(新高考)高考数学一轮复习第04讲《基本不等式》达标检测(解析版)

1、基本不等式达标检测A组应知应会1（春南关区校级期中）若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C1D SKIPIF 1 0 【分析】由 SKIPIF 1 0 ，然后利用基本不等式即可求解【解答】解：因为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 时取等号，故选： SKIPIF 1 0 2（历下区校级模拟）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1

2、0 的最小值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A100B81C36D9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解 SKIPIF 1 0 的最小值【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，由基本不等式可得 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时取等号，解可得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 的最小值36故选： SKIPIF 1 0 3（海南一模）如图，矩形花园 SKIPIF 1 0 的边 SKIPIF 1 0 靠在墙 SKIPIF 1 0 上，另

3、外三边是由篱笆围成的若该矩形花园的面积为4平方米，墙 SKIPIF 1 0 足够长，则围成该花园所需要篱笆的 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A最大长度为8米B最大长度为 SKIPIF 1 0 米C最小长度为8米D最小长度为 SKIPIF 1 0 米【分析】根据已知条件建立关于篱笆长度的关系式，然后结合基本不等式即可求解【解答】解：设 SKIPIF 1 0 米， SKIPIF 1 0 米，则 SKIPIF 1 0 ，所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 时取等号故选： SKIPIF 1 0 4（春诸暨

4、市校级期中）坐标 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A9B6C8D SKIPIF 1 0 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：由题意可得， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时取等号，此时取得最小值9故选： SKIPIF 1 0 5（春金华期中）已知实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

5、 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A21B24C25D27【分析】根据题意，将 SKIPIF 1 0 变形可得 SKIPIF 1 0 ，据此可得 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，结合基本不等式性质分析可得答案【解答】解：根据题意，实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，变形可得 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，设

6、 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 的最小值为27，此时 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ；故选： SKIPIF 1 0 6（河东区一模）已知实数 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最大值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D6【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结

7、果【解答】解：由于 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故： SKIPIF 1 0 ，（当且仅当 SKIPIF 1 0 时，等号成立）故选： SKIPIF 1 0 7（春顺庆区校级月考）在 SKIPIF 1 0 中，点 SKIPIF 1 0 为线段 SKIPIF 1 0 上任一点（不含端点），若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A1B8C2D4【分析】由向量共线定理可得 SKIPIF 1 0 ，然后利用1的代换，结合基本不等式即可求解【解答】解：由于点 SKIPIF 1 0 在线段 SKIPIF 1 0

8、 上，由向量共线定理可得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 8（2019秋开封期末）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若不等式 SKIPIF 1 0 对已知的 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 及任意实数 SKIPIF 1 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKI

9、PIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】先结合基本不等式求出 SKIPIF 1 0 的范围；再根据不等式恒成立结合二次函数即可求解【解答】解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时等号成立， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 9（中卫二模）九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的矩形分

10、成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄 SKIPIF 1 0 和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为 SKIPIF 1 0 ，宽为内接正方形的边长 SKIPIF 1 0 由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3设 SKIPIF 1 0 为斜边 SKIPIF 1 0 的中点，作直角三角形 SKIPIF 1 0 的内接正方形对角线 SKIPIF 1 0 ，过点 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 于点 SKIPIF 1 0 ，则下列推理正确的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 由图1和图2面积相等可得

11、SKIPIF 1 0 ；由 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ；由 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ； 由 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ABCD【分析】根据题意求出 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，然后可判断对，根据面积相等，可判断对【解答】解：由图1和图2面积相等 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，对；由题意知图3面积为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，图3设正方形边长为 SKIPIF 1 0 ，由三角形相似， SKIPIF 1

12、0 ，解之得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ；可以化简判断对，故选： SKIPIF 1 0 10（多选）（德州二模）若正实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则下列说法正确的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 有最大值 SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 有最大值 SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 有最小值2D SKIPIF 1 0 有最大值 SKIPIF 1 0 【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断【解答】解：因为正实数 SKIPIF 1

13、 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，由基本不等式可得 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时取等号，故 SKIPIF 1 0 正确；因为 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 0 的最大值为 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 正确； SKIPIF 1 0 ，即有最小值4，故 SKIPIF 1 0 错误； SKIPIF 1 0 ，结合 SKIPIF 1 0 可知有最小值 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时取等号，故 SKIPIF 1 0 错误；故选： SKIP

14、IF 1 0 11（多选）（春锡山区校级期中）设正实数 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则下列说法正确的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 的最大值为 SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 的最小值为2D SKIPIF 1 0 的最小值为2【分析】 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，利用“乘1法”可得： SKIPIF 1 0 ，再利用基本不等式的性质可得其最小值利用基本不等式的性质进而判断出 SKIP

15、IF 1 0 的正误【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时成立 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时取等号综上可得： SKIPIF 1 0 正确故选： SKIPIF 1 0 12（昌平区二模）已知 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最小值为 【分析】由 SKIPIF 1 0

16、，然后结合基本不等式即可求解【解答】解：因为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 时取等号，故答案为：513（北京模拟）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度 SKIPIF 1 0 （单位： SKIPIF 1 0 随时间 SKIPIF 1 0 （单位： SKIPIF 1 0 的变化关系为 SKIPIF 1 0 ，则经过 SKIPIF 1 0 后池水中药品的浓度达到最大【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解： SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时取等号因此经过 SK

17、IPIF 1 0 后池水中药品的浓度达到最大故答案为：214（江苏模拟）已知正实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最小值为 【分析】直接利用关系式的变换和不等式的性质的应用求出结果【解答】解：已知正实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，整理得： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （当且仅当 SKIPIF 1 0 等号成立）故 SKIPIF 1 0 的最小值为2故答案为：215（南开区二模）已知 SKIPIF 1 0 ，则 SK

18、IPIF 1 0 的最小值为 【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得 SKIPIF 1 0 ，进而可得 SKIPIF 1 0 ，据此由基本不等式的性质分析可得 SKIPIF 1 0 的最小值，即可得答案【解答】解：根据题意， SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时等号成立，则原式 SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 时等号成立，综合可得： SKIPIF 1 0 的最小值为4，当且仅当 SKIPIF 1 0

19、 时等号成立故答案为：416（2019秋淄博期末）若两个正实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，且不等式 SKIPIF 1 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 【分析】先利用乘1法，配凑基本不等式的应用条件求 SKIPIF 1 0 的最小值，然后由 SKIPIF 1 0 恒成立，可得 SKIPIF 1 0 ，解不等式可求【解答】解：正实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 当且仅当 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，

20、 SKIPIF 1 0 时取等号，此时取得最小值16，因为不等式 SKIPIF 1 0 恒成立，则 SKIPIF 1 0 ，解可得 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 17（春克东县期中）已知 SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 的最大值；（2）求 SKIPIF 1 0 的最小值【分析】（1）由 SKIPIF 1 0 ，可知 SKIPIF 1 0 ，即可求解；（2） SKIPIF 1 0 ，结合二次函数的性质可求【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ， SKIPI

21、F 1 0 时取等号，则 SKIPIF 1 0 的最大值为 SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 ，结合二次函数的性质可知，当 SKIPIF 1 0 时，函数取得最小值 SKIPIF 1 0 18（2019秋历城区校级期末）有一批材料，可以建成长为240米的围墙如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可取得最大的面积？并求此面积【分析】结合已知条 件，利用基本不等式即可求解面积的最大值及取得的条件【解答】解：设每个小矩形的长为 SKIPIF 1 0 ，宽为 SKIPIF 1 0 ，依题意可知 SKIPIF 1 0 ，

22、SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 取等号，所以 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 当面积相等的小矩形的长为30时，矩形面积最大， SKIPIF 1 0 19（全国卷模拟）若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 的最小值；（2）是否存在 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ？并说明理由【分析】根据基本不等式求解 SKIPIF 1 0 的值域，然后求解（1）（2）【解答】解：（1）由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 S

23、KIPIF 1 0 时成立，所以 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时成立，所以 SKIPIF 1 0 的最小值为4（2）由（1）知 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时成立，因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 不同时成立，所以 SKIPIF 1 0 ，不存在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 使 SKIPIF 1 0 成立20已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均为正实数，且 SKIPIF 1 0 （）求 SKIPIF 1 0 的最小值；（）若 SKIPIF 1 0 对任意

24、的 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 0 的取值范围【分析】 SKIPIF 1 0 由已知结合基本不等式即可求解最小值； SKIPIF 1 0 结合 SKIPIF 1 0 中最小值的求解及含绝对值不等式的求法即可求解【解答】解：（）因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （当且仅当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时取等号）所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 成立故 SKIPIF 1 0 的最小值为1（）由（）知

25、 SKIPIF 1 0 对任意的 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒成立， SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 故实数 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 21（赣州模拟）已知正实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 的最小值（2）证明： SKIPIF 1 0 【分析】（1）由已知可得， SKIPIF 1 0 ，展开后利用基本不等式可求；（2）由 SKIPIF 1 0 ，展开后结合基本不等式可求范围，然后由 SKIPIF 1 0 即可证明【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 正实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时取得最小值 SKIPIF 1 0 ；（2）证明： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF