专题5-1 向量模、夹角与坐标运算高考数学一轮复习题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

1、 专题5-1 向量模、夹角投影与坐标运算目录一、热点题型归纳TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc17225 【题型一】向量夹角1：坐标运算1 HYPERLINK l _Toc26214 【题型二】向量夹角2：夹角锐钝 PAGEREF _Toc26214 3 HYPERLINK l _Toc5184 【题型三】向量夹角3：模4 HYPERLINK l _Toc2699 【题型四】向量夹角4：复合型向量夹角 PAGEREF _Toc2699 6 HYPERLINK l _Toc6099 【题型五】投影7 HYPERLINK l _Toc4213 【题型六】模与数量积 PAG

2、EREF _Toc4213 9 HYPERLINK l _Toc12882 【题型七】范围最值 PAGEREF _Toc12882 11 HYPERLINK l _Toc8672 二、真题再现 PAGEREF _Toc8672 12 HYPERLINK l _Toc10869 三、模拟检测 PAGEREF _Toc10869 16综述：1.模公式：。2.平面向量数量积公式：（1）a（2）a主要应用以下几个方面:（1）求向量的夹角， cos=a（2）求投影，a 在b 上的投影是a（3）a,b向量垂直，则ab=0【题型一】向量夹角1：坐标运算【典例分析】（2022福建南平高三期末）设向量，则与的夹

3、角等于（）ABCD【答案】A【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可【详解】设与的夹角为，因为，所以，因为，所以，故选：A【提分秘籍】基本规律两个非零向量、的夹角：已知非零向量与，记、，则 ()叫做与的夹角.说明：当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记；【变式演练】1.（2021吉林白山高三期末（文）若向量与向量的夹角为，则（）ABCD【答案】D【分析】由向量的夹角公式和同角三角函数关系，即得解【详解】由题意，又故选：D2.（2022全国高三专题练习）已知，且，则向量与的夹角为（）ABCD【答案】A【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可【详解】设向量与的夹角为，因为，且，所以，

4、得，所以，所以，因为，所以，故选：A3.（2023全国高三专题练习）已知向量，向量，则与的夹角大小为（）A30B60C120D150【答案】D【分析】计算可得，利用数量积公式计算即可得出结果.【详解】向量，向量，且，的夹角为.故选：D.【题型二】向量夹角2：夹角锐钝 【典例分析】（2023全国高三专题练习）若，且与的夹角是钝角，则实数x的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】直接由且与不共线求解即可.【详解】由题意知，且与不共线，且，解得故选：C.【提分秘籍】基本规律用坐标或者数量积求解夹角锐钝时，要注意向量共线（同向或者反向）【变式演练】1.（2023全国高三专题练习）已知，且与的夹角为锐

5、角，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】直接由且与不共线结合向量的坐标运算求解即可.【详解】由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且.故选：D.2.（2022安徽巢湖市第一中学模拟预测（文）已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据与的夹角为锐角求出的取值范围，再结合必要不充分条件的概念可得答案.【详解】当与的夹角为锐角时，且与不共线， 即，且，“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.3.（2022全国高三专题练习）已知向量，若与的夹角为钝角，则x的取值范围是（）ABCD【答案】D【分

6、析】根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，解得或，当与共线时， ， ，此时和反向，不满足题意，故x的范围为；故选：D.【题型三】向量夹角3：模【典例分析】（2022江苏南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）若非零向量，满足，则向量与的夹角为（）ABCD【答案】C【分析】由，得，化简结合已知条件和夹角公式可求出结果.【详解】设向量与的夹角为（），因为，所以，所以，得，因为非零向量，满足，所以，因为，所以，故选：C【提分秘籍】基本规律.。【变式演练】1.（2022浙江高三开学考试）已知向量满足，则与的夹角为（）ABCD【答案】C【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利

7、用数量积公式可求得.【详解】，又，设与的夹角为，从而，所以与的夹角.故选：C2.（2023全国高三专题练习）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）ABCD【答案】B【分析】利用得到数量积为0，得到，然后由数量积的定义可得夹角余弦值，从而得夹角大小【详解】因为，所以，所以，所以=，结合，所以与的夹角为，故选：B3.（2023全国高三专题练习）已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A30B60C120D150【答案】C【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；【详解】解：因为，为单位向量，所以， 又，所以，即，所以，即，所以，所以，因为，所以；故选：C【题型四】向量夹角4：复合型向量夹角【典例分

8、析】（2022安徽师范大学附属中学模拟预测（理）非零向量满足，则与的夹角为（）ABCD【答案】B【分析】根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算作答.【详解】由得：，即，解得，因此，而，解得，所以与的夹角为.故选：B【提分秘籍】基本规律实际教学中，许多学生对于复合型向量求夹角，容易混淆不清，可以直接把复合向量设为新向量来代入公式求解。【变式演练】1.（2022河北邯郸二模）若向量，满足，且，则向量与夹角的余弦值为（）.ABCD【答案】D【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为，且，所以，因为，所以向量与夹角的余弦值为，故选：D2.（2022全国高三

9、专题练习）已知非零向量、满足，则向量与向量夹角的余弦值为（）ABCD【答案】A【分析】根据，设，根据求出，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为，所以可设，则，因为，所以，即.则，故选：A.3.（2022辽宁锦州一模）若，则向量与的夹角为（）ABCD【答案】A【分析】首先求得，再利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】由条件可知，两边平方后得，并且，因为向量夹角的范围是，所以向量与的夹角为 故选：A【题型五】投影【典例分析】已知向量a在向量b方向上的投影为1，向量b在向量a方向上的投影为12，且|bA23河南省林州市第一中学2019-2020学年高三5月月考数学试题【答案】C【解析】分

10、析：向量b在向量a方向上的投影为12，求出向量夹角，由向量a在向量b方向上的投影为1，求出向量a的模，将详解：设a,b的夹角为，向量b在向量a方向上的投影为1所以得bcos=12,cos=所以acosaa【提分秘籍】基本规律1.a在b方向上的投影为： |a|cos eq f(ab,|b|) 2.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.【变式演练】1.已知向量,的夹角为120，且则向量在向量方向上的投影为（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：根据数量积公式

11、可得投影为，故选D.2.已知向量，的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：由已知式子化简可得：，所以向量在向量方向上的投影为3.已知向量a，b满足a=5，ab=6，a+2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中)、江西省（南昌二中)等十四校高三第二次联考数学理科试题【答案】1【分析】由已知结合向量数量积的性质可求ab，然后代入到向量b【详解】|a|=5，|aab=5，则向量b【题型六】模与数量积【典例分析】若向量，则_.河北省唐山市第十二高级中学2019-2020学年高三下学期期末数学试题【答案】【分析】由条件先求的值，再代入求值.【详解】 解得：，

12、.故答案为：【提分秘籍】基本规律平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有().规定与任何向量的数量积为.说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别：(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成，书写时注意符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.(3)，.(4)在实数中，若，且，则，但是在向量中，若，且，不能推出，其中.(5)已知实数、()，则，但是向量不能推出，如图：，但.(6)在实数中有，但是在向量中，【变式演练】1.若等边ABC的边长为3，平面内一点M满足CM=

13、13A2 B152 C15 【答案】A【解析】解析：因AM=CMCA,2.在中， ， ， 是边上的一点，且，则的值为A0 B4 C8 D 【答案】B【解析】试题分析： ， ,故选B.3.已知向量满足，则A4B3C2D0 【答案】B分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.【题型七】范围最值【典例分析】已知向量、的夹角为， ， ，则的取值范围是（ ）A B C D首发浙江省温州市“十五校联合体”2019-2020学年高三下学期期中联考数学试题（A卷)【答案】A【解析】由，得由，得由得，且从而有，又，故,选A.【变式演练】1.（2022浙江乐清市知临中学模拟预测）平面向量满足，

14、则与夹角最大值时为（）ABCD【答案】D【分析】根据条件对两边平方即可得出,从而可求出,进而即可得出然后根据基本不等式即可得出求出向量夹角的最大值,判断出，.【详解】因为平面向量满足，所以，所以，所以.由夹角公式，（当且仅当，即时等号成立）.因为，所以，即时最大.此时.故选：D2.已知向量满足：，则在上的投影长度的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：由，可得，整理得，根据则在上的投影长度为，而其投影肯定会不大于，所以其范围为，故选D3.已知向量e1与e2的夹角为4，|e1|=1，|eA(513C(,513 【答案】D【解析】根据夹角为锐角，有cose1+e2,3e1 1

15、（陕西高考真题（文）已知向量，若，则实数m等于（）ABC或D0【答案】C【分析】应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可.【详解】由知：12m20，即或.故选：C.2（2022全国高考真题（文）已知向量，则（）A2B3C4D5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D3（山东高考真题）已知向量，那么等于（）ABC1D0【答案】A【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.【详解】，.故选：A.4（山东高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（）ABCD【答案】D【分析】根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可.【详解】点在函数

16、的图象上，点坐标为，故选：D5（2020山东高考真题）已知点，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（）A或B或C或D或【答案】C【分析】由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得【详解】由题意函数图象的对称轴是，设，因为，所以，解得或，所以或，故选：C6（2022全国高考真题（理）已知向量满足，则（）ABC1D2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：，又9，故选：C.7（2022全国高考真题）已知向量，若，则（）ABC5D6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,即,解得,故选：C8（20

17、22北京高考真题）在中，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，所以，所以，其中，因为，所以，即；故选：D9（2022全国高考真题（文）已知向量若，则_【答案】#【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.10（2021全国高考真题）已知向量，_【答案】【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.11（2022

18、全国高考真题（理）设向量，的夹角的余弦值为，且，则_【答案】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，所以，所以故答案为：12（2020浙江高考真题）设，为单位向量，满足，设，的夹角为，则的最小值为_【答案】【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】，.故答案为：.13（2021浙江高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为_.【答案】【分析】设，由平面向量的知识可得，再

19、结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.14（2021北京高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为1，则 _；_.【答案】 0 3【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则，.故答案为：0；3.1.（2022江苏金陵中学模拟预测）已知向量，则向量与向量的夹角为（）ABCD【答案】D【分析】先利用平面向量的夹角公式求出夹角余弦值，再利用诱导公式结合角的范围进行求解.【详解】设向量与向量的夹角为，由题意，得，所以，因为，所以，即向量与向量的夹角为.故选：D.2.（2023全国高三专题练习）已知向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出与的夹角为锐角时的充要条件是且，从而判断出答案.【详解】因为与的夹角为锐角，则且与不共线.时，当时，则与不共线时，所以与的夹角为锐角的充要条件是且，显然且是的真子集，即“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，A正确.故选：A3.（2022山西怀仁市第一中学校模拟预测（文）设向量，满足，