（2022河南开封市东信学校模拟预测（理）已知非零向量，的夹角为，则_.【答案】2【解析

19、】【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可【详解】由得，解得.故答案为：2例34（2022全国高三专题练习）已知三个非零平面向量，两两夹角相等，且，求【答案】或9【解析】【分析】由三个非零平面向量，两两夹角相等得 或，再分别计算求解即可【详解】因为三个非零平面向量，两两夹角相等，所以或 当时， 当，即，共线时故答案为：或9例35（2022全国高三专题练习）已知，与的夹角为，求及的值【答案】，.【解析】【分析】利用向量数量积定义可求得，由向量数量积的运算律可求得和，由此可得结果.【详解】，.例36（2022福建泉州模拟预测）已知向量,，若的夹角为，则=_.【答案】【解析】【分析】根据平面向量

20、的夹角公式可求出结果.【详解】由,得,得.故答案为：.【方法技巧与总结】求模长，用平方，.题型四：平面向量的投影、投影向量例37（2022新疆克拉玛依三模（理）设，是两个非零向量，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，则叫做向量在向量上的投影向量.如下图，已知扇形的半径为1，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则弧的中点的坐标为_；向量在上的投影向量为_ .【答案】 【解析】【分析】由已知，根据给到的，先求解与的夹角，然后再利用点是弧的中点，即可求解出，从而求解点的坐标；根据前面求解出的点的坐标，写出和，先计算向量在上的投影，然后根据即可写出向量在上的投影向量.【详解】由已知，所

21、以，所以，因为点为弧的中点，所以，扇形的半径为1，所以弧满足的曲线参数方程为，所以中点的坐标为，所以的坐标为，向量在上的投影为，因为，所以向量在上的投影向量为.故答案为：；例38（2022江西鹰潭二模（文）已知向量，则在方向上的投影为_【答案】【解析】【分析】根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以在方向上的投影为， 故答案为：例39（2022江西南昌市八一中学三模（理）已知向量，且在上的投影等于，则_.【答案】4【解析】【分析】根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号.【详解】因为在上的投影等于，即所以，且，解得.故答案为：4例40（2022江苏淮安

22、模拟预测）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（）A-1B2C3D【答案】C【解析】【分析】先利用在上的投影为1求出，然后可求在上的投影.【详解】因为，在上的投影为1，所以，即；所以在上的投影为；故选：C.例41（2022四川成都三模（理）在中，已知，则向量在方向上的投影为（）AB2CD【答案】C【解析】【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得、，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设，则，可得，所以向量在方向上的投影为.故选：C例42（2022广西桂林二模（文）已知向量，则在方向上的投影为（）ABC1D2【答案】B【解析】【分析】利用向量的投影公式直接计算即可【详解】向量，则在方向上的投影

23、为，故选：B例43（2022内蒙古呼和浩特二模（理）非零向量，满足，与的夹角为，则在上的正射影的数量为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量，满足，则，即，又与的夹角为，所以在上的正射影的数量.故选：D例44（2022辽宁渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据投影向量公式，即可求解.【详解】，因为，所以，所以在方向上的投影向量为.故选：A例45（2022海南华侨中学模拟预测）已知平面向量，的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（）ABCD【答案】C【解析

24、】【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】解：因为平面向量，的夹角为，且，所以在方向上的投影向量为 ，故选：C题型五：平面向量的垂直问题例46（2022海南海口二模）已知向量，的夹角为45，且，若，则_【答案】-2【解析】【分析】先利用数量积的运算求解，再利用向量垂直数量积为0即可求解.【详解】因为得，又因为，所以，所以故答案为：-2.例47（2022广东茂名二模）已知向量（t，2t），（t，1），若（）（+），则t_【答案】【解析】【分析】由（）（+），由垂直向量的坐标运算可得出，再由模长的公式即可求出.【详解】因为（）（+），所以，所以，则，所以，所以.故答案为：例48（2022青海玉树高

25、三阶段练习（理）已知向量，若，则_【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解.【详解】 ，所以 故答案为：例49（2022河南开封模拟预测（理）已知两个单位向量与的夹角为，若，且，则实数（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知即可求m的值.【详解】由题意，又与的夹角为且为单位向量，所以，可得.故选：A例50（2022河南安阳模拟预测（文）已知向量，其中，若，则_【答案】【解析】【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可.【详解】因为，所以，即，因为，所以，因此，所以，故答案

26、为：例51（2022全国模拟预测（文）设向量，若，则_.【答案】【解析】【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解【详解】，由题意得，即，得.故答案为：【方法技巧与总结】 题型六：建立坐标系解决向量问题例52（2022山东淄博三模）如图在中，为中点，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，又，则，即，即，则，则，则；故选：C例53（2022贵州贵阳模拟预测（理）在边长为2的正方形中，是的中点，则（）A2BCD4【答案】A【解析】【分析】建立直角坐标系，用向量法即可【详解】在平面直角坐标系中以为原点，所

27、在直线为轴建立坐标系，则，所以，故选：A例54（2022江苏模拟预测）如图，在平面四边形中，分别为，的中点，若，则实数的值是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据题意得分别求出和的坐标，再分别求出和的坐标，再利用数量积坐标运算求解即可.【详解】根据题意得：，,因为，分别为，的中点，所以，所以，又，即，解得.故选：D.例55（2022四川南充三模（理）在中，CN与BM交于点P，则的值为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.【详解】解：建立如图直角坐标系，则,得,所以，故选：D.例56（多选题）（2022山东聊城三模）在平面四边形中，

28、则（）ABCD【答案】ABD【解析】【分析】根据所给的条件，判断出四边形内部的几何关系即可.【详解】因为，可得，所以为等边三角形，则 ，故A正确；因为，所以，又，所以 ，得，所以，则，故B正确；根据以上分析作图如下：由于与不平行，故C错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则，所以，故D正确；故选：ABD.例57（多选题）（2022湖南长郡中学模拟预测）已知向量满足，则可能成立的结果为（）ABCD【答案】BCD【解析】【分析】不妨设，动点A在以原点为圆心2为半径的圆O上，动点B在以C为圆心，1为半径的圆上，利用坐标法，即可求解.【详解】对于选项A、B，由题意，设，不妨设，如图，动点A在以原点为圆

29、心2为半径的圆O上，动点B在以C为圆心，1为半径的圆上，且满足，圆C方程是当B在圆C上运动时，由，得，当且仅当O，A，B三点共线时取等号，又由图易知，即，故选项A不满足，选项B满足；对于选项C、D，设，则，由，解得，又即，选项C，D满足.故选：BCD例58（多选题）（2022湖南长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（）ABCD【答案】ABC【解析】【分析】分

30、别以所在的直线为轴和轴，建立的平面直角坐标系，作，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，分别以所在的直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为正八边形，所以，作，则，因为，所以，所以，同理可得其余各点坐标，对于A中，故A正确；对于B中，故B正确；对于C中，所以，故C正确；对于D中，故D不正确.故选：ABC.例59（2022江苏南京模拟预测）在中，为的重心，在边上，且，则_【答案】【解析】【分析】根据为的重心，得到，再由和，利用等面积法求得，进而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】解：因为为的重心，所以，

31、因为，所以，则，因为，所以，即，所以，在中，方法一：因为，所以，方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，由方法一可知，所以例60（2022北京北大附中三模）已知正方形的边长为是的中点，点满足，则_；_.【答案】 【解析】【详解】解：以A为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，所以，设，所以，因为，所以，所以，又，所以.故答案为：；10.例61（2022天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形中，E，F分别为，上的点，若线段上存在一点M，使得，则_，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为_.【答案】 【解析】【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M

32、坐标然后可得，再用坐标表示出，由二次函数性质可得所求范围.【详解】因为为菱形，所以，以BD、AC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，因为，所以则，设因为，所以解得，所以又所以因为，所以当时，有最小值，当时，有最大值，所以的取值范围为故答案为：，【方法技巧与总结】 边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆建系必备（1）三角函数知识；（2）向量三点共线知识【过关测试】一、单选题1（2022山东潍坊模拟预测）定义：，其中为向量与的夹角若，则等于（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由向量数量积定义可构造方程求得，由此可得，根据可求得结果.【详解】

33、，又，.故选：D.2（2022全国哈师大附中模拟预测（文）已知中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，得到，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的线性运算法则，可得，因为，且为的中点，可得，所以，又因为点D，E分别是边AB，BC的中点，且，所以，则.故选：B.3（2022江苏扬州中学模拟预测）已知向量，若，则（）AB2C8D【答案】A【解析】【分析】根据向量平行的条件及向量的摸的坐表示即可求解.【详解】由，得，解得.所以，所以.故选：A.4（2022北京潞河中学三模）已

34、知菱形的边长为，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：，则.故选：A.5（2022内蒙古赤峰模拟预测（理）若向量，满足，则与的夹角为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据数量积的运算律得到，再根据计算可得；【详解】解：因为，所以，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以；故选：B6（2022内蒙古满洲里市教研培训中心三模（文）若，下列正确的是（）ABC方向上的投影是D【答案】C【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断BC，根据向量的投影的定义判断C.【详解】由已知，所以，因为，所以不平行，A错，因为

35、，所以不垂直，B错，因为方向上的投影为，C对，因为，所以不垂直，D错，故选：C.7（2022江苏苏州模拟预测）在中，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量的加法的几何意义进行求解即可.【详解】设，因为所以有，因此，因为，所以，故选：B8（2022全国二模（理）已知向量，若满足，则向量的坐标为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示，联立方程组求解即可得答案.【详解】解：因为向量，所以，又，所以，解得，所以向量的坐标为，故选

36、：D.9（2022山东济南三模）已知单位向量、，满足，则向量和的夹角为()ABCD【答案】A【解析】【分析】将两边平方再根据向量数量积的运算法则即可求解【详解】，故选：A10（2022河北邯郸二模）若向量，满足，且，则向量与夹角的余弦值为（）.ABCD【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为，且，所以，因为，所以向量与夹角的余弦值为，故选：D11（2022全国模拟预测）已知平面向量，若，则与的夹角为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据解得，再结合平面向量的夹角公式计算即可【详解】由可得，即，解得，所以，则又所以与的夹角为故选：

37、B.12（2022河南安阳模拟预测（理）如图，在等腰直角中，斜边，M为AB的中点，D为AC的中点将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由，结合即可求解.【详解】易得，D为线段EF中点，则，则，又，则.故选：D.13（2022河南安阳模拟预测（文）在中，点D在边上，且，若，则（）AB3C2D1【答案】B【解析】【分析】先用表示出，再由求得，即可求解.【详解】由题意知：，则，即，则，即.故选：B.14（2022湖南长沙县第一中学模拟预测）已知ABC中，AB=4，AC=6，且，则（）A12B14C16D18【答案】B【解析】【分析】以，为基底表示，再与求数量积即

38、可【详解】解：，且所以：故选：B.二、多选题15（2022辽宁实验中学模拟预测）已知平面向量，且，满足，若则可能的取值为（）A4B8C12D16【答案】CD【解析】【分析】因为，且，所以不妨设，然后设由，得点位置（轨迹），分类讨论求出的范围，得出正确选项【详解】因为，且，所以不妨设，如图，设因为， 则点在轴负半轴或射线上（不含原点），显然当在在轴负半轴的点时，不满足，因此满足的点在射线上（不含原点），由得，即，所以，只有CD满足故选：CD16（2022湖南长沙一中模拟预测）已知,其中，则以下结论正确的是（）A若，则B若，则或 C若，则D若，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由得，得或或，

39、故A不正确；对于B，由得，得或，故B正确；对于C，根据平面向量数量积的运算律求出，故C正确；对于D，根据平面向量数量积的运算律求出，故D正确.【详解】对于A，若，则，则，因为，所以，则或或，故A不正确；对于B，若，则，则，因为，所以，所以或，所以或，故B正确；对于C，则，故C正确；对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.故选：BCD.17（2022全国高三专题练习）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（）ABC若，则D【答案】AB【解析】【分析】A利用平面向量的数量积运算判断；B.利用平面向量共线定理判断；C.利用平面向量数量积的运算律判断；D.利用平面向量的共线定理判断.【详解】A.

40、因为，所以，则，故正确；B. 若为非零平面向量，且，由共线向量定理知：，故正确；C.若，则，则，故错误；D. 与共线，与共线，故错误；故选：AB18（2022全国模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则C的最小值为7D若，则与的夹角为钝角【答案】AC【解析】【分析】通过计算得到选项A正确，选项B错误；，所以选项C正确；当时，与的夹角不为钝角，故选项D错误【详解】解： 若，则，解得，故选项A正确；若，则，解得或，故选项B错误；由题得，故，当且仅当时取得最小值，故选项C正确；当时，与的夹角不为钝角，故选项D错误故选：AC19（2022辽宁东北育才学校二模）对于非零向量，定义运算“

41、”，.已知两两不共线的三个向量，则下列结论正确的是（）A若，则BCD【答案】AC【解析】【分析】A. 由运算“”，求解判断； B.举例求解判断； C.设的夹角为，则的夹角为，由运算“”，求解判断；D.举例，由运算“”，求解判断；【详解】A. 因为，所以，则，故正确；B. 若，则，所以，故错误；C.设的夹角为，则的夹角为，所以，则，故正确；D. 若，则，所以 ，故错误；故选：AC20（2022山东日照模拟预测）已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点，逆时针旋转，后分别得到点，则（）ABCD点的坐标为【答案】ABD【解析】【分析】利用题目中的新定义和向量的坐标运算可得到各个点的坐标，以及各个向量的坐标，然后对各个选项进行计算检验即可.【详解】点，点，,把点B绕点A沿顺时针方向旋转(即按逆时针方向旋转 ) 后得到点，,可得，故D正确；把点B绕点A沿逆时