16年全国3卷文科数学试题(解析版)

1、- -2016年全国3卷文科数学解析版第I卷一、选择题：(1)设集合 A O,2,4,6,8,10, B 4,8,则”=()(A) 4,8(B) 0,2,6(C)0,2,610(D)0,2,4,6,810【答案】C试题分析：依据补集的定义，从集合A 0,2,4,6,8,10中去掉集合B 4,8,剩下的四个元素为 0,2,6,10,故CaB0,2,6,10,故应选答案 C o若z 43i,则 _z_ =()|z|1【答案】D1(C)4 3.+ 若z 43i,则 _z_ =()|z|1【答案】D1(C)4 3.+ i5 54(D) 5. -i5试题分析：因z3i，则其共轲复数为3i ,其模为|z|

2、 |43|J42 325,故卫|z|3.| ,5应选答案D。(3)已知向量 BA=(1, ), BC =( 222304560120304560120试题分析工 0=(1,=(,1) 故无，.3e三立+正=祖，又因2 22 2442萩而瓦i| 萩而瓦i| I 而Ico与ZXSCfix cosZABC = cosZABC fSikcosZABC = 所以死ZABC =-应选答案火.6(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中A点表示十月的平均最高气温约为15C, B点表示四月的平均最低气温约为5c.下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温

3、都在 0 c以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均最高气温高于 20 c的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选项，可以确定D是不正确的，因为从图中可以看出：平均最高气温高于200C只有7、8两个月份，故应选答案D。(5)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开

4、机的概率是()旦1工1(A) 15(B) 8(C) 15(D) 30【答案】C【解析】1试题分析：前2位共有3 5 15种可能，其中只有1种是正确的密码，因此所求概率为P .故选C.15(6)若 tan 0 = 3 ，贝U cos2 0=()(A)5(D) 5【答案】D【解析】试题分析:cos22 cos. 2 sin2 cos2 cos. 2 sinsin1 tan21 tan(A)5(D) 5【答案】D【解析】试题分析:cos22 cos. 2 sin2 cos2 cos. 2 sinsin1 tan21 tan21( 3)2G3(7)已知 a 23,b 33,c 253,则(A)bac

5、(B) a b c(C) b caca=&界=0；5=0,执行浦环H第一次 a = 2.h,= 4.i2=6.s = Stn= L第二次！ a = -2, = 6. ti 4.5 =10: = 2 j第三洗：cj=2.Z)= 4,16.退出循环.输出并=4.故选Br，-1-，、，八“一,BC边上的局等于一BCiJsinA在VABC中，B=433_(A) 10(B)103_(A) 10(B)1010(C),55(D)3 1010【解析】试题分析:由题意得,S ABC试题分析:由题意得,S ABC1-a31.-acsin B 223 sinC 23 sinC sin A sin( 一34A)2一2

6、22sin A , cos A sin A sin A , 3223tan Asin A3 .10,tan Asin A3 .10,故选10D.(10)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为18 36.554 18,59081【答案】B【解析】试题分析：由题意得，该几何体为一四棱柱，表面积为(3 3 3 6 3 3洞 2 54 18J5 ,故选B.(11)在封闭的直三棱柱 ABC- ABC内有一个体积为 V的球.若AEJ BC AB=6, BC=8, AA=3,则V的最大 值是(A) 4 九(B) t (C) 6 九(D) 32-【答案】B1解析

7、】试题分析：由！S意图，要使球的体积最大，则与直三核柱的若干个面相切，流球的半径为K,易得的内切球的半径生产 =3又丁 2K二匕1as二e；二;万，故选民22(12)已知O为坐标原点，F是椭圆C：q 匕 1(a b 0)的左焦点，A, B分别为C的左，右顶点.P a b为C上一点，且PF x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(A) 1(B) 1(C) 2(D)-3234【答案】A【解析】试题分析：b2由题意得，A( a,0) , B(a,0),根据对称性，不妨 P( c,b-),设l : x my a , aM ( C,ac) , E(0

8、,g), .直线 BM y a c (x a),又.直线 BM过 OE中点, mmm(a c)，史坦三e c工，故选a.(a c)m 2m a 3第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3小题，每小题5分2x y 1 0,(13)设x, y满足约束条件x 2y 1 0,则z=2x+3y - 5的最小值为 .x 1,【答案】-10【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中 A(1,0),B(-1,-1),C(1,3)，直线z 2x 3y 5过点B时取最小

9、值-10(14)函数y=sin x- 3cos x的图像可由函数 y=2sin x的图像至少向右平移 个单位长度得到.【答案】 3【解析】试题分析：y 2sin(x ),所以至少向右平移 -(15)已知直线l : x 3y 6 0与圆x2+y2=12交于A、B两点，过A B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|二 .【答案】3【解析】试题分析：由题意得：AB 2,12 (-6)2 2氏，因此CD 273cos93.(16)已知f(x)为偶函数，当x 0时，f(x) e x 1 x,则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式【答案】y 2x.【解析】试题分析： x 0日lf(x)

10、ex 1 x, f (x) ex 1 1, f (1) 2,y 2 2(x 1) y 2x.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列an满足ai 1, a2 （2a- 1R 2a- 0.(I)求 a2 ,a3 ；(II)求an的通项公式.【答案】（1）【答案】（1）12n 1 .1 1,、一,一；（2）an2 4试题分析:Q出+限T痣f一.(a* +i)二 a* (Q繁十”及七夕力直数加“叼戈考攻】久产I,4久为E、的 了被列.戈廷花彳乂 外二% （18）（本小题满分12分）卜图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：

11、亿吨）的折线图年抑代码1注：年份代码1 - 7分别对应年份 年抑代码1注：年份代码1 - 7分别对应年份 2008 - 2014.(I)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;(n)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注:参考数据:yi i 1参考数据:yi i 179.32,ti yii 140.17 , I (yi y)20.55,=2.646.n(ti r)(yi y)参考公式：r1nn(ti t f (yi y)2(i 1i 1回归方程y a bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:na=y b.(ti

12、皿 y)a=y b.i 1n，(ti)2i 1【答案】(1)可用线性回归模型拟合变量【答案】(1)可用线性回归模型拟合变量y与t的关系.(2)我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理1.83亿吨.试题分析：(1)变量y与t的相关系数7(ti f)(y y)7tiYi7tii 1(t7(ti f)(y y)7tiYi7tii 1(tit)27(x y)2i 1(tit)2i 17Vi 17(yi y)2i 17又tii 1287yi9.32 ，Lyi 40.17 ,7 _ _ 7 (ti f)22V7 5.292, J(yi y)2 0.55,i 11 i 1所以r7 40.17 所以r7

13、40.17 28 9.327 5.292 0.550.99 ，故可用线性回归模型拟合变量y与t的关系.4, y TOC o 1-5 h z 7_1ty 7r y 40.17 7 4 9.32?97 0.10,ti2 7f228i 1台 y bX 1 9.32 0.10 4 0.93, 7所以线性回归方程为y = S k+6 93 .当 2=9时，$ = 0.1x9 + 0.93 = L83因此，我们可以湎测20L8年我国生活垃圾无害化处理L8多亿吨.(19)(本小题满分12分)AM=2MD如图，四棱锥 P-ABCD3, PL地面 ABCD AD/ BC, AB=AD=AC=3 PA=BC=4

14、M为线段 AD上一点,AM=2MDN为PC的中点.（I ）证明MN/平面PAB;（II ）求四面体N-BCM勺体积.【答案】（I）见解析；【答案】（I）见解析；（II ）4.53【解析】试题分析：（1）取PB中点Q,连接AQ NQ1 . N是 PC中点,NQBC,且 NQBC, 22-23-1八又 AM AD - -BC BC ,且 AM BC , 33 42QN AM ,且 QN AM .AQNM是平行四边形.MN /AQ .又MN平面PABAQ 平面PAB ,MN平面PAB.又MN平面PABAQ 平面PAB ,MN平面PAB.(2)由(1) QN 平面ABCD-VN BCMVQ BCM二

15、VP BCM2二VP BCA 2-VN BCM-VN BCM1 1_ PA S ABC2 3(20)(本小题满分12分)2已知抛物线 C： y 2已知抛物线 C： y =2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1, l2分别交C于A, B两点，交C的准线于P, Q两点.(I)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明 AR/ FQ(n)若 PQ用勺面积是/ ABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程【答案】(I)见解析；(II ) y2 x 1试题分析：（I ）连接RF, PF,由 AP=AR BQ=BFM AP/BQ ,得 NAFP+NEFCTIBO5 ,/. ZPFQ=SO0 .是PQ中点，RF

16、=KP二RQ./. ZPAR=ZFAR, ZPRA=ZHUL, yZBOF+ZBFQ=lSO0 -ZQBF= ZPAF-2ZPAR?/. ZFGJB=ZPAR,，/FRAN FRF (等角的余角相等)， .AR/FQ.(n)设 A(Xi,yJB(X2,y2), TOC o 1-5 h z -，1F(,0),准线为 x HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 2一 1 一 1S PQF 2|PQ| 21y1 y2，设直线AB与x轴交点为N ,c1 i.S ABF, FN y1 y2 ，2S PQF 2S ABF，二 2 FN 1 ,xN 1 ,即 N

17、(1,0).y2x1o o设AB中点为M (x, y),由 2得y1y2 2( x1y2 2x2 TOC o 1-5 h z 又 y y2yx1 x2x 1y 1,即 y2x 1.x 1 yAB中点轨迹方程为y2x 1 .(21)(本小题满分12分)设函数 f(x) ln x x 1.(I)讨论f (x)的单调性;,x 1(II )证明当x (1,)时，1 x； In x(III )设c 1,证明当 x (0,1)时，1 (c 1)x cx.【答案】（I）(II ) (III 【答案】（I）【解析】试题分析:【解析】试题分析:，做答时请写清题号请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号(22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图，O。中的中点为P,弦PC P别交AB于E, F两点。(I)若/ PFB=2Z PCD 求 / PCM大小；(n)若EC的垂直平分线与 FD的垂直平分线交于点 G,证明OGLCD【答案】(1)60( II )见解析【解析】试题分析：(23)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程X = JSocs a彳在直线坐标系xoy中，曲线G的参数方程为 ，=尊2a 错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。 为 参数)。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 。的极