谈导数的概念的学习

1、PAGE6谈导数的概念的学习导数是微积分的重要内容之一，它是研究解决函数增减、变化快慢、作曲线切线问题和求函数最大值、最小值问题的最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题最优化的最有力的工具。一、学习策略1、对很多运动变化问题的研究，最后都会归结为研究各式各样的函数，除了我们将要学习的种种问题外，还有诸如行星的运动、热传导等问题。研究函数最基本的问题是：函数是如何变化的，也就是它是增还是减，以及增减的范围、增减的快慢。通过导数可以研究和解决这些问题。我们知道，利用配方法可以求得二次函数的极值，但它只是特殊情况下的特殊解

2、法，并不能解决三次函数等一般函数的极值问题，而解决这类函数极值问题从而解决优化问题的通法，就是利用导数。2、学习导数的基本概念与思想方法，要注意和前面所学的函数知识相联系，要充分利用丰富的实际背景与大量实例（如瞬时速度、加速度光滑曲线的切线斜率等）。导数是从大量问题中抽象出来的具有相同数学表达式的一个重要概念，其核心是变化率，学习导数首先要了解导数概念的实际背景，要从它的几何意义和物理意义来认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化来确定它在某一时刻的状态，从而解决与函数变化率有关的实际应用问题。其次要理解导数定义式的实质，掌握导数定义式的不同形式。3、要搞清楚导数与导函数之间的联系和

3、区别，熟练掌握求导的方法和步骤。4、导数具有丰富多彩的性质和特征，这些特征为我们解决问题提供了“肥沃”的等价变换的“土壤”，认真梳理知识，夯实基础，要善于利用等价转化、数形结合等数学思想。导数的实际背景导数的定义导函数导数的实际背景导数的定义导函数三、知识要点1、瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。瞬时速度就是位移函数S=St对时间t的瞬时变化率2、导数的定义一般地，函数y=f在=0处的瞬时变化率是我们称它为函数y=f在=0处的导数，记作f（0）、或y，=0，即。3、对导数概念的理解导数的核心思想是函数“瞬时变化率”，即函数增量与自变量增量之比的极限。对导数的定义要抓住三个层次：（1）

4、函数的变化（增量）。对函数y=f，自变量的增量是，相应的函数的增量是y=f-f。（2）平均变化率（增量之比）。（3）瞬时变化率（增量之比的极限）。很多物理量都是借助变化率定义的。如：瞬时速度是路程（作为时间的函数）对时间的变化率；角速度是角度（作为时间的函数）对时间的变化率；电流是电量（作为时间的函数）对时间的变化率等等，读者可以此来加深对概念的理解。4、对导数的定义应注意以下几点：（1）在导数的定义中，可正可负，但0，y可正可负可为零。当0时，若存在，则称f在（或0）处可导（左右极限存在并相等）；若不存在，则称f在（或0）处不可导。（2）函数y=f的增量y=f-f，当固定时，一般说来是随的改

5、变而改变的，即是的函数，又当也改变时，y也是的函数，故y是、二者的函数。同样，平均变化率，一般说来也是、二者的函数。（3）导数与导函数之间既有联系又有区别。一般地，函数的导数是针对某一区间内任意点而言的，它是一个确定的数值，与给定的函数及（或0）的位置有关，而与无关；若函数对于开区间（a，b）内每一个确定的值0，都对应着一个确定的导数f（0），根据函数的定义，在开区间（a，b）内就构成了一个新的函数，就是函数f的导函数f（），它是对一个区间而言的，是一个确定的函数，依赖于函数本身，但与、均无关。因此，在微积分中，对导数和导函数常用“求函数y=f在点=0处的导数”与“求函数y=f的导数”在文字叙

6、述上加以区别；同时采用“f（0）、y，=0”与“f（）、y，（或y，）等在符号上加以区别。函数y=f在=0处的导数f（0）是一个数，它就是导函数f（）在=0处的值，即f（0）=f（）=0，是一个常量。也可以先求导数f（），再用=0代入计算其值，但前提条件是f在=0处必须可导。（4）f（）与原函数f的定义域都是区间（a，b），此区间一般是一个开区间，这是因为区间的端点不一定都有增量（右端点无增量，左端点无减量）。（5）并不是所有的函数都有导数。（6）自变量的增量有多种表达形式，不论采用哪种形式，y中自变量的增量都必须用相应的形式。如求，初学者易出现这样的错误：=，这是将y=f-f中自变量的增量误认为所致，事实上应为-，令-=h，则（7）求导的本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键。导数的定义式可取不同的形式常见的有：，在这里。，在这里。5、求导数的方法、步骤基于对导数定义三个层次的理解，求一个函数y=f在点=0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y=f0-f0；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。待对以上步骤熟练之后，这些步骤可一并写出，即。上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限。6、导数的物理意义在物理上，函数y=f在P（0，f（0）点处的导数f（0），是函数在该点处