数学物理方法：第十二章 格林函数(积分法)

1、第十二章 格林函数(积分法)一、泊松方程的格林函数法二、电像法求格林函数三、含时间的格林函数四、用冲量定理法求格林函数注：参考教材数学物理方法，梁昆淼等编 授课对象：（物信学院）数理综合班 或（数计学院）实验班一、第二曲面积分，高斯系数，及Gauss 定理（散度形式）课前预习四、计算推导下式：三、第一曲面积分中值定理二、点电荷的静电场的电势计算公式及p119式（7.1.46）（1）（2）其中及（3）1 高斯公式记其中表示T外法向量。12.1 泊松方程的格林函数法则由第二曲面积分定义 高斯定理: 设T是 中由光滑的封闭曲面 所围成的三维连通闭区域，函数 , 和 在T上具有连续偏导数，则成立等式：

2、推论1（广义牛顿莱布尼茨公式）：推论2（高维分部积分公式）：高斯公式：其中表示的第i个分量。注：广义牛顿莱布尼茨公式可推导出 一维牛顿莱布尼茨公式。2 格林公式注：第一格林公式第二格林公式高斯公式：设 ， 由高斯公式，得3 泊松方程边值问题泊松方程边界条件定义在泊松方程+条件(1)=第一边值问题(狄里克雷问题)；泊松方程+条件(2)=第二边值问题(诺依曼问题)；泊松方程+条件(3)=第三边值问题(混合边值问题)。第一类边界条件 条件(1) 第二类边界条件条件(2) 第三类边界条件条件(3) 4 源问题（无界空间）产生的电势:(连续分布)总电荷的电势:处 电荷在 注：可证椭圆位势理论：C-Z定理

3、L积分控制收敛定理则其满足点源泊松方程： 给定 点 负电荷在产生的电场位势注：把点源泊松方程一般化，以后约定 点源泊松方程：为此在T中挖掉以为球心，以 为半径的小球 ，边界记 。一般泊松方程：奇异，注意：5 泊松方程的基本积分公式第一曲面积分中值定理称为泊松方程的基本积分公式。对（1）式取极限，可得：6 边值问题的格林函数泊松方程第一边值问题称为第一(边值问题)格林函数。称为点源泊松方程第一边值问题，其解记为泊松方程第三边值问题，其边值条件：称为第三(边值问题)格林函数。则基本公式变为：理由：令其解记为注：格林函数是对称的可作变换：再用格林函数对称性，可得：小结：12.2 用电像法求格林函数类

4、比点电荷电势+感应电荷电势：注：称为Laplace方程基本解！ 第一格林函数G:分别满足例1半空间第一边值问题解：先算上半空间第一格林函数 （3D情况）由积分公式知 的解为 将（1）式代入上式可得 （3D情况）（3D情况）定义在球上的第一格林函数：同理可得对应的2D情况：其定义在圆上的第一（边值）格林函数为：例2球内第一边值问题解：由求解公式知其中球坐标处理？将其代入解的表达式：12.3 含时间的格林函数0 引例特别当形式上有：1 一般强迫振动的定解问题（2）把单位脉冲力所引起的振动记作 ，称之为波动问题的（带时间）格林函数。求得了G，就可用叠加的方法求出任意力f(r,t)所引起的振动。（）改

5、写f:思路：（3）含时间格林函数满足的方程“一般波动问题”化成对应的“齐次边值的点源问题”强迫振动问题的解的表达式（形式推导）注：带时间格林函数的对称性其中对泛定方程交错相乘后相减，并由 的选取性，可得：利用第二格林公式及可得：令 ，可得3 输运问题的解的表达式类似上面的讨论，同样可得到其解的积分表式：12.4 用冲量定理法求格林函数例1 求解一维无界空间中的受迫振动解 这个问题的格林函数G满足定解问题按照冲量定理方法，G的定解问题可以转化为由上述关系式可以看出这是因为由达朗贝尔公式可得（其中t应换为 ）按(12.3.21)（P316，边界取零），u的解为注：上述思路对于有源输运问题以及对应的齐次边值情况，仍然成立。例2 求解定解问题解 格林函数G满足 由冲量定理，可转化为求利用分离变数法，可求得(参考P149) 以此代入(12.3.21)(P 316)，得例 3 求解一维无界空间的有源输运问题解 格林函数G满足定解问题与P169结果一致格林函数G满足定解问题利用13.1例2结果，t要换为 ，于是无界空间输运问题的格林函数为：从而所求的解高斯正态分布例4 求解一维半无界空间x0的有源输运问题解 进行奇延拓到x0的有源输运问题解 偶延拓到x0的半无界空间中去：引用例3的结果，得齐次边界条件下1D半无界空间中