专题6-1 数列递推与通项公式22种归类-高考数学一轮复习题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

1、 42/42专题6-1 数列递推与通项公式22种归类目录一、热点题型归纳TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc17533 【题型一】归纳法求通项 PAGEREF _Toc17533 2 HYPERLINK l _Toc24080 【题型二】等差等比定义型 PAGEREF _Toc24080 4 HYPERLINK l _Toc26705 【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型 PAGEREF _Toc26705 6 HYPERLINK l _Toc22156 【题型四】累加法拔高：换元累加型 PAGEREF _Toc22156 7 HYPERLINK l _Toc28

2、437 【题型五】累加法拔高：构造 PAGEREF _Toc28437 8 HYPERLINK l _Toc7485 【题型六】累积法 PAGEREF _Toc7485 9 HYPERLINK l _Toc1834 【题型七】前n项和型 PAGEREF _Toc1834 11 HYPERLINK l _Toc6432 【题型八】二阶等比 PAGEREF _Toc6432 12 HYPERLINK l _Toc11576 【题型九】二阶等差数列 PAGEREF _Toc11576 13 HYPERLINK l _Toc10097 【题型十】sn与an型：消sn型 PAGEREF _Toc1009

3、7 14 HYPERLINK l _Toc6131 【题型十一】sn与an型：消an型 PAGEREF _Toc6131 15 HYPERLINK l _Toc24790 【题型十二】分式倒数递推 PAGEREF _Toc24790 16 HYPERLINK l _Toc20262 【题型十三】新数列前n项和型 PAGEREF _Toc20262 18 HYPERLINK l _Toc8384 【题型十四】高次幂取对数型 PAGEREF _Toc8384 19 HYPERLINK l _Toc12291 【题型十五】二阶含n等比数列型 PAGEREF _Toc12291 20 HYPERLIN

4、K l _Toc10488 【题型十六】二阶含n等差数列型 PAGEREF _Toc10488 21 HYPERLINK l _Toc28937 【题型十七】因式分解型 PAGEREF _Toc28937 22 HYPERLINK l _Toc19062 【题型十八】三阶递推 PAGEREF _Toc19062 23 HYPERLINK l _Toc2558 【题型十九】前n项积求通项 PAGEREF _Toc2558 24 HYPERLINK l _Toc1513 【题型二十】函数型递推 PAGEREF _Toc1513 25 HYPERLINK l _Toc18638 【题型二十一】周期数

5、列 PAGEREF _Toc18638 27 HYPERLINK l _Toc27043 【题型二十二】奇偶讨论型 PAGEREF _Toc27043 28 HYPERLINK l _Toc25164 二、真题再现 PAGEREF _Toc25164 29 HYPERLINK l _Toc24516 三、模拟检测 PAGEREF _Toc24516 34综述：数列求通项以及递推公式的方法和数学思想是学生学习数列思的比较好的切入点。数列大题第一问往往也考察递推公式为主的求通项。这也是第一轮复习的重点之一。【题型一】归纳法求通项【典例分析】（2021全国高三课时练习）根据下面的图形及相应的点数，写

6、出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.（1） _161116( )（2） _14710( )（3） _381524( )【答案】 21 13 35【分析】结合图中点的规律即可写出一个通项公式以及横线处所需填的数值.【详解】（1）设第个图形的点数为，第个图形有5个分支,每个分支有个点，中间的一个是重复，共计算5次，则，；（2）设第个图形的点数为，第个图形有3个分支,每个分支有个点，中间的一个是重复，共计算3次，则，；（3）设第个图形的点数为，由图可知，第个图形横方向上有个点，竖方向上有个点，则，.2.（2021江苏高三专题练习）数列的一个通项公式为_.【答

7、案】【分析】根据数列各项所满足的规律可写出结果.【详解】，一个通项公式为：.故答案为：.【提分秘籍】基本规律先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.一般这类题，选择题很少，因为可以代特殊值求解。【变式演练】1.（2021全国高三课时练习）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式_【答案】【分析】观察图中点数增加规律是依次增加5，可得求解。【详解】第一图点数是1；第二图点数 ;第三图是 ；第四图是则第个图点数故答案为：2.（2018全国高三课时练习）若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是A BC

8、D【答案】D【详解】试题分析：把分别代入A，B，C，D四个选项，A，B，C均成立在中，故D不成立，故选D3.（2018上海市杨浦高级中学高三期末）已知数列、，可猜想此数列的通项公式是（）.ABCD【答案】D【分析】利用赋值法逐项排除可得出结果.【详解】对于A选项，不合乎题意；对于B选项，不合乎题意；对于C选项，不合乎题意；对于D选项，当为奇数时，此时，当为偶数时，此时，合乎题意.故选：D.【题型二】等差等比定义型【典例分析】（2022全国高三课时练习）在数列中，则数列的通项公式为_【答案】【分析】根据给定条件可得数列是等差数列，求出其通项即可计算作答.【详解】由得：，而，于是得数列是以为首项，

9、为公差的等差数列，则有，所以数列的通项公式为：.故答案为：【提分秘籍】基本规律等差数列判定：定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an1an定值；等差中项法：即证2an1anan2； 函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.等比数列的判定方法：(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证eq f(an1,an)q(q0的常数)数列an是等比数列；(2)等比中项法：即证aeq oal(2,n1)anan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列【变式演练】1.（2022河南模拟预测（文）已知数列是单调递增的等差数列，若它的前5项的和为105，第2项第4项第8项成等比数列，则它

10、的通项公式为（）A或BCD【答案】C【分析】根据题意列出方程组求解首项与公差即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意可得,解得，所以.故选：C2.（2019北京临川学校高三阶段练习（理）成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、后成为等比数列中的、，则数列的通项公式为ABCD【答案】A【详解】设成等差数列的三个正数为，即有，解得，由题意可得，8，成等比数列，即有，解得（舍去），可得公比为2，则数列的通项公式为，故选A.3.（2021甘肃静宁县第一中学高三阶段练习（文）数列的各项都是正数，那么此数列的通项公式为_【答案】【分析】，即，可得：数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可

11、得出【详解】解：，即，数列是等差数列，公差为2，首项为4，故答案为：【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型【典例分析】（2022全国高三专题练习）已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（）ABCD【答案】B【分析】根据题意列方程组求出，从而可求出，然后利用累加法可求出数列的通项公式【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，故选：B【提分秘籍】基本规律累加法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项.其中f（n）是常见可求和的数列通项，如等差，等比，和裂项型求和【变式演练】1.（2020湖南长郡中学三模（文

12、）已知等比数列满足，且成等差数列若数列满足（nN*），且，则数列的通项公式ABCD【答案】B【分析】利用题意可得，再利用累加法即可得到通项公式.【详解】设等比数列的公比为，等比数列满足，又成等差数列，即，.故选B2.（2020内蒙古包头市第六中学高三期中）在数列an中,a1=3, ,则通项公式an = _.【答案】【分析】变换得到，利用累加法计算得到答案.【详解】，故.故答案为：.【题型四】累加法拔高：换元累加型【典例分析】在数列中，则（ ）ABCD全国卷2021届高三高考临考仿真冲刺卷数学（文）试题（四）【答案】D【详解】由题意得，则，由累加法得，即，则，所以，故选：D【提分秘籍】基本规律通

13、过换元，转化为累加求通项，最后再反解回去。【变式演练】1.已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）A B C数列的最小项为和 D数列的最大项为和【答案】C【详解】令，则，又，所以， ，所以累加得，所以，所以，所以当时，当时，即，当时，即，所以数列的最小项为和，故选：C.2.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合. 【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为，所以.因为，所以，于是.当时，所以.（2）因为，所以是递增数列.因为，所以，于是所有正整数的取值集合为.【题型五】累加法拔高：构造【典例分析】已知数列满足，则数列的通项公式_人教A版（2

14、019） 选择性必修第二册 过关斩将 第四章 数列 专题强化练3 数列的递推公式及通项公式【答案】【详解】易知，由，得，当时，有，将以上个等式相加得，又，经验证，当时符合上式，【变式演练】1.已知数列满足，则_. 【答案】2020【详解】因为，所以，式子两端除以，整理得：，即为常数列.因为，所以，所以，所以.故答案为：20202.已知数列满足，则的最小值是（ ）ABC1D2 【答案】C【详解】因为，所以，即，则，当时，上式成立，故，设，则，故数列是单调递增数列，则当时，即的最小值为1.故选：C.【题型六】累积法【典例分析】（2023全国高三专题练习）数列满足：，则的通项公式为_.【答案】【分析

15、】先由条件得，再结合累乘法求得的通项公式即可.【详解】由得，则，即，又，所以.故答案为：.【提分秘籍】基本规律对于递推公式为，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为，一般利用累加法求出数列的通项公式；【变式演练】1.（2020上海黄浦高三期末）已知数列（）满足，且，则通项公式_.【答案】【解析】由，得，再由累乘法求，注意验证时是否成立.【详解】由，得当时，.,以上各式两端分别相乘，得,即，.又，适合上式.故答案为：.2.（2020广东广州市天河外国语学校高三期中）若数列满足则数列的通项公式_.【答案】【解析】利用累乘法求出数列的通项公式；【详解】解：，故答案为：【题型七】前n项和型【

16、典例分析】（2021全国高三专题练习（文）数列的前项和为，若，且，成等比数列，则该数列的通项公式为（）ABCD【答案】D【分析】根据，及等比中项的性质计算可得；【详解】解：因为所以当时，由，成等比数列，则，解得，此时；当时，满足上式，所以，故选：D【提分秘籍】基本规律若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.【变式演练】1.（2022全国高三专题练习）已知数列的前项和为，则的通项公式为_【答案】【分析】根据与的关系即可求解.【详解】当时，当时，另时，此式不满足，所以的通项公式为.故答案为：.2.（2021天津市红桥区教师发展中心高三期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式是_

17、.【答案】【分析】根据求出首项、第二项，从而得出公比，从而求出数列的通项公式.【详解】解：当时，所以，当时，即得到，因为，所以当时，得，当时，不满足，所以，故答案为：.【题型八】二阶等比【典例分析】（2019浙江余姚中学高三阶段练习）已知数列满足，则通项公式_.【答案】【分析】先取倒数可得,即,由等比数列的定义可得时,即,再检验时是否符合即可【详解】由题,因为,所以,所以, 当时,所以,所以当时,则,即,当时,符合,所以,故答案为:【提分秘籍】基本规律二阶等比构造法有两种方法：1.形如 为常数）,构造等比数列。特殊情况下，当q为2时，=p，2.形如，变形为，新数列累加法即可【变式演练】1.（2

18、021贵州遵义市第五中学高三阶段练习）设数列满足，则的通项公式_.【答案】【分析】依题意得，所以是等比数列，进而可得结果.【详解】由得，又，所以，数列是首项为1，公比为的等比数列.则，所以.故答案为：2.（2021宁夏六盘山高级中学高三期中（理）已知数列an中，a1=1，an=3an1+4（nN*且n2），则数列an通项公式an为A3n1B3n+18C3n2D3n【答案】C【详解】在an=3an1+4两边同时加上2，得an+2=3an1+6=3(an1+2)，根据等比数列的定义，数列an+2是等比数列，且公比为3.以a1+2=3为首项等比数列an+2的通项an+2=33n1=3n，移向得an=

19、3n2.故选C.【题型九】二阶等差数列【典例分析】已知数列an,bn满足a1=1，(1)求证：数列bn是等差数列，并求出数列a(2)略【答案】（）an试题解析：（）证明：bn+1=4an2an1故2n=22a【变式演练】1.已知数列有，是它的前项和，且（1）求证：数列为等差数列.（2）略.【答案】（1）公差为6的等差；【详解】（1）当时，所以，两式对应相减得，所以又n=2时，所以，所以，所以数列为等差数列.2.在数列中，.（1）求，；（2）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；【答案】（1）（2）【详解】（1）由题得，则，即，解得，又，则，即，解得.（2），且，数列是以3为首项，2为公差的

20、等差数列，.【题型十】sn与an型：消sn型【典例分析】（2022云南二模（文）已知数列的前n项和为.若，则数列的通项公式为_.【答案】【分析】根据数列的关系，分讨论，构造等比数列求解.【详解】由，可知，当时，相减可得：，数列从第二项起是以9为首项，以3为公比的等比数列，当时，不满足.，故答案为：【提分秘籍】基本规律与的递推关系求，常用思路是：利用转化为的递推关系，再求其通项公式；时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.【变式演练】1.（2021江西赣州一模（理）记为数列的前n项和若，则数列的通项公式为_【答案】【分析】将已知关系式化为，然后再写出第项的关系式，两

21、式作差何解可得，进而可以求解【详解】解：因为，则所以可得，所以，即，所以，所以，故答案为：2.（2022全国高三专题练习（文）已知数列的前项和为，若，且，则数列的通项公式为_.【答案】【分析】项和转换可得，可得数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式，分段表示即得解【详解】由题意，故两式相减可得：，在中，令，可得，即因此数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列有故答案为：【题型十一】sn与an型：消an型【典例分析】（2021江苏高三课时练习）已知数列的前n项和为，且满足，则的通项公式为_【答案】【分析】由，可得，即可得到是以4为首项，4为公差的等差数列，即可求

22、出，再根据计算可得；【详解】解：数列的前n项和为，且满足，整理得：，故（常数），所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列；所以，整理得，当时，故，显然不符合，所以故答案为：【提分秘籍】基本规律与的递推关系求，也可以结合式子结构与数据，利用转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式【变式演练】1.（2020辽宁高三阶段练习）已知数列的各项均为正数，其前项和为，若，且，则数列的通项公式为_【答案】【分析】由代入化简得，故可求，代入即可求解【详解】因为，因为，所以，所以，因为，所以，所以当时，又由，符合，故故答案为：2.（2021全国高三课时练习）已知各项为正数的数列的前项和为，且，则

23、数列的通项公式为_.【答案】【分析】先由题干求出是以为首项，公差为的等差数列，并且求得，进而写出数列的通项公式.【详解】解：，当时，由，可得，即.是以为首项，公差为的等差数列.当时，.当时，上式成立.故数列的通项公式为.故答案为：.【题型十二】分式倒数递推【典例分析】（2020山西怀仁市大地学校高中部高三阶段练习（文）在数列中，且，则其通项公式为（）ABCD【答案】D【解析】先由得出，再由累加法计算出，进而求出.【详解】解：，化简得：，两边同时除以并整理得：，即，将上述个式子相加得：，即，又也满足上式，.故选：D.【提分秘籍】基本规律形如，可以取倒数变形为【变式演练】1.（2021全国高三专题

24、练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（）ABCD【答案】C【解析】由，化简得，根据等差数列的定义，得到以数列表示首项为1，公差为的等差数列，求得，进而求得以数列的通项公式.【详解】由题意，数列满足，取倒数可得，又由，所以，所以数列表示首项为1，公差为的等差数列，所以，所以数列的通项公式为.故选：C.2.（2022全国高三专题练习）已知在数列中，则数列的通项公式为_.【答案】【分析】把已知数列递推式取倒数，然后变为，可得数列是等比数列，求其通项公式后可得数列的通项公式.【详解】由题意，取倒数得，即，又，所以，数列是公比为的等比数列，故，所以.故答案为：.【题型十三】新数列前n项和型【典例分

25、析】.（2023全国高三专题练习）数列满足：，则数列的通项公式_.【答案】【解析】当时，作差即可得到，再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为；当时，；减得，即，所以，所以，所以所以，所以，所以，又，所以，当时也成立，所以。故答案为：【提分秘籍】基本规律形如，可以设【变式演练】1.（2020四川宁南中学高三开学考试（理）数列满足， ，写出数列的通项公式_.【答案】【分析】当时，有，作差可求出，再验证是否成立，即可得出答案.【详解】当时，由,所以，可得，所以，当时，所以，不满足上式，所以.故答案为： 2.（2019江苏高三专题练习）已知，则数列的通项公式_【答案】【分析】将记为，利用

26、，求解出的通项公式，注意验证是否符合时的情况.【详解】令，则，当时，；当时，通项公式.故答案为.【题型十四】高次幂取对数型【典例分析】（2021全国高三课时练习）已知数列，则数列的通项公式为_.【答案】【分析】取对数，化简运算可得，利用累乘法求出，即可求解.【详解】因为，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，所以，也符合，所以.故答案为：【提分秘籍】基本规律形如，可以 通过取对数构造等比数列求通项公式【变式演练】1.（2021全国高三课时练习）设正项数列满足，则数列的通项公式是_【答案】【分析】将等式两边同时取对数后，转化为的形式，再利用构造法求通项公式【详解】原式两边同时取对数，得，即设，则

27、，又，所以是以2为公比，1为首项的等比数列，所以，所以，所以故答案为：.2.（2020上海市进才中学高三期末）数列中，若，则的通项公式为_.【答案】【分析】两边取对数，化简整理得，得到数列是以为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.【详解】由，两边取对数，可得，即，又由，则，所以数列是以为首项，公比为3等比数列，则，所以.故答案为：【题型十五】二阶含n等比数列型【典例分析】（2021全国高三课时练习）已知数列满足，则数列的通项公式_.【答案】【分析】构造等比数列，利用条件求解出其中的值，再通过等比数列的公比和首项求解出的通项公式，即可求解出的通项公式.【详解】设将代入式，

28、得，等式两边消去，得，两边除以，得，则，代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以.故答案为.【提分秘籍】基本规律形如，可以构造等比数列求通项。通过配凑构造等比，如果配凑不容易观察，可以待定系数来构造【变式演练】1.（2023全国高三专题练习）已知数列满足，数列满足，则数列的通项公式为_【答案】【分析】由，可得，即，从而可得数列是等比数列，从而可得数列的通项公式.【详解】解：，即,且，则,又，数列是首项为，公比为3的等比数列故答案为：.2.（2021江西高三阶段练习（理）已知首项为的数列的前项和为，若，则的通项公式为_【答案】【分析】由题知，进而得，所以数列是首项为

29、3，公比为3的等比数列，进而根据等比数列通项公式计算即可.【详解】解：依题意，故，则，又，故数列是首项为3，公比为3的等比数列，故，即答案为：【题型十六】二阶含n等差数列型【典例分析】（2022全国高三专题练习）已知数列an中，a11，则数列an的通项公式an_.【答案】【分析】根据已知可得是等差数列，即可求出通项公式.【详解】，两边同除以，得1.又a11，是以首项为，公差为1的等差数列，(n1)1n，即.故答案为：.【提分秘籍】基本规律形如，可以同除来构造等差数列求通项。，【变式演练】1.（2017四川泸州一模（理）已知数列的前项和（），则数列的通项公式_【答案】【详解】因，故，以上两式两边

30、相减可得，即，也即，所以，即，应填答案2.（2023全国高三专题练习）已知数列中，求数列的通项公式_【答案】【分析】由已知条件可得，从而可得数列是等差数列，求出其通项公式后化简即可得到.【详解】，数列是等差数列，公差为，又，.故答案为：.【题型十七】因式分解型【典例分析】（2023全国高三专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=_【答案】【分析】由条件可得，化简得，再由递推即可得到所求通项.【详解】由，得， ，又满足上式，.故答案为：.【变式演练】1.（2023全国高三专题练习）设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_【答案】【分析】由已知条件化简可得，再由递推累乘法可得，

31、最后检验是否符合即可.【详解】依题意，所以，又因为，所以，所以，所以，经检验，也符合上式. 所以.综上所述， .故答案为： .2.（2023全国高三专题练习）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式_.【答案】【分析】由条件有，由数列为正项数列，即得，然后利用累乘法可求出数列的通项公式.【详解】由，则又数列为正项数列，即，所以，即 所以。故答案为：【题型十八】三阶递推【典例分析】（2022全国高三课时练习）已知数列满足，且（，），则数列的通项公式为_【答案】【分析】由，得到为等比数列，求得，进而得到，令，化简得到数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.【详解】由，可得，即，所以

32、是以为首项，3为公比的等比数列，所以，则不妨令，则，所以，即，又由，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以故答案为：.【提分秘籍】基本规律形如，常凑配系数构等比数列。【变式演练】1.（2021江苏泰兴市第一高级中学高三期中）已知是数列的前项和，求数列的通项公式_.【答案】【分析】根据已知条件构造，可得是公比为的等比数列，即，再由累加法以及分组求和即可求解.【详解】因为，所以，因此，因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，所以当时，以上各式累加可得：，因为，所以；又符合上式，所以.故答案为：.2.（2021江苏高三单元测试）在数列中，且对任意的，都有，则数列的通项公式为_

33、【答案】#【分析】依题意可得，即可得到是首项为2，公比为2的等比数列，从而得到，再利用累加法计算可得；【详解】解：由，得又，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以，因为符合上式，所以.故答案为：【题型十九】前n项积求通项【典例分析】（2022宁夏石嘴山一模（理）已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式ABCD【答案】D【分析】先求出，再根据题意可得,化简为，由此求得答案.【详解】当 时，当 时，即，故数列为首项为 ，公差为 的等差数列，故 ，故选：D【变式演练】1.（2022全国高三专题练习）设正项数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项之积为Tn，且SnTn1，则数列an的

34、通项公式是_.【答案】【分析】可先求出，然后由得出数列是等差数列，由等差数列通项公式求出，即得，然后求出，再求得，注意的情形的验证【详解】首先，时，由得，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，适合此式，也适合此式，所以故答案为：2.（2021河南一模（理）设正数数列的前项和为，数列的前项之积为，且，则数列的通项公式是_【答案】【分析】由递推关系可得，求出前几项，可猜想出，再加以验证，利用即可求出.【详解】当时，即，则，当时，则，整理可得，则可得，则猜想，代入检验得，满足猜想，当时，.故答案为：.【题型二十】函数型递推【典例分析】（2021全国高三专题练习（理）已知是上的奇函数，

35、,则数列的通项公式为（）ABCD【答案】C【解析】由在上为奇函数，知，令，则，得到由此能够求出数列的通项公式【详解】由题已知是上的奇函数，故，代入得：， 函数关于点对称，令，则，得到，倒序相加可得，即，故选：C【变式演练】1.（2023全国高三专题练习）已知是上的奇函数，则数列的通项公式为（）ABCD【答案】C【解析】由在上为奇函数，知，令，则，得到由此能够求出数列的通项公式【详解】由题已知是上的奇函数，故，代入得：， 函数关于点对称，令，则，得到，倒序相加可得，即，故选：C2.（2022全国高三单元测试）若()，则数列的通项公式是_.【答案】【分析】根据自变量的和为1时，函数值的和为2，运用

36、数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项公式.【详解】， ，两式相加可得，所以 .故答案为：【题型二十一】周期数列【典例分析】已知数列满足，则_江苏省涟水中学2019-20120学年高三下学期第一次模拟考试数学试题【答案】-6【解析】由已知有，所以，所以数列是周期数列，且周期为4，而，所以。【提分秘籍】基本规律周期数列1.若数列an满足2.若数列an满足3.若数列an满足4.若数列an满足5.若数列an满足6.【变式演练】1.已知数列中，则_.【答案】【详解】已知数列中， ()，所以，所以数列是周期为的数列，.故答案为：2.数列中，()，表示数列的前项之积，_. 【答案】-3【详解】，(

37、)，是以3为周期的周期数列，且由2020=3673+1，.故答案为：-3.【题型二十二】奇偶讨论型【典例分析】（2021全国高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为_【答案】.【分析】先由，得，进一步得到，再分奇偶项来求通项公式即可【详解】因为，所以，得所以当为奇数时，当为偶数时，又，所以，所以，构成以2为首项，2为公差的等差数列，构成以为首项，为公差的等差数列所以当是奇数时，；当是偶数时，故数列的通项公式为故答案为：.【提分秘籍】基本规律讨论型：1.分段数列2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列【变式演练】1.（2021全国高三阶段练习（理）已知数列满足，数列的奇数项单调递增，偶数项单调

38、递减，若，在数列的通项公式为_【答案】，【分析】根据题意，由数列的单调性分析可得：；又由，即，变形分析可得；由此求出和，综合可得答案.【详解】依题意，单调递增，故；数列单调递减，故，所以；因为，故；同理，所以；又，所以，所以，则，所以数列的通项公式为.故答案为：.2.已知数列满足，则的前40项和为_福建省霞浦第一中学2018-2019学年高三下学期第一次月考数学（理）试题【答案】【详解】，当n为奇数时, 该数列前项和为1.（2022全国高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列(1)求的通项公式；(2)证明：【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利

39、用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.（1），,又是公差为的等差数列，,当时，,整理得：,即,，显然对于也成立，的通项公式；（2） 2.（2021浙江高考真题）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当时

40、，当时，由，得，得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，两式相减得，所以，由得恒成立即恒成立，时不等式恒成立；时，得；时，得；所以.3.（2020全国高考真题（理）设数列an满足a1=3，（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn【答案】（1），证明见解析；（2）.【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可【详解】（1）方法一【最优解】：通性通法由题意可得，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即证

41、明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；方法二：构造法由题意可得，由得，则，两式相减得令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以方法三：累加法由题意可得，由得，即，以上各式等号两边相加得，所以所以当时也符合上式综上所述，方法四：构造法，猜想由于，所以可设，其中为常数整理得故，解得所以又，所以是各项均为0的常数列，故，即（2）由（1）可知，方法一：错位相减法，由得：，即.方法二【最优解】：裂项相消法，所以方法三：构造法当时，设，即，则，解得所以，即为常数列，而，所以故方法四：因为，令，则，所以故4.（2017全国高

42、考真题（文）设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列 的前项和【答案】(1) ；(2).【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时, 当时,上式也成立（2）数列的前n项和5.（2019全国高考真题（理）已知数列an和bn满足a1=1，b1=0， ，.（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.【答案】（1）见解析；（2），【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出

43、数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果【详解】(1)由题意可知，所以，即，所以数列是首项为、公比为的等比数列，因为，所以，数列是首项、公差为的等差数列，(2)由(1)可知，所以，1.（2022四川宜宾市叙州区第一中学校高三期中）数列的一个通项公式是（）ABCD【答案】C【分析】根据数列的特征可知，即可得到它的一个通项公式【详解】根据题意可知，所以故选：C2.（2022浙江省杭州学军中学高三阶段练习）在等差数列中，且，成等比数列，则的通项公式为（）ABC或D或【答案】D【分析】利用等比中项得，从而可求公差d，即可得等差数列通项公式.【详解】解：设等差数列的公差为d，又

44、，成等比数列，所以，则，解得：所以.故选：D.3.（2020云南省楚雄天人中学高三阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为（）ABCD【答案】C【详解】由得，当时也符合，数列的通项公式为.故选C.4.已知数列满足，则_【答案】【解析】因为，所以=5.已知数列中，则的取值范围是_ 【答案】【详解】由题意得，即，则，即，所以，相加得，故，因为函数在上单调递增，且当时，所以，即的取值范围是.故答案为：.6.（2022全国高三课时练习）已知，则数列的通项公式是（）ABCDn【答案】D【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得；【详解】由，得，即，则，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故选：D7.（

45、2020福建厦门一中高三阶段练习）已知函数的前n项和满足，则数列的通项公式为（）ABCD【答案】C【解析】当时，当时，得到答案.【详解】，当时，；当时，.故.故选：.8.（2022安徽巢湖市第一中学模拟预测（文）已知首项为1的数列的前项和为，且，则数列的通项公式为_.【答案】【分析】利用与的关系，得到，再利用待定系数法，进行构造数列，得到为等比数列，进而利用等比通项公式即可求解.【详解】由题意得，设，故，则，故，则，即，则数列是首项为，公比为12的等比数列，故，故.故答案为：9.（2023全国高三专题练习）设数列的前项和为，若，则的通项公式为_【答案】【分析】根据可得，由此可证得数列是等比数列，