(新高考)高考数学一轮复习第37讲《数列的综合应用》达标检测(解析版)

1、第37讲 数列的综合应用（达标检测）A组应知应会1（春梅州期末）九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A13B14C15D16【分析】根据题意，设每日所织数量构成数列 SKIPIF 1 0 ，分析可得数列 SKIPIF 1 0 为成等差数列，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，据此可得数列的首项与公差，计算可得答案【解答】解：由题意可知，设每日所织数量构成数列 SKIPIF 1 0 ，则数列 SKIPIF 1

2、0 为成等差数列，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设其公差为 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，解可得 SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，变形可得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 2（春成都期末）已知数列 SKIPIF 1 0 的通项公式 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和，满足 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0

3、的最小值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A2B3C4D5【分析】首先把数列的关系式进行变换，进一步利用裂项相消法求和求出数列的和，解不等式可得所求最小值【解答】解：数列 SKIPIF 1 0 的通项公式 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 由于满足 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的最小值为5故选： SKIPIF 1 0 3（春常德期末）明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一， SKIPIF 1 0

4、 ” SKIPIF 1 0 “倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的第四层灯的数量为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A12B24C48D96【分析】由题意利用等比数列的通项公式、前 SKIPIF 1 0 项和公式，求出首项，可得塔的第四层灯的数量 SKIPIF 1 0 的值【解答】解：由题意每一层的灯数成等比数列 SKIPIF 1 0 ，公比为 SKIPIF 1 0 ，前7项的和为 SKIPIF 1 0 ，求得 SKIPIF 1 0 ，故塔的第四层灯的数量 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 4（春嘉兴期末）对于数列

5、 SKIPIF 1 0 ，若存在常数 SKIPIF 1 0 ，使对任意 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 成立，则称数列 SKIPIF 1 0 是有界的若有数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则下列条件中，能使 SKIPIF 1 0 有界的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】通过定义逐项分析真假即可【解答】解：对于 SKIPIF 1 0 选项，假设 SKIPIF 1 0 有界，即存在常数 SKIPIF 1 0 ，对任意 SKIPIF

6、 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 由于左边 SKIPIF 1 0 递增到无穷大，而右边为常数，从而 SKIPIF 1 0 项错误；同理， SKIPIF 1 0 项 SKIPIF 1 0 ，错误；对于 SKIPIF 1 0 项， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，累加可得， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，显然不是有界的；对于 SKIPIF 1 0 选项， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，累乘可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，从而 SK

7、IPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 正确故选： SKIPIF 1 0 5（山东模拟）已知数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，则称项 SKIPIF 1 0 为“和谐项”，则数列 SKIPIF 1 0 的所有“和谐项”的平方和为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根据 SKIPIF 1 0 得出 SKIPIF 1 0 ，然后两式相减，得出

8、 SKIPIF 1 0 ，再然后根据 SKIPIF 1 0 得出 SKIPIF 1 0 以及 SKIPIF 1 0 最后根据“和谐项“的定义得出 SKIPIF 1 0 ，通过等比数列前 SKIPIF 1 0 项和公式求和即可得出结果【解答】解：因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，于是数列 SKIPIF 1 0 的所

9、有“和谐项“的平方和为： SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 6（春石家庄期末）如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成（数列的项数大于 SKIPIF 1 0 ，且所有项数之和为 SKIPIF 1 0 ，那么称该数列为“ SKIPIF 1 0 型标准数列”，例如，数列3，4，5，6，7为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A2B3C4D5【分析】根据已知条件“ SKIPIF 1 0 型标准数列”，则“5336型标准数列”的公差为1和所有项的和为5336【解答】解：由题意知 SKIPIF 1 0 ， SK

10、IPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，且一奇一偶， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 共三组故选： SKIPIF 1 0 7（春宜宾期末）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟在龙门石窟的某处“浮雕像”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案已知该处共有1016个“浮雕像”，则正中间那层的“浮雕像”的数量为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A508B256C1

11、28D64【分析】根据题意，假设从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列 SKIPIF 1 0 ，分析可得 SKIPIF 1 0 是以2为公比的等比数列，共有7项且 SKIPIF 1 0 ；由等比数列的前 SKIPIF 1 0 项和公式可得 SKIPIF 1 0 ，解可得 SKIPIF 1 0 的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案【解答】解：根据题意，假设从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列 SKIPIF 1 0 ，又由“浮雕像”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，且该处共有1016个“浮雕像”，则 SKIPIF 1 0 是以2为公比的等比数列，共有7项且 SKIPIF 1 0 ；

12、则有 SKIPIF 1 0 ，解可得 SKIPIF 1 0 ，则正中间那层的“浮雕像”的数量即 SKIPIF 1 0 ；故选： SKIPIF 1 0 8（春宜宾期末）设等差数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则满足 SKIPIF 1 0 的最小正整数 SKIPIF 1 0 的值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A1010B1011CD2021【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列的前 SKIPIF 1 0 项公式，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

13、，进一步得到答案【解答】解：根据题意，等差数列 SKIPIF 1 0 中，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故满足 SKIPIF 1 0 的最小正整数 SKIPIF 1 0 的值为；故选： SKIPIF 1 0 9（春河南期末）等差数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则满足 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A50B51C100D101【分析】由题意和等差数列的性质可得 SKIPIF

14、 1 0 ； SKIPIF 1 0 ，进而可得 SKIPIF 1 0 ，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，等差数列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ；又由 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ；则有 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，必有 SKIPIF 1 0 ；故选： SKIPIF 1 0 10（春九龙坡区期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多 SKIPIF 1 0 斐波那契于1202年提出的数列斐波那契数列为1，1，2，3，5

15、，8，13，21， SKIPIF 1 0 ，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的通项公式为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】对于 SKIPIF 1 0 ，推导出 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ；对于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

16、0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，满足斐波那契数列；对于 SKIPIF 1 0 ，推导出 SKIPIF 1 0 （8） SKIPIF 1 0 ；对于 SKIPIF 1 0 ，推导出 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 【解答】解：对于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 错误；对于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF

17、 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，满足斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21， SKIPIF 1 0 ，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，故 SKIPIF 1 0 正确；对于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （4） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （8） SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 错误；对于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 错误故选： SKIPIF 1 0

18、11（春镜湖区校级期末）我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为130尺，则在第几天墙才能被打穿？ SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A6B7C8D9【分析】由题意结合等比数列的前 SKIPIF 1 0 项和列不等式，然后构造函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 结合函数零点的

19、判定得答案【解答】解：设需要 SKIPIF 1 0 天时间才能打穿，则 SKIPIF 1 0 ，化为： SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （7） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （8） SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内存在一个零点又函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 时单调递增，因此 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内存在唯一一个零点 SKIPIF 1 0 需要8天时间才能打穿故选： SKIPIF 1 0 12（春

20、宣城期末）已知等比数列 SKIPIF 1 0 的公比为3，前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，若关于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 有且仅有两个不同的整数解，则 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

21、【分析】先通过数列求和公式把 SKIPIF 1 0 求出来，代入到把不等式 SKIPIF 1 0 中，得到 SKIPIF 1 0 ，再分 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 两种情况分类讨论，显然易得 SKIPIF 1 0 是不等式的解，所以当 SKIPIF 1 0 时不等式有且仅有一个解，即 SKIPIF 1 0 有且仅有一个大于等于2的解，令令 SKIPIF 1 0 ，作差求 SKIPIF 1 0 的单调性之后即容易得到 SKIPIF 1 0 ，解出来即得答案【解答】解：因为等比数列 SKIPIF 1 0 的公比 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，不等式 S

22、KIPIF 1 0 等价于 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，显然是不等式的解；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 等价于 SKIPIF 1 0 ，因为关于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 有且仅有两个不同的整数解，所以当 SKIPIF 1 0 时有且仅有一个解，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 时单调递减，所以 SKIPIF 1 0 ，又因为 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 的取值范

23、围为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 13（春威宁县期末）尘劫记是在元代的算学启蒙和明代的算法统宗的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只以此类推，假设 SKIPIF 1 0 个月后共有老鼠 SKIPIF 1 0 只，则 SKIPIF 1 0 【分析】依题意得出第 SKIPIF 1 0 个月老鼠与第 SKIPIF 1 0 个月老鼠总数的关系，再根据等比数列

24、的定义求出数列 SKIPIF 1 0 的通项公式，最后把 SKIPIF 1 0 代入即可求得答案【解答】解：设 SKIPIF 1 0 个月后共有 SKIPIF 1 0 只老鼠，且雌雄各半，所以 SKIPIF 1 0 个月后的老鼠只数 SKIPIF 1 0 满足： SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，又因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以数列 SKIPIF 1 0 是以14为首项7为公比的等比数列，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，故答案为： S

25、KIPIF 1 0 14（春闵行区校级期末）已知数列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 对任意正整数 SKIPIF 1 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 【分析】通过裂项消项法以及累加法求数列的通项公式，然后求出 SKIPIF 1 0 的范围即可【解答】解：数列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPI

26、F 1 0 SKIPIF 1 0 ，累加可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 对任意正整数 SKIPIF 1 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 15（天心区校级模拟）十三世纪意大利数学家列昂纳多 SKIPIF 1 0 斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列 SKIPIF 1 0 满足以下关系： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，记其前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0

27、SKIPIF 1 0 （2）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为常数）， SKIPIF 1 0 【分析】（1）由已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，结合递推关系式代入可求 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可求 SKIPIF 1 0 ，（2）由已知可得 SKIPIF 1 0 ，分组求解 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，从而可求【解答】解：（1）因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1

28、 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，（2）由（1）得： SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 故答案为：1， SKIPIF 1 0 16（葫芦岛二模）定义：数列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则称数列 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的“友好数列”若数列 SKIPIF 1 0 的通项公式 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则数列 SKIPIF 1

29、0 的“友好数列“ SKIPIF 1 0 的通项公式为 ；记数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的取值范围是 【分析】直接利用友好函数的定义和递推关系式的应用求出数列的通项公式利用 SKIPIF 1 0 ，进一步整理得 SKIPIF 1 0 ，利用解不等式的应用求出结果【解答】解：数列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则称数列 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的“友好数列”若数列 SKIPIF 1 0 的通项公式 SKIPIF 1

30、 0 ，则： SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 为最大值，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 17（春成都期末）已知 SKIPIF 1 0 是首项不为1的正项数列，其前 SKIPIF 1 0

31、 项和为 SKIPIF 1 0 ，且满足 SKIPIF 1 0 （1）求数列 SKIPIF 1 0 的通项公式；（2）设 SKIPIF 1 0 ，求证： SKIPIF 1 0 【分析】（1）在已知数列递推式中，取 SKIPIF 1 0 求得首项，以 SKIPIF 1 0 替换 SKIPIF 1 0 ，再与原递推式联立可得 SKIPIF 1 0 ，得数列 SKIPIF 1 0 是首项为2，公差为3的等差数列，则其通项公式可求；（2）把数列 SKIPIF 1 0 的通项公式代入 SKIPIF 1 0 ，整理后利用裂项相消法证明 SKIPIF 1 0 【解答】解：（1）由 SKIPIF 1 0 ，得

32、 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 （舍 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，整理得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 可得数列 SKIPIF 1 0 是首项为2，公差为3的等差数列 SKIPIF 1 0 ；证明：（2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 18（春内江期末）已知数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 （1）求数列 SKIPIF 1

33、0 的通项；（2）设 SKIPIF 1 0 ，求数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 对一切正整数 SKIPIF 1 0 恒成立时，求实数 SKIPIF 1 0 的取值范围【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和【解答】解：（1）数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF

34、1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （首项符合通项），所以 SKIPIF 1 0 （2）由（1）得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，所以当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 ，所以当 SKIPIF 1 0 对一切正整数 SKIPIF 1 0 恒成立时，只需满足 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故实数 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 19（春衢

35、州期末）已知数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，数列 SKIPIF 1 0 是公比为正数的等比数列， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，8成等差数列（）求数列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的通项公式；（）若数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，求数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 （）若数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，求证： SKIPIF 1 0 【分析】（）直接利用递推关系式的应用求出数列

36、的通项公式（）利用（）的应用，利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和（）利用分类讨论思想的应用和恒成立问题的应用，求出 SKIPIF 1 0 的取值范围【解答】解：（）数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （常数），故 SKIPIF 1 0 ，数列 SKIPIF 1 0 是公比为 SKIPIF 1 0 的正数的等比数列， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，8成等差数列所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 故： SKIPIF 1 0

37、 ， SKIPIF 1 0 ，解：（）数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 证明：（）数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 20（镇江三模）各项为正数的数列 SKIPIF 1 0 如果满足：存在实数 SKIPIF 1 0 ，对任意正整数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒成立，且存在正整数 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 或 SKIPI

38、F 1 0 成立，则称数列 SKIPIF 1 0 为“紧密数列”， SKIPIF 1 0 称为“紧密数列” SKIPIF 1 0 的“紧密度”已知数列 SKIPIF 1 0 的各项为正数，前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，且对任意正整数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为常数）恒成立（1）当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时，求数列 SKIPIF 1 0 的通项公式；证明数列 SKIPIF 1 0 是“紧密度”为3的“紧密数列”；（2）当 SKIPIF 1 0

39、 时，已知数列 SKIPIF 1 0 和数列 SKIPIF 1 0 都为“紧密数列”，“紧密度”分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求实数 SKIPIF 1 0 的取值范围【分析】（1）根据题意可得递推式 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 是以首项为1，公差为2的等差数列，然后求出 SKIPIF 1 0 的通项公式；由所得通项公式及“紧密数列”的定义可得结论；（2）由 SKIPIF 1 0 可得递推式 SKIPIF 1 0 ，由此可得 SKIPIF

40、 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，讨论 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时与已知矛盾，即可得数列 SKIPIF 1 0 是以首项 SKIPIF 1 0 ，公比 SKIPIF 1 0 的等比数列，再讨论 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，进而求得实数 SKIPIF 1 0 的取值范围【解答】解：（1）当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0

41、 ，整理，得 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 是以首项为1，公差为2的等差数列，则 SKIPIF 1 0 由中 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 随着 SKIPIF 1 0 的增多而减小，则对任意正整数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒成立，且存在 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ，则数列 SKIPIF 1 0 是“紧密度”为3的“紧密数列”（2）当 SKIPIF 1 0 时， S

42、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，则上式右端中 SKIPIF 1 0 ，与 SKIPIF 1 0 矛盾；若 SKIPIF 1 0 ，则上式右端 SKIPIF 1 0 ，与 SKIPIF 1 0 矛盾，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 为常数，即数列 SKIPIF 1 0 是以首项 SKIPIF 1 0 ，公比 SKIPIF 1 0 的等比数列 SKIPIF 1 0 数列 SKIPIF 1 0 为“紧密数列”，则 S

43、KIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 （）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，对任意正整数 SKIPIF 1 0 恒成立，且存在正整数 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 数列 SKIPIF 1 0 的“紧密度”为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 此时 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 随 SKIPIF 1 0 的增大而减小，所以 SKIPIF 1 0 ，对任意正整数 SKIPIF

44、1 0 恒成立，且当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以数列 SKIPIF 1 0 的“紧密度”为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 式矛盾（）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，对任意正整数 SKIPIF 1 0 恒成立，且存在正整数 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ，则此时 SKIPIF 1 0 的“紧密度”为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 随着 SKIPIF 1

45、0 的增大而减小，则以 SKIPIF 1 0 对任意正整数 SKIPIF 1 0 恒成立，且当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的“紧密度” SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 综上，实数 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B组强基必备1（湖北模拟）斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5

46、，8，13，21， SKIPIF 1 0 ，在数学上，斐波拉契数列 SKIPIF 1 0 定义如下： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，随着 SKIPIF 1 0 的增大， SKIPIF 1 0 越来越逼近黄金分割 SKIPIF 1 0 ，故此数列也称黄金分割数列，而以 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A20厘米B19厘米C18厘米D17厘米【分析】因为由已知有 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，得

47、 SKIPIF 1 0 ，进而解得 SKIPIF 1 0 【解答】解：由已知有 SKIPIF 1 0 ，得： SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （厘米），故选： SKIPIF 1 0 2（2019兰州二模）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列 SKIPIF 1 0 是等积数列且 SKIPIF 1 0 ，前41项的和为103，则这个数列的公积为

48、 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A2B3C6D8【分析】根据“等积数列”的定义知，相邻两项乘积相同，所以每隔一个数的项都是相同的，利用所给条件列方程求解即可【解答】解：因为数列 SKIPIF 1 0 是等积数列，可设其公积为 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，前41项的和为103，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 3（春荔湾区校级期中）对于数列 SKIPIF 1 0 ，定义 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0

49、 的“优值”，现已知某数列的“优值” SKIPIF 1 0 ，记数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 【分析】先由题设条件得到 SKIPIF 1 0 ，再利用 SKIPIF 1 0 ，两式相减求出 SKIPIF 1 0 ，检验 SKIPIF 1 0 时是否适合，然后求出 SKIPIF 1 0 即可【解答】解：由题意知 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，又当 SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0 ，两式相减得： SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1

50、0 时，有 SKIPIF 1 0 也适合， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 4（荆门模拟）定义：若数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则称该数列为“切线一零点数列”已知函数 SKIPIF 1 0 有两个零点1，2，数列 SKIPIF 1 0 为“切线一零点数列”，设数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 【分析】由题意求出函数 SKIPIF 1 0

51、 的，再由题意得出 SKIPIF 1 0 ，是等比数列，进而求出 SKIPIF 1 0 通项公式然后求解数列的和【解答】解：由题意函数 SKIPIF 1 0 有两个零点1，2，知： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 数列 SKIPIF 1 0 是以 SKIPIF 1 0 为首项，2为

52、公比的等比数列，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 5（丰台区一模）已知有穷数列 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 定义数列 SKIPIF 1 0 的“伴生数列” SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，规定 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （）写出下列数列的“伴生数列”：1，2，3，4，5；1， SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ，1（）已知数列 SKIPIF 1 0 的“伴生数列” SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且满足 SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 若数列 SKIPIF 1 0 中存在相邻两项为1，求证：数列 SKIPIF 1 0 中的每一项均为1；（）求数列 SKIPIF 1 0 所有项的和【分析】（）直接根据定义求