定积分的换元法和分部积分法解析课件

1、第三节 定积分的换元法和分部积分法内容提要一、定积分的换元法二、定积分分部积分法三、定积分的常用公式重点、难点：定积分的换元法和分部积分法教学方法：讲练结合教学手段：多媒体课件和面授相结合教学课时：6课时 指导思想：由牛顿莱布尼兹公式，求解 只要利用不定积分，先求出 的一个原函数 ，再求出 即可。我们知道，某些不定积分的求解过程还是很复杂或烦繁琐的，有必要找到一个简单一些的计算方法，定积分的换元法和分部积分法，就是在不定积分的换元法和分部积分法的基础上，简化了的计算方法。定理：设函数 在区间 上连续，变换 满足：（1）（2）在区间 上， 单调且有连续的导数，则有上式称为定积分的换元公式一、定积

2、分的换元法证明： 在 上连续 的原函数存在，设为 则有由牛顿莱布尼兹公式又 在 上单调，故 在 上有定义，且所以 也是 的一个原函数由牛顿莱布尼兹公式，有 因此 例1、计算 解：设 ，则 当 时， 当 时 ； 当t从1变到2时， 单调地从0变到3，于是由定积分的换元公式，得 由例1可见，不定积分的换元法与定积分的换元法的区别在于：不定积分的换元法在求得关于新变量t的积分后，必须代回原变量x，而定积分的换元法在积分变量由x换成t的同时，其积分限也由 和 相应地换成 和 ，在完成关于变量t的积分后，直接用t的上下限 和 代入计算定积分的值，而不必代回原变量。例2、求解：设 当 时， ； 时， 于是

3、例3、设 求解：设 则 当 时 ；当 时 ， 于是换元公式也可以反过来使用，即这时通常不写出中间变量t，而写作 注意这里积分上下限不作变换，计算更为简便。例4 求解 可见，这种计算方法对应于不定积分的第一换元法，即凑微分法。 二、定积分的分部积分法设u(x)和v(x)在区间a,b上有连续的导数，由微分运算法则，有 移项得 两边在区间a,b上积分，得因 或 上述公式称为定积分的分部积分公式。 例5 求 解 可见，定积分的分部积分法，本质上是先利用不定积分的分部积分法求出原函数，再用牛顿莱布尼兹公式求得结果，这两者的差别在于定积分经分部积分后，积出部分就代入上、下限，即积出一步代一步，不必等到最后

4、一起代。 例6 求定积分 解 例7 求定积分 解 先换元，设 则 dx=2udu,当u=0时，x=0,u=1时，x=1.于是， 三、定积分的几个常用公式1 设f(x)在关于原点对称的区间-a,a,上可积，则 （1）当f(x)为奇函数时， （ 2）当f(x)为偶函数时， 证 由定积分的性质3，有 对积分 则dx=-dt, 当x=-a 时，t=a,当x=0时t=0, 于是从 从而 当 f(x)为奇函数时，f(-x)+f(x)=0,因此当 f(x)为偶函数时，f(-x)=f(x)，得 例8 计算下列定积分 （1） （2） 解 （1）因为f(x)=sin7x在 上为奇函数，所以 (2)在 中，令f(x)= ，因为 f(-x)=所以f(x)在 上为奇函数，于是2、设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对任一实数a，有证 由定积分性