高三理科数学培养讲义：第2部分 专题5 第12讲 圆锥曲线中的综合问题

1、PAGE13第12讲圆锥曲线中的综合问题高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：解析几何中的交汇与证明2022全国卷T19；2022全国卷T20分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：1圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题2从2022高考试卷分析，降低繁杂的运算，增加与其他知识交汇与证明，将成为新的命题热点3试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大题型2：“构造法”求圆锥曲线中的最值范围问题2022全国卷T10；2022全国卷T20；2022全国卷T20题型3：“

2、转化法”求圆锥曲线中的定点定值问题2022全国卷T202；2022全国卷T20题型4：“肯定顺推法”求圆锥曲线中的探索性问题2022全国卷T20；2022全国卷T20题型1解析几何中的交汇与证明圆锥曲线经常和数列、三角函数、平面向量、不等式等知识交汇命制创新型证明题目，该类试题重视能力立意，强调思维的灵活性，尤其是培养学生严谨的科学态度，提升推理论证能力，对推进新课程标准实施具有指导意义高考考法示例【例1】2022全国卷已知斜率为的直线l与椭圆C：eqf2,4eqfy2,31交于A，B两点，线段AB的中点为M1，mm01证明：eqf1,2；2设F为C的右焦点，的表达式eq求解m的取值范围eq转

3、化为所证不等式2eqoF表示eq求出，于是eqf3,4m由题设得0meqf3,2，故eqf1,22由题意得F1,0设0又点eqf3,4，从而eqf3,4代入得1所以l的方程为yeqf7,4，代入C的方程，并整理得7214eqf1,40故122，12eqf1,28，代入解得|d|eqf3r21,28所以该数列的公差为eqf3r21,28或eqf3r21,28方法归纳圆锥曲线中证明题的类型及解题策略1圆锥曲线中的证明一般包括两大方面，一是位置关系的证明：如证明相切、垂直、过定点等二是数量关系的证明：如存在定值、恒成立、线段或角相等等2处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化

4、思想，化几何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决对点即时训练2022全国卷设椭圆C：eqf2,2y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为2,01当l与轴垂直时，求直线AM的方程；2设O为坐标原点，证明：OMAOMB解1由已知得F1,0，l的方程为1由已知可得，点A的坐标为eqblcrcavs4alco11，fr2,2或eqblcrcavs4alco11，fr2,2又M2,0，所以AM的方程为yeqfr2,2eqr2或yeqfr2,2eqr22当l与轴重合时，OMAOMB0当l与轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB当l与轴不重合也不垂直时，

5、设l的方程为y10，A1，y1，B2，y2，则1eqr2，2eqr2，直线MA，MB的斜率之和为MAMBeqfy1,12eqfy2,22由y11，y22得MAMBeqf2123124,1222将y1代入eqf2,2y21得2212422220所以12eqf42,221，12eqf222,221则2123124eqf434123834,2210从而MAMB0，故MA，MB的倾斜角互补所以OMAOMB综上，OMAOMB题型2“构造法”求圆锥曲线中的最值范围问题核心知识储备1求圆锥曲线最值范围问题的两种构造方法1构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式，再借助基本不等式求最值

6、2构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再借助函数的单调性或导数求其值域2斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，M1，y1，N2，y2，由26y与ym联立，得266m0，又36224m0，故126，126m，故|MN|eqr12eqr36224m2eqr3eqr12eqr322m又y1y2122m622m4，所以m232，所以|MN|2eqr3eqr12eqr432，由36224m0，得eqf2r3,3eqf2r3,3且0因为M，N的中点为3,2，所以M，N的垂直平分线方程为y2eqf1,3，令0，得y5，即Q0,5，所以点Q到直线y2320的距离deqf|5232|,r123eqr12

7、，所以SQMNeqf1,22eqr3eqr12eqr4323eqr123eqr3eqr122432令12u，则2u1，则1ueqf7,3，故SQMN3eqr3eqru273u设fuu273u，则fu14u9u2，结合1ueqf7,3，令fu0，得1ueqf14,9；令fu0，得eqf14,9ueqf7,3，所以当ueqf14,9，即eqfr5,3时，SQMNma3eqr3eqf14,9eqr73f14,9eqf14r7,3【教师备选】2022浙江高考如图257，已知抛物线2y，点Aeqblcrcavs4alco1f1,2，f1,4，Beqblcrcavs4alco1f3,2，f9,4，抛物线上

8、的点y2，则圆心C到直线l的距离deqf|2m|,r1m2，所以b2eqr22d2eqf4,r1m2，由eqblcrcavs4alco1my2,25y25得5m2y24my10，设直线l与椭圆E交于两点A1，y1，B2，y2，则y1y2eqf4m,5m2，y1y2eqf1,5m2，a|AB|eqr1m2eqry1y224y1y2eqf2r5m21,m25，abeqf8r5rm21,m25eqf8r5,rm21f4,rm212eqr5，当且仅当eqrm21eqf4,rm21，即meqr3时等号成立所以当meqr3时，ab取最大值此时直线l的方程为eqr3y20题型3“转化法”求圆锥曲线中的定点定

9、值问题对应学生用书第61页核心知识储备1定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题2定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题高考考法示例角度一定点问题【例31】2022全国卷已知椭圆C：eqf2,a2eqfy2,b21ab0，四点m1将ym代入eqf2,4y21得42128m4m240由题设可知1642m210设A1，y1，B2，y2，则12eqf8m,421，12eqf4m24,421而12eqfy11,1eqfy21,2eqf1m1,1eqf

10、2m1,2eqf212m112,12由题设121，故2112m1120即21eqf4m24,421m1eqf8m,4210解得eqfm1,2当且仅当m1时，0，于是l：yeqfm1,2m，即y1eqfm1,22，所以l过定点2，1角度二定值问题【例32】已知点A1,0和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：2y241求动点B的轨迹方程；2已知点，得ym，故动直线过定点m,02动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点2求解定值问题的两大途径1从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关2直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，

11、从而得到定值对点即时训练已知动圆M恒过点0,1，且与直线y1相切1求圆心M的轨迹方程；2动直线l过点与椭圆C相交于A，B两点，且OAOBeqf3,41求椭圆的方程及AOB的面积；2在椭圆上是否存在一点，消去y整理得，34228m4m2120设A1，y1，B2，y2，则12eqf8m,342，12eqf4m212,342，所以y1y21m2m212m12m22eqf4m212,342meqblcrcavs4alco1f8m,342m2eqf3m2122,342OAOBeqf3,4，eqfy1y2,12eqf3,4，即y1y2eqf3,412，eqf3m2122,342eqf3,4eqf4m212

12、,342，即2m2423|AB|eqr12122412eqr12f4842m23,3422eqrf4812,3422f342,2eqrf2412,342O到直线ym的距离deqf|m|,r12，SAOBeqf1,2d|AB|eqf1,2eqf|m|,r12eqrf2412,342eqf1,2eqrfm2,12f2412,342eqf1,2eqrf342,2f24,342eqr32若椭圆上存在一点,342，y0y1y2eqf6m,342，由于2,3422eqf12m2,34221，化简得4m2342，由OAOBeqf3,4，知2m2423，联立方程知m0，故不存在y1，由eqblcrcavs4a

13、lco1my1，,f2,4fy2,31，得3m24y26my90，y1y2eqf6m,3m24，y1y2eqf9,3m24则Seqsdo8F1ABeqf1,2|F1F2|y1y2eqf12rm21,3m24令eqrm21t，则m2t21t1，Seqsdo8F1ABeqf12t,3t21eqf12,3tf1,t令ft3teqf1,t，则ft3eqf1,t2，当t1时，ft0，ft在1，上单调递增，有ftf14，Seqsdo8F1AB3，即当t1，m0时，Seqsdo8F1AB3，由Seqsdo8F1AB4R，得Rmaeqf3,4，这时所求内切圆面积的最大值为eqf9,16故直线l：1，F1AB内切圆面积的最大值为eqf9,16高考真题12022全国卷设圆2y22150的圆心为A，直线l过点B1,0且与轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E1证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；2设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于：yeqf1,1，点A到直线m的距离为eqf2,r21，所以|，设直线l的方程为yeqf1,2，M1，y1，N2，y2由eqblcrcavs4alco1f2,4fy2,31，,yf1,2消去，得34224110由直线l过椭圆内一点eqblcrcavs4alco10，f1,2作直线，故0，由求根