初三奥数竞赛专项训练

1、初中数学竞赛专项训练一、选择题：1、方程x2(a8)x8a10有两个整数根，试求整数a的值（）2、方程(x2x1)x31的所有整数解的个数是（）A.2B.3C.4D.53、若x0是一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，则鉴识式b24ac与平方式M(2ax0b)2的大小关系是（）A.MB.=MC.MD.不能够确定4、已知b24ac是一元二次方程ax2bxc0(a0)的一个实数根，则ab的取值范围为（）A.ab1B.ab1C.ab1D.ab188445、已知x1、x2是方程x2(k2)x(k23k5)0的两个实根，则x12x22的最大值是（）A.19B.18C.55D.以上答案都不对96、已知x

2、、y、z为三个非负实数，且满足3x2yz5，2xy3z1，若u3xy7z，则u的最大值与最小值之和为（）A.62B.64C.68D.74777777777、若m、n都是正实数，方程x2mx2n0和方程x22nxm0都有实数根，则m+n的最小值是（）A.4B.6C.8D.108、气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：有7个是雨天；有5个下午是晴天；有6个上午是晴天；当下午下雨时上午是晴天。则x等于（）A.7B.8C.9D.10二、填空题1、已知两个方程x2axb0与x2bxa0有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是2、若a211a160，b211b160(ab)，则baab3、已知

3、关于x的方程x2(n1)x2n10的两根为整数，则整数n是4、设x1、x2是方程x22(k1)xk220的两个实数根，且(x11)(x21)8，则k的值是5、已知a、b是方程x24xm0的两个根，b、c是方程x28x5m0的两个根，则m6、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2axa2的两个实数根，则(x12x2)(x22x1)的最大值为三、解答题1、关于x的方程kx2(k1)x10有有理根，求整数k的值。2、设方程20022x220032001x10的较大根是r，方程2001x22002x10的较小根是s，求rs的值。3、确定自然数n的值，使关于x的一元二次方程2x28nx10 xn235n

4、760的两根均为质数，并求出此两根。4、已知关于x的一元二次方程(6k)(9k)x2(11715k)x540的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值。5、有编号为、的四条赛艇，其速度依次为每小时v1、v2、v3、v4千米，且满足v1v2v3v40，其中，v水为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则以下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，、是逆流而上，号艇顺流而下。（2）经过1小时，、同时掉头，追赶号艇，谁先追上号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？参照答案一、选择题1、选B。原方程变为(xa)(x8)xa1xa11，8或x8，x11解得x=9或7，a8。2、选C。原方程有整数

5、解的条件有且只有以下3种：x3而2x1，此时x是方程的一个整数解；0 x03x2x1，解之得或x，即原方程有两个整数解；1x21x2x1而为偶数。解x2得或。显然仅当1x3x11x011时x32为偶数。故原方程此时仅有一个整数解。综上所述知方程的解共有1214个。、解：令dm-3(2ax0b)2(b24ac)4a2x024ax0bb2b24ac4a(ax02bx0c)因x0是ax2bxc的根，因此d0,即M。0应选。B4、应选B。因为方程有实数解，故b24ac0。由题意有bb24acb2也许bb24acb2。令ub24ac2a4ac2a4ac则得2au2ub或2au2ub，因为ub2是其解，因

6、此方程004ac的鉴识式非负，即18ab，即ab1。085、选B。由方程有实根，得0，即(k2)24(k23k5)03k216k160(3k4)(k4)04k4。又由x1x2，x2k2，得223k2x13k5x1x2(x1x2)22x1x2(k2)22(k23k5)k210k619(k5)2，当k4时x12x22取最大值186、选A。3x2yz5x7z3u3(7z3)(11z7)7z3z22xy3z1y11z7由x0，y0得7z3037333z23711z707z2211711即51u117u最小5，u最大1u最小u最大5(1)62711711777、选B。因方程有实根，故m28n0，因此有m

7、464n264m，4n24m0则m(m364)0，因m0，则m364，m4，得m最小值是4。又n4m28n，得n2即n的最小值为2，故mn的最小值为6。8、选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0，b+d=6，c+d=5，a+b+c=7，得2d-a=4，即d2，故b=4，c=3，于xa+b+c+d=9。二、填空题1、设两个方程的根分别为x1、x2和x1、x3。x12ax1b0，x12bx1a0，两式相减得(ab)(x11)0，而ab，故x11。代入任一方程可得ab。解方程得x2b1a，x3a102、由已知a、b是方程211160ab11，而xx

8、的两根。ab16a0b0baab1(ab)1(ab)24ab112164157abab44443、x2(n1)x2n10的两根为整数，它的鉴识式为完好平方式，故可设(n1)24(2n1)k2（k为非负整数），即(n3)2k24满足上式的n、k只能是以下情况之一：n3k4或n3k1或n3k2或n3k2n3k1n3k4n3k2n3k2解得n1、5。4、解：由题意得：2(k1)224(k22)，得k102又x1x22(k1)，x1x2k22因此(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k222(k1)1k22k5由已知得k22k58，解得k3，k1由得k1。5、解：由已知b2-4b+m=0b2-8b

9、+5m=0得：4b-4m=0bm2将代入得：m-4m+m=0m=0或m=3。6、解：a24(a2)a24a8(a2)240关于任意实数a，原方程总有两个实数根。由根与系数的关系得：x1x2ax1x2a2(x12x2)(x22x1)2(x1x2)29x1x22a29a182(a9)26348当a=9时原式有最大值6348三、解答题1、解：当k=0时，x=-1，方程有有理根。当k0时，因方程有有理根，因此若k是整数，则(k1)24kk26k1必为完好平方数，即存在非负整数m，使k26k1m2配方得：(k3)2m28(k3)(3)8mkm由k3m与k3m是奇偶性相同的整数，其积为8，因此它们均为偶数

10、，又k3mk3m，从而有k3m4或k3m2k3m2k3m4k=6或k=0（舍去）综合可知，方程kx2(k1)x10有有理根，整数k的值为k=0或k=6。2、解：由前一方程得：x22002221x12020022002即x2(112)x12020022002设方程两根为x1、x2，且x1x2由根与系数的关系得：x1x2112x1x21220022002则x11，x2-120022同原由后一方程得：x2(11)x1020012001、x2x2，则1设方程两根为x1，且x1x11，x22001由上述可知：r=1，s1，2001因此rs112000200120013、解：设方程两根为x1、x2，则x1

11、+x24n54n5是奇数，即x1+x2是奇数x1与x2必定一奇一偶，而x1与x2都是质数。故必有一个为2，不如设x12，则2222（8n10）2(n35n76)0当n=3时，原方程即2x214x200，此时两根为x12，x25当n=16时，原方程即2x2118x2280，此时两根为x12，x2574、解：原方程可化为(6k)x9(9k)x60，因此方程关于x的一元二次方程，因此6，k9，于是x19，x26从上面两式中消去k，得：x1x22x13x206k9k于是(x13)(x22)6x13，6因为x1、x2均为整数，因此6321123x22，11236632故x19，6，5，4，2，1，0，3，显然x106x199，将