初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第18讲圆的基本性质

1、第十八讲圆的基本性质到定点(圆心)等于定长(半径)的点的会集叫圆，圆常被人们看作是最圆满的事物，圆的图形在人类进度中打下深深的烙印圆的基本性质有：一是与圆相关的基本看法与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形用圆的基本性质解题应注意：1熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2认识弧的特色及中介作用；3善于促成同圆或等圆中不同样样名称等量关系的转变熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】在半径为1的O中，弦AB、AC的长分别为3和2，则BAC度数为作出辅助线，解直角三角形，注意AB与AC有不同样样的地址关系注：由圆的对称性可引出

2、好多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其圆满覆盖的圆的最小半径为()5A2B5CD5172416思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能经过圆形的某些极点，经过设未知数求解1【例3】如图，已知点A、B、C、D依次在O上，AB=BD，BMAC于M，求证：AM=DC+CM思路点拨用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转变为线段相等的证明，证题的要点是促进不

3、同样样量的互相变换并打破它【例4】如图甲，O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CEAB，在CB上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F，M求COA和FDM的度数；求证：FDMCOM；(3)如图乙，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在EB上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时可否有FDMCOM?证明你的结论思路点拨(1)在RtCOG中，利用OG=1OA=1OC；(2)证明COM=FDM，CMO=22FMD；(3)利用图甲的启示思虑注：善于促成同圆或等圆中不同样样名称的互相转变是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与

4、直线形问题供应新的解题思路，而在解与圆相关问题常常用到直线形的知识与方法(主若是指全等与相似)【例5】已知：在ABC中，AD为BAC的均分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且B=CAE，EF：FD4：3求证：AFDF；求AED的余弦值；若是BD10，求ABC的面积证明ADEDAE；(2)作ANBE于N，cosAEDEN，设FE=4x，FDAE3x，利用相关知识把相关线段用x的代数式表示；(3)搜寻相似三角形，运用比率线段求出x的值2注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判断、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是

5、解与圆相关问题的要点学历训练1D是半径为5cm的O内一点，且OD3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB=2阅读下面资料：关于平面图形A，若是存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖关于平面图形A，若是存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖比方：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖回答以下问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(3)长为2c

6、m，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是cm(2003年南京市中考题)3世界上因为有了圆的图案，万物才显得富饶活力，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与友善，这正是因为圆拥有轴对称和中心对称性(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图)(用尺规画或徒手画均可，但要尽可能正确些，雅观些)a是轴对称图形但不是中心对称图形b既是轴对称图形又是中心对称图形4如图，AB是O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD8cm，那么A、B两点到直线C

7、D的距离之和为()A12cmB10cmC8cmD6cm35一种花边是由如图的弓形组成的，ACB的半径为5，弦AB8，则弓形的高CD为()A2B5C3D16236如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB、CD、EF，若是AB+CD=EF，那么AB+CD与E的大小关系是（）AAB+CDEFBAB+CD=FCAB+CDAC，D为BAC的中点，DEABAC17将三块边长均为l0cm的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径最少是多5少?(不考虑其他因素，精确到01cm)18如图，直径为13的O，经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OAOB)的长分别是方程x2kx600的两根

8、(1)求线段OA、OB的长；2(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC=CDCB时，求C点坐标；在O，上可否存在点P，使SPOD=SABD?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明原由6参照答案7第十九讲转变灵便的圆中角角是几何图形中最重要的元素，证明两直线地址关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特色，恩赐角极强的活性，使得角能灵便地互相转变依照圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转变；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变极点在圆上的地址进行研究；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆相关的角互相联系起来熟悉以下

9、基本图形、基本结论注：依照极点、角的两边与圆的地址关系，我们定义了圆心角与圆周角，近似地，当角的顶点在圆外或圆内，我们能够定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行作一番商议【例题求解】【例1】如图，直线AB与O订交于A，B再点，点O在AB上，点C在O上，且AOC40，点E是直线AB上一个动点(与点O不重合)，直线EC交O于另一点D，则使DE=DO的点正共有个思路点拨在直线AB上使DE=DO的动点E与O有怎样的地址关系?分点E在AB上(E在O内)、在BA或AB的延长线上(E点在O外)三种情况考虑，经过角度的计算，确定E点地址、存在的个数注：弧是联系与圆相关的角的

10、中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆相关的角互相转变的基本方法8【例2】如图，已知ABC为等腰直角三形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的O与边AB、AC、BC分别订交于点E、F、M，关于以下五个结论：FMC=45；AE+AFAB；EDBA；2BM2=BFBA；四边形AEMF为矩形其中正确结论的个数是EFBC()A2个B3个C4个D5个思路点拨充分运用与圆相关的角，搜寻特别三角形、特别四边形、相似三角形，逐一考据注：多重选择单项选择化是近来几年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的研究，方能作出小正确的选择【例3】如图，已知四边形ABCD外接O的半径为5，对

11、角线AC与BD的交点为E，且AB2=AEAC，BD8，求ABD的面积思路点拨由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点，这是解本例的关键【例4】如图，已知AB是O的直径，C是O上的一点，连结AC，过点C作直线CDAB于D(ADDB)，点E是AB上任意一点(点D、B除外)，直线CE交O于点F，连结AF与直线CD交于点G(1)求证：AC2=AGAF；(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论可否依旧成立?若成立请画出图形并恩赐证明；若不成立，请说明原由思路点拨(1)作出圆中常用辅助线证明ACGAFC；2）判断上述结论在E点运动的情况下可否成立，依题意正确画出图形是要点注：构造直

12、径上90的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判断创立了条件9【例5】如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF订交于一点Q，设AD与CF的交点为P求证：（1）QDAC；(2)CPAC2EDECPECE2思路点拨解本例的要点在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形CPQC(1)证明QDEACF；(2)易证，经过其他三角形相似并结合(1)把特别规问题PEDE的证明转变为常例问题的证明注：有些几何问题诚然表面与圆没关，但是若能发现隐含的圆，特别是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有：利用

13、圆的定义判断；利用圆内接四边形性质的抗命题判断学历训练1一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为2如图，AB是O的直径，C、D、E都是O上的一点，则1+2=3如图，AB是O的直径，弦CDAB，F是CG的中点，延长AF交O于E，CF=2，AF=3，则EF的长为4如图，已知ABC内接于O，AB+AC=12，ADBC于D，AD3，设O的半径为y，AB的长为x，用x的代数式表示y，y=5如图，ABCD是O的内接四边形，延长BC到E，已知BCD：ECD3：2，那么BOD等于()A120B136C144D1506如图，O中，弦ADBC，DA=DC，AOC=160，则BOC等于()A20B

14、30C40D50107如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=3，BC=2，则D的度数为()A60B120C135D1508如图，O的直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F给出以下四个结论：22CH=AHBH；AD=AC；AD=DFDP；EPC=APD，其中正确的个数是()A1B2C3D49如图，已知B正是ABC的外接圆O的直径，CD是ABC的高求证：ACBC=BECD；已知CD=6，AD=3，BD=8，求O的直径BE的长10如图，已知AD是ABC外角EAC的均分线，交BC的延长线于

15、点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB，FC求证：FB=FC；求证：FB2=FAFD；若AB是ABC的外接圆的直径，EAC=120，BC=6cm，求AD的长11如图，B、C是线段AD的两个三均分点，P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B、C点除外)，则tanAPBtanCPD=12如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60，AC=a，则四边形ABCD的面积为13如图，圆内接四边形ABCD中，A60，B90，AD=3，CD=2，则BC=14如图，AB是半圆的直径，D是AC的中点，B=40，则A等于()A60B50C80D7015如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延长AB和DC，它们订交于P，若APD=60，则O的面积为()A25B16C15D1311(2001年绍兴市竞赛题)16如图，AD是RtABC的斜边BC上的高，AB=AC别，过A、D两点的圆与AB、AC分订交于点E、F，弦EF与AD订交于点G，则图中与GDE相似的三角形的个数为()A5B4C3D217如图，已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=2AE，且BD=23，求四边形ABCD的面积18如图，已知ABCD为O的内接四边形，E是BD上的一点，且有BAE=DAC求证：(1)ABEACD；(2)ABDC+ADBCACB