考点总结：空间向量与立体几何

1、PAGE6空间向量与立体几何一、教学目的：1以空间的“线线、线面、面面”之间的位置关系为主要线索对所学内容进行横向整理总结这种横纵结合的学习方法有利于对知识的认识更系统、更深入，运用起来更灵活。2在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用。3在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线面和垂直线面的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力。4通过教学使

2、学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力。5在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质。使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力。二、知识纲要（一）空间的直线与平面1平面的基本性质三个公理及公理三的三个推论和它们的用途2空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线1公理四（平行线的传递性）等角定理2异面直线的判定：判定定理、反证法3异面直线所成的角：定义（求法）、范围3直线和平面平行于平面和平面平行1直线与平面平

3、行：直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质2平行平面：两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质4直线和平面垂直1直线和平面垂直：定义、判定定理2三垂线定理及逆定理（二）空间向量5空间向量及其运算1空间向量及其加减与数乘运算（几何方法）2共线向量定理与共面向量定理3空间向量基本定理4两个向量的数量积：定义、几何意义6空间向量的坐标运算1空间直角坐标系：坐标向量、点的坐标、向量的坐标表示2向量的直角坐标运算3夹角和距离公式（三）夹角与距离7直线和平面所成的角与二面角1平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角2二面角：定义、范围、二面

4、角的平面角、直二面角互相垂直的平面及其判定定理、性质定理8距离1点到平面的距离2直线到与它平行平面的距离3两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段4异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段二、方法总结1解立体几何问题的基本思路：化立体几何问题为平面几何问题2熟练掌握所学习的定义、定理，掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的相互位置关系的内在联系，灵活的进行互相转化是解立体几何证明题的基础3关于空间的角和距离的计算问题，要依据定义转化为平面概念，然后灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量方法进行计算要严格按照“一作、二证、三计算”，即先构造、再定性、后定量的程序进行4空间向

5、量是解决立体几何问题的有力工具要熟练掌握向量的各种运算的定义、几何意义，恰当的引入向量运算，化几何证明、逻辑推理为简单的代数运算，以降低解题难度三、讲解范例：例1，N分别是，N做平行于AC的平面，要求：（1）画出平面分别与平面ABC，平面F共面，NE，EF，MF分别是平面MNEF与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线NE正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、D1B1的中点，求证：EF平面B1AC分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线证明：设A1B1的中点G，连EG、FG、A1B，则FGA1D1，EGA1B，A1D1平面A1B，FG平面A1B，A1BAB1，

6、EGAB1，由三垂线的逆定理，得EFAB1，同理EFB1C，又AB1B1CB1，EF平面B1AC分析二：选基底，利用向量的计算来证明证明：设a，b，c，则abc/2ababc/2abb2a2cacb/2|b|2|a|200/20，即EFAB1，同理EFB1C，又AB1B1CB1，EF平面B1AC分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A2,0,0,C0,2,0,B12,2,2,E2,2,1,F1,1,2,1,1,22,2,11,1,1，2,2,22,0,00,2,20,2,02,0,02,2,01,1,10,2,201,1,12,2,00EFAB1，EFAC，又AB1B1CB1，EF平面B1AC四、知识总结点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时有向线段终点的坐标与向量的坐标相同这一点务必向学生讲清楚；明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标向量点的