原子物理学：第3章 第6节 量子力学对氢原子的描述

1、3.6 量子力学对氢原子的处理一、量子力学对氢原子的处理定态薛定谔方程为：氢原子中电子的势能函数：转化为球坐标：分离变量法求解,设 代入上式后得到：上式左右两边只能都等于一个常数，用表示，于是有：同理，上式左右两边也只能都等于一个常数，用表示，有：（3）式的解为：要求是单值的，就要求 为整数，我们改用m表示：（2）式就改写为：上式在 有合乎要求的解：是连带勒让德函数（1）式改写为：此式合乎要求的解是：是连带拉盖尔多项式：上式中的n 必须等于1,2, 等正整数，对每一个n 可以有n 个l二、能量和角动量在求（1）式的过程中，方程中的E 必须等于某些值，R才合乎要求。可以算得，在E0的范围，E 取

2、任何值都能使R 合乎要求，正值的能量是连续分布的。能量角动量角动量 三个正交分量的量子力学算符：在球极坐标中，这三式变成把这三式归并为总角动量的平方：对应上式，对（1）式作处理：于是有：总角动量L是量子化的把 对 运算 总角动量L在z 轴方向的分量Lz也是量子化的以上计算表明，波函数 是力学量算符集合 的共同本征函数，即三个量子数n（主量子数），l（角量子数），m（磁量子数）与状态 n,l,m有一一对应关系，为了简单，我们常用量子数(n，l，m)表征量子态 n,l,m。对于每一个给定的主量子数n，角量子数可以取n个值：0、1、2、，n1；对于每一个确定的l值，磁量子数m取2l1个值：l、（l1

3、）， （l1）、 l。氢原子的能量只与n有关，所以是简并的，其简并度为三、电子被发现的几率的分布在单位体积中发现电子的几率等于：在全部空间发现电子的几率为1：因为电子几率的角分布对z 轴是对称的。因为对同一个l，发现电子的总几率是球对称的。下图是量子数 l 和m 取不同值时在单位体积中发现电子的几率随的分布。对于s态(=0 m=0)ZX对于p态(=1,m=0,1）m=1zym=0zy左图代表半径为r 的一个球形壳层中发现电子的相对几率。在E0 时，E 为：同玻尔理论的结果完全一致，但这里的能量量子化是自然的。总角动量L是量子化的总角动量L在z 轴方向的分量Lz也是量子化的三个量子数n（主量子数

4、），l（角量子数），m（磁量子数）与氢原子状态有一一对应关系，为了简单，我们常用量子数(n，l，m)表征量子态。对于每一个给定的主量子数n，角量子数可以取n个值：0、1、2、，n1；对于每一个确定的 l 值，磁量子数m取2l1个值：l、（l1）， （l1）、 l。氢原子的能量只与n有关，所以是简并的，其简并度为量子力学玻尔理论量子数取值 名称符号符号与之有关的物理量与之有关的物理量物理意义物理意义可取值主量子数1.决定原子的能量（能级）n越大能级越高2.决定能量是量子化的3.决定电子运动区域的大小，n越大电子径向几率分布曲线有最大值的位置离核越远1.同前2.同前3.决定轨道的大小，n越大，电子轨道半径越大，轨道离核越远n1,2,3n1,2,3四、量子数的物理意义角 量 子 数1.决定角动量的大小2.决定角动量是量子化的3.决定电子云的可能形状是量子化的4.决定磁距大小5.在外磁场中与能量有关1.同前2.同前3.决定轨道的可能形状是量子化的4.同前5.同前n0,1,2(n-1)1,2n磁 量 子 数1.决定角动量的Z分量的大小2.决定LZ大小是量子化的3.决定某一电子云在空间伸展方向是量子化的4.决定磁距的Z分量5.