113正弦、余弦定理的综合应用⑵

1、11.3正弦、余弦定理的综合应用一、课题：正弦、余弦定理的综合应用二、教学目标：1.23.能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及 相关的三角公式解决这些问题；通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如。三、教学重、难点：能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌 握两个定理，应用自如。四、教学过程：(一)复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三角形的要求和常用方法。1.正弦定理、三角形面积公式：bsin Asin Bc=2 R ;sin C1=bc sin 22正弦定理的变形：(1)S

2、A ABC1A = ab sin C21=ac sin B .2a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C ;(2)sin A = , sin B = , sin C = 2 R2 R2 Rsin A : sin (2)sin A = , sin B = , sin C = 2 R2 R2 Rsin A : sin B : sin C = a : b : c .例2 在AABC中，已知a = ：3，b = 2，B = 45。，求 A, C 及 c.解：(法一)由正弦定理得：sina sin BJ 3 sin 45。. B = 45 o 90 o，即

3、b aA = 60。或 120当 A = 60 时 C = 75 ob sinv 2 sin 75。v6 +、.：2sin Bsin 45。当 A = 120 o 时 C = 15错误!链接无效。2b sin C v 2 sin 15。sin Bsin 45(法二)：设c = x，由余弦定理一 2 ac cos B，(3)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角。b2 + c2 a2余弦定理：a2 = b2 + c2 一 2bc cos A, cos A =2 bc5.

4、应用余弦定理解以下两类三角形问题：已知三边求三内角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。(二)例题分析： 例 1 在任 一 A ABC 中，求证：a (sin B 一 sin C) + b (sin C 一 sin A) + c (sin A 一 sin B) = 0 .证明：由正弦定理得：a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C，从而左边=2 R sin A (sin B 一 sin C) + 2 R sin B (sin C 一 sin A) + 2 R sin C (sin A 一 sin B)=2 Rsin A sin B 一 sin

5、A sin C + sin B sin C 一 sin B sin A + sin C sin A 一 sin C sin B = 0 =右边。将已知条件代入，整理得：x2 一 ：6x + 1 = 0，解之得：xv6 土v6 土6 + : 2_当 c=+ M 时，csA =人2 + 2 - a2 =*2 = _! = 1，22be 2 品 】6 + J22(J3 +1)22*6 一、2时，同理可求得:2例 3 在 A ABC 中，BC = a，AC = b，A = 120。，C = 15。-a*6 一、2时，同理可求得:2例 3 在 A ABC 中，BC = a，AC = b，A = 120。

6、，C = 15。-a,b是方程）2 一 2*3x + 2 = 0的两个根，且2cos（ A + B） = 1，求：角C的度数；AB的长度；SA ABC解：cos C = cos(兀 一 (A + B)，1=cos( A + B) = C = 120。;2由题设：Ja + b = 2 寸3， AB 2ab = 2=AC 2 + BC 2 2 AC - BC - cos C = a 2 + b 2 2 ab cos 120b 2 + ab = (a + b )2 ab = (2v3)2 2 = 10，即AB =SA ABCab sin C = ab sin 120。223 1，a 2 + b 2

7、e 2 k - 4,/ C为钝角 ， . cos C = 一 0，解得 1 k 4，2 ae2( k 1)V k g N ，.k = 2或3，但k = 2时不能构成三角形应舍去，当 k = 3 时，a = 2, b = 3, e = 4, cos C = 一，C = 180。 arccos ;设夹C角的两边为x, y，x + y = 4，所以，S = xy sin C = x(4 x) = (x2 + 4x)，当 x = 2 时，S = 15 .44max【思考题】在AAC中，证明： a = b cos C + c cos B ;试用坐标法证明余弦定理。五、课堂小结：正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；由于有三角形面积公式，解题时要时刻与三角形面积与三角形外接圆直径联系在一起；应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式;应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状。六、作业:补充：1.2.在AABC中，在AABC中，求、正 a2 -b2b2 - c21.2.在AABC中，在AABC中，cos A +cosB cos B + cosC cos C + cosA已知(b + c): (c + a): (a + b) = 4：5：6，求 A ABC 的最大内角;已知A ABC的两边b