圆锥曲线-椭圆专题讲义学生版

1、教学内容、知识梳理名称椭圆图象yO-： Ox定义平面内到两定点f，勺的距离的和为常数(大于花叮)的动点的轨迹叫椭圆，即 MllP + Mq = 2 a当2a 2c时，轨迹是椭圆，当2 a =2 c时，轨迹是一条线段FF2当2 a b 0 , a 最大，c b, c b图像性质椭圆共有四个顶点：A (-a,0), A2(a,0), B (0,-b),B2(0,b)加两焦点 F1(-c,0),FJc,0)共有六个特殊点.A1 A2叫椭圆的长轴，B B2叫椭圆的短 轴.长分别为2 a ,2 b, a, b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长,椭圆的顶点即 为椭圆与对称轴的交点。重点题型第二定义、轨迹方程、

2、定点问题、最值问题、韦达定理等二、课堂训练例1.(第二定义)已知曲线C上动点P(%,y)到定点(丫3,0)与定直线/1： % = 433的距离之比为常数T .(1)求曲线C的轨迹方程；(2)若过点Q(1,1)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程； 21【小结:椭圆第二定义】.椭圆第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e = (0 e b 0)对应于右焦点F (c，0)的准线称为右准线， a 2 b 22方程是 =竺，对应于左焦点F (-c，0)的准线为左准线 =-匕 c1ce的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。.焦半径及焦半径公

3、式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。.c a 2r = e% + ,=ae %左 0 a c0对于椭圆%2 +2 = 1( a b 0)，设P( .c a 2r = e% + ,=ae %左 0 a c0.、. r c 左焦半径_左-=ca 2 a% +0 c第2页共7页rc右焦半径右=n r = a exa 2a右0一 Xc 0V 2例2.(轨迹方程)设椭圆方程为x 2 +亍=1,过点M(, 1)的直线1交椭圆于点A、B, 是坐标原点， 点P满足OP = 1( OA + OB)，点N的坐标为(1,1)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程;【小结】：一般的，求一点的轨迹方程

4、的思路是先把这一点坐标设出来(x,y)，然后找x与y之间的关系 式。X 2 V 2例3.(弦长与面积)已知椭圆晟+竟=1(a b 0)，左右焦点分别为F1, F2，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形，直线/经过点F2，倾斜角为45。，与椭圆交于A , B两点.(1)若I F1 F2 = 2.J2，求椭圆方程；(2)对(1)中椭圆，求AAB的面积；第3页共7页【小结】：I AB I = J1 + k 2 I x x I = 11 + k 2 A B.至 TOC o 1-5 h z . 一.X 2-.至例4.（韦达定理）设fF2分别是椭圆-+ y2=1的左、右焦点.（I）若P是该椭圆上的一

5、个动点，求PF - PF的最大值和最小值； 12（II）设过定点M（0,2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且NAOB为锐角（其中O为坐标原点），求 直线l的斜率k的取值范围. 一例5（最值问题）设椭圆M： X2+y2 =1（a亚）的右焦点为F，直线l： x与x轴交于点A,若存； a 2 21a 221+ 2AF1=0（其中O为坐标原点）.（1）求椭圆M的方程；（2）设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N：X2+（y2）2=1的任意一条直径（E, F为直径的两个端点），求PE PF的最大值.第4页共7页一 X 2例6.(定点定值问题)已知椭圆C ： 一 十a 2=1 ( a b 0 )经过(

6、1,1)与(屈 b 0 )经过(1,1)与(屈 b 0）的一个焦点为F（1,0），点（1,李）在椭圆C上，点T满足 a 2 b 22a 2OT = . OF （其中O为坐标原点），过点F作一直线交椭圆于P、Q两点.a a 2 一 b 2m求椭圆C的方程；（2）求APQT面积的最大值；x 2 y 22.已知椭圆二十 一 二 1的两焦点分别为F、F，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足PF PF = 1， 421212过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于a、B两点.（1）求P点坐标；一 一（2）当直线PA经过点（1,、/2）时，求直线AB的方程；（3）求证直线AB的斜率为定值.第6页共7页一 X 2 V 2.椭圆C:益+ b- = 1(a b 0)的左、右焦点分别是F1, F2，过勺的直线/与椭圆C相交于A , B两点，且|AFJ , |ab| , |BFJ成等差数列.4(1)求证：|AB| = 3a ； (2)若直线/的斜率为1，且点(0,-1)在椭圆C上，求椭圆C的方程.椭圆T的中心为坐标原点,右焦点为F (2,0)，且椭圆T过点E (2, 2),若AABC的三个顶点都在 椭圆T上，设三条边的中点分别为M