数理经济学茹少峰-第章课后题及答案

1、四求下列函数的极值。x2y2x(xf (x, y)的二阶导师组成的3x 1。yxx e。yx e时，讨论函数(0,0),(x,y)f(x,y)的二阶导师组成的(0,0)时， H- 章xyxy,y)Hessian 矩阵为0，因此 (2a1时 yx4yf(12,12),(x,y)Hessian 矩阵为1 0，因此函数在该点无极值；习y213a(2ab,2b6x2xlnx 3xe3x(12, y)题3ax30b,2ba)为四求下列函数的极值。x2y2x(xf (x, y)的二阶导师组成的3x 1。yxx e。yx e时，讨论函数(0,0),(x,y)f(x,y)的二阶导师组成的(0,0)时， H-

2、章xyxy,y)Hessian 矩阵为0，因此 (2a1时 yx4yf(12,12),(x,y)Hessian 矩阵为1 0，因此函数在该点无极值；习y213a(2ab,2b6x2xlnx 3xe3x(12, y)题3ax30b,2ba)为 f6。0。1，y12),(x,答3by16，a)为可能的极值点。(x,y)的严格极小值点，极值为，所以该函数极值不存在。，因此该函数存在极大值为xy x2(案（2）（4）f3a21ey21 12,2),(x,y)yyy5ab。1( )2x1 2xlnxxx3b2的极值。1 12, 2x2y。为可能13b0第 1.（1） y（3）解：（1）根据二元函数极值的

3、必要条件，可得fx解得，根据充分条件，函数H（2）根据一元函数极值的必要条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。（3）根据一元函数极值的必要条件，可得求得极值点为由充分条件知当（4）根据一元函数极值的必要条件，可得求的极值点为由充分条件知当 0 2. 解：根据二元函数极值的必要条件，可得(x,y)的极值点。根据充分条件，函数(x,y)-完整版学习资料分享1(1, )时， H2；1( , ) H211(1, ) H211( , )时，21试说明对于任意的fA (0考虑生产函数KHessian 矩阵为是负定的，该函数对于某完全竞争厂商由单一可变投入F- 12 21 12 2；1

4、2 2；1 12 2，K1)K1,0y1，该函数是什么形状？K、L任意取值都是严格凹函数。LP0，要求：21时，时，H0，生产函数A21，所以 HL K 。如果（劳动），每期工资率1(1, )时， H2；1( , ) H211(1, ) H211( , )时，21试说明对于任意的fA (0考虑生产函数KHessian 矩阵为是负定的，该函数对于某完全竞争厂商由单一可变投入F- 12 21 12 2；12 2；1 12 2，K1)K1,0y1，该函数是什么形状？K、L任意取值都是严格凹函数。LP0，要求：21时，时，H0，生产函数A21，所以 HL K 。如果（劳动），每期工资率为 。若该厂商每

5、期的固定成本2322121f (x) AK LKL(K,L) W212323是凹函数。1, fLL0; (000，海赛矩阵为正定矩阵，22 0，( 1) A 0,( 1)2 A 0，则海赛矩阵为负定矩2 0， ( 1)A 0,( 1)2 A 0LA (且1，0因此函数在该点有严格极小值为31 21 2,1)K1) A1，2，则海赛矩阵为负定fKLL11，试说明该生产函数对于0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小A K L20,( 1)2 AL1210,Hessian是 负定3(x,y)2183(x,y)2值为83(x,y)2阵，因此函数在该点有严格极大值为83(x,y)2矩阵，因此函

6、数在该点有严格极大值为8 3. 证明：fKK所以函数的 Hessian 矩阵为因为的，因此生产函数是严格凹函数。 4. 和 的任意取值都是严格凹函数。如果证明：（1）同上，可求得函数的 Hessian 5. 为 ，产品的价格为（1） 写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数；-完整版学习资料分享QRCRPP2某厂商有如下的总成本函数1确定总收益函数确定利润最大化的产出水平及最大利润。PQ利润最大化的一阶必要条件为：Q2QQ11时，利润最大为。设有二次利润函数- f(L)P QL W0Cdf(L)L0，所以CQ3-7Q2R与总利润函数Q(1001,Q2QQ1时，11QP f(L)FPfW

7、0df (L)2与总需求函数111Q。Q)11。12，2时，hQ2(L)0，也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现利润最0Q：50，0，函数取得极小值为；Q2jQ(LW，即LQ0，函数取得极大值为；Qk，试确定系数所满足的约束，使下列命题成立：0df(P100QRCRPP2某厂商有如下的总成本函数1确定总收益函数确定利润最大化的产出水平及最大利润。PQ利润最大化的一阶必要条件为：Q2QQ11时，利润最大为。设有二次利润函数- f(L)P QL W0Cdf(L)L0，所以CQ3-7Q2R与总利润函数Q(1001,Q2QQ1时，11QP f(L)FPfW0df (L)2与总需求函数111

8、Q。Q)11。12，2时，hQ2(L)0，也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现利润最0Q：50，0，函数取得极小值为；Q2jQ(LW，即LQ0，函数取得极大值为；Qk，试确定系数所满足的约束，使下列命题成立：0df(P100FL)P)W0.。该条件的经济（2） 何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义；（3） 什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？解:（1）生产函数为：收益函数为：成本函数为：利润函数为：（2）利润最大化的一阶条件为：L含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。（3）要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶

9、充分条件：因为d L大化. 6. C3请回答下列问题：（1）（2）解：（1）R (2)解得，利润最大化的二阶充分条件为：当当所以，在产出水平为 7. -完整版学习资料分享Q下的最大化利润。Qk2hQQfhQ假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商，C40-2P-P2，QPQ114P1111P1假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，Q- 00。jj2h0。j2h产品的价格分别为118P27,P147,P2产品的价格分别为i时，0，；二阶充分条件为(x)0 jP1和 P Q2PQ227020,21.5,P1 P iCk20，因此23520,21.5,22和 ，单位时间内 产品Q2。由于固定成本存在的关

10、系，利润为负，因此系数Q，即0。，产品的需求函数-P-P2，CC8P1P26212h。217P16P20,Q Q2QQ22185211Q下的最大化利润。Qk2hQQfhQ假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商，C40-2P-P2，QPQ114P1111P1假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，Q- 00。jj2h0。j2h产品的价格分别为118P27,P147,P2产品的价格分别为i时，0，；二阶充分条件为(x)0 jP1和 P Q2PQ227020,21.5,P1 P iCk20，因此23520,21.5,22和 ，单位时间内 产品Q2。由于固定成本存在的关系，利润为负，因此系数Q，即0。，产

11、品的需求函数-P-P2，CC8P1P26212h。217P16P20,Q Q2QQ2218521110,13P20222Q2212Q2，求：28P1P2021020，270P1185P22835（1） 证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负；（2） 证明利润函数为严格凹函数；（3） 求在正的产出水平解：（1）由题可知，当必须满足的条件为（2）因为利润函数为严格凹函数，其一阶必要条件为Q求得函数为严格凹函数满足的充要条件：因此，(3) 在正的产出水平下， 8. 及成本函数 为：Q1求利润最大化的价格水平。解：利润函数利润最大化的一阶必要条件为：P1解得， P又所以，在利润最大化是价格

12、水平为 9. 的产出水平为 ，厂商成本函数为（1） 利润最大化的产出水平；-完整版学习资料分享若总成本函数为对参变量PQ1P1,QPQ1P1Q0,1Q1434 131 4一个公司有严格凹的生产函数对利润达到最大化的投入要素Coob-Douglas 函数，做同样的比较静态分析。PQ(K,L)K- CP P14Q4P1114Q111即在最优产量下，4P13,Q K,LK LrKK (P,r,w)Q1 2PQ2Q2P23PQ204Q Q2P2Q1P2。给定与 进行比较静态分析，并作简要的分析说明；wL，21和 进行比较静态分析。20,Q2，QP1, Q1,13PL2(2QQ213P12(2QP111

13、2不存在技术相关性。Q,产品价格，L (P,r,w)Q221P243214Q413P12Q2P1r2Q 若总成本函数为对参变量PQ1P1,QPQ1P1Q0,1Q1434 131 4一个公司有严格凹的生产函数对利润达到最大化的投入要素Coob-Douglas 函数，做同样的比较静态分析。PQ(K,L)K- CP P14Q4P1114Q111即在最优产量下，4P13,Q K,LK LrKK (P,r,w)Q1 2PQ2Q2P23PQ204Q Q2P2Q1P2。给定与 进行比较静态分析，并作简要的分析说明；wL，21和 进行比较静态分析。20,Q2，QP1, Q1,13PL2(2QQ213P12(2

14、QP1112不存在技术相关性。Q,产品价格，L (P,r,w)Q221P243214Q413P12Q2P1r2Q Q24QP222P243133资本的利用率，两产品的生产是否存在技术相关性，12,Q )0P2,工Q1 Q2Q122，,Q2P2与 的新Q )043222（2）最优水平是多少？（3）解:（1）Q1可得（2）Q1可得，2而QQ2（3）由（ 1）问中的最优产量Q1P1即，产品 1价格上升 1单位，产量上升 ，价格下降 ；3 3产品 1价格上升 1单位，产量下降 ，价格下降 ；3 3 10.资。要求：（1）（2） 假定生产函数是规模报酬递减的解：（1）利润最大化时，最优解为-完整版学习资

15、料分享(K变化对最大利润的影响为：PKPK LK(KK考虑参数为 的极大化问题函数f x;aaxf (x (a),a)考虑参数最优化问题aaxx- ,L )rQK，rrKK (P,r,w),L )，ra的最大值关于参数x( a)0，即max的导数；x ax (a)(a)rKPrwwL，rKwf x;aa，2f x,a0利用包络定理0wLQK0,LLwLLx2的导数；xa x4）。，由（1）中结果，为最优值函数。KrPwL (P,r,w)为最优值函数。,w3ax(a)3(K变化对最大利润的影响为：PKPK LK(KK考虑参数为 的极大化问题函数f x;aaxf (x (a),a)考虑参数最优化问

16、题aaxx- ,L )rQK，rrKK (P,r,w),L )，ra的最大值关于参数x( a)0，即max的导数；x ax (a)(a)rKPrwwL，rKwf x;aa，2f x,a0利用包络定理0wLQK0,LLwLLx2的导数；xa x4）。，由（1）中结果，为最优值函数。KrPwL (P,r,w)为最优值函数。,w3ax(a)3dfdarQLP4a23a23x3( x, a)Krw(a0eax20P0K ) (013（ 为参数）：，所以参数 对目标函数极值的影响是QLL )：aaLrwLrKPQr利润最大化时有则r即当资本利用率或工资提高时，利润率随之下降，当产品价格上涨时，最大利润率

17、随之上升。（2）利润最大化时，最优解为PQr 11. （1） 利用包络定理求函数（2） 分析参数 对目标函数的最大值的影响。解：（1）假设最优解为（2）一阶条件为x所以，参数 a与木匾函数的最大值同向变动。 12. （1） 求目标函数的极大值关于参数（2） 分析参数 对目标函数的极大值的影响（假设这个问题的最优解解：（1）假设最优解（2）同增同减的。-完整版学习资料分享给定依赖于投入参数cC(q)aC(q)航空公司在甲乙两地之间有固定的航班。假设商务乘客的需求函数为Q4P给定一个价格接受的厂商的生产函数PPQ K,Lr 和KPQPP- yLin Cs(q,y)dq4ya他比预定航班的商务乘客和

18、预定周六晚上过夜航Q10P23948Q K,Lr ， 。假设厂商利润极大化问题的二阶充分条件成立，P之一的变化对各个内生变量的最优值K (P,r,w)(KQKQK的短期总成本函数qay2dq4a16p78P0。假设试分别讨论外生K L，,L )Krrc q。bq0，即 ybqp，对于所有乘客的成本函数为376，即该点为极大值。Q和 的影响。LrKr0，ydq2ydq4adq2，旅游乘客的需求函C Q给定依赖于投入参数cC(q)aC(q)航空公司在甲乙两地之间有固定的航班。假设商务乘客的需求函数为Q4P给定一个价格接受的厂商的生产函数PPQ K,Lr 和KPQPP- yLin Cs(q,y)dq4ya他比预定航班的商务乘客和预定周六晚上过夜航Q10P23948Q K,Lr ， 。假设厂商利润极大化问题的二阶充分条件成立，P之一的变化对各个内生变量的最优值K (P,r,w)(KQKQK的短期总成本函数qay2dq4a16p78P0。假设试分别讨论外生K L，,L )Krrc q。bq0，即 ybqp，对于所有乘客的成本函数为376，即该点为极大值。Q和 的影响。LrKr0，ydq2ydq4adq2，旅游乘客的需求函C QKLL (P,r,w)wLKr,aya,b,ddq4a100PPbq0Q，即资本的边际产量随着劳QLQLdq2y2Lrw，这里。该航空公司在两个市场如何定价