数学思想方法在计数原理中的应用

1、PAGE6数学思想方法在计数原理中的应用数学思想方法在解题中的指导作用至关重要，而且，有些问题如果没有正确的数学思想方法作指导是很难理解的。本章蕴涵着丰富的数学思想方法，如主元思想、对应思想、分类思想、整体思想、补集思想、数形结合思想、模型化思想、极端思想等等，学习中要学会运用数学思想方法去思考各种问题，形成良好的思维品质及合理的思维习惯，培养创新思维能力。1主元思想主元思想，就是对题目中的特殊元素、特殊位置优先考虑安排，抓住主要矛盾，进而达到解题目的。例1安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_种解析：先考虑安排特殊元

2、素甲、乙二人，有种排法；当特殊元素甲、乙二人安排好后，其余5人有种排法。根据乘法原理共有种安排方法。当然，此题亦可考虑用间接法解决。2对应思想对应思想，就是运用集合语言，将所给题目转化为另一个与之等价的问题进行解决。例2如果从数1，2，14中按从小到大的顺序取出，使同时满足-3与-3，那么所有符合上述要求的不同取法共有多少种解析：设1，2，14，1，2，10，（，），-3，-3，（，），：（，）（，），其中，=，=-2，=-4易证是和之间的一个一一对应，故题目所求的取法种数恰好等于从中任意取出三个不同数的取法种数，共有120种。3分类思想分类思想，就是将问题分成几个局部的问题逐一去解决的方法策

3、略。本章提供了大量分类思想的实例，结合实例进行分类思想的学习，更能帮助我们正确运用有关公式解决排列组合应用问题。例3设集合=1，2，3，4，5，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有种（）简析：按A中最大的数可分四类：当A中最大的数为1时，则B为2，3，4，5的非空子集，有=15（个）；当A中最大的数为2时，则B为3，4，5的非空子集，当A中最大的数为3时，则B为4，5的非空子集，有（个），而这时的A有（个），故共有34=12（个）；当中最大的数为4时，则B为5的非空子集，只有1个，而这时的A有（个），故共有18=8（个）；综上所述，共有1514128=49（

4、种），选B点评：本题的分类标准是不定因素：条件不唯一。通过本例，可要理解分类的标准，避免“重复”、“遗漏”现象的发生噢！4整体思想有时，研究问题若能有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构，从而使问题获解。这就是整体思想。本章的整体思想，就是将某些有特殊要求的元素（如相邻等）看作一个整体参与排列；或者将元素作位置对应。例个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站两个男孩，那么共有多少种不同的排列方法（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）解析：显然符合条件的圆排列数就是以某女孩打头的直排列数。现在以代表女孩所站的位置，以代表男孩

5、所站的位置，则在每个后至少有两个。让每个“吸收了”它紧后的两个作为一个整体，记为。则每个，排列对应成一个，排列。后一种排列的个数显然是从16个位置中选出7个位置的组合数，即种，以上表明男、女孩的位置排列共有种方法。对每种位置排列，女孩站上去有7！种方法（固定站首位），男孩站上去有25！种方法，故总的排列方法数为7！25！=16！25！9！5补集思想某些排列组合问题，可采用先求总的排列数，再减去不符合要求的排法种数获得解决，这就是补集思想，有时也称逆向思维。例5从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种解析：从这10个数中取出3个

6、不同的偶数的取法有种；取1个偶数和2个不同的奇数的取法有种。从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的偶数，有9种不同的取法。故符合题设条件的不同取法有-9=51种6数形结合思想数型结合是数学解题的主要思想，若能针对排列组合题目的特点作出图形，可使问题变得简单、直观，更易于解决。、B的并集AB=，当AB时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对有多少个解析：作出集合A、B的图形如右图。依题意，可以在图中，的任意一个位置，并且每一种位置都有相应不同的A、B，从而（A，B）对的个数与，在图中，的对应位置种数相等，共有个7模型化思想构造数学模型解题，可帮助我们多角度思考问题，培养

7、我们思维的深刻性、灵活性，发展思维的广阔性，从而培养考生数学建模能力和数学应用能力。，B，C，D，E五种产品，每台机器只允许加工任意两种产品。加工时，任意两种产品中只有一台机器是共用的，且要求加工每种产品所用的机器台数相等。请求出该厂闲置机器的台数。解析：可构造模型：有5条直线，任意两条直线仅有一个公共点，每一点仅在两条直线上，每条直线上的点数相同，求总共有多少交点显然，交点数为=10，故该厂闲置机器为10台。8极端思想极端思想，就是针对符合题目条件的端点值进行分析转化，从而获得求解的思路。=1，2，3，1995，A是M的子集且满足条件当A时，15A，则A中的元素最多有多少个解析：（A）表示集合A所含元素的个数，考虑199515=133，13315=8（余13），取A=1，